由递推公式求通项公式的方法

时间：二O二一年七月二十九日由递推公式求通项公式的方法之邯郸勺丸创作时间：二O二一年七月二十九日已知数列的递推公式,求取其通项公式是数列中一类稀有的题型,这种题型假如纯真的看某一个详细的题目,它的求解方法灵巧是灵巧多变的,机关的技巧性也很强,可是此类题目也有很强的规律性,存在着解决问题的通法,本文就高中数学中稀有的几类题型从解决通法上做一总结,便利于学生学习和老师的教课,不波及具体某一题目的独到解法与技巧.一、an1anf(n)型数列,（此中f(n)不是常值函数)此类数列解决的方法是累加法,详细做法是将通项变形为an1anf(n),从而就有将上述n1个式子累加,酿成ana1f(1)f(2)f(n1),从而求解.例1.在数列{an}中,a12,an1an2n1,求an.解：依题意有逐项累加有ana1132n3(12n3)(n1)(n1)2n22n1,从而2ann22n3.注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数简单犯错.变式练习：已知1,求{an}的通项公式.{an}知足a11,an1ann(n1)二、an1anf(n)型数列,（此中f(n)不是常值函数)时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日此类数列解决的方法是积累法,详细做法是将通项变形为an1f(n),从而就有an将上述n1个式子累乘,酿成anf(1)f(2)f(n1),从而求解.a1例2.已知数列{an}中a112n32),求数列{an}的通项公,an2nan1(n31式.解：当n2时,a21,a33,a45,,an2n3,将这n1个式子累乘,a15a27a39an12n1获得an13,从而a1311,当n1a(2n1)(2n1)n(2n1)(2n1)34n211时,111.4n2a1,所以an4n2131注：在运用累乘法时,仍是要特别注意项数,计算时项数简单出错.变式练习：在数列{an}中,an>0,a12,nan2(n1)an12an1an,求an.提示：依题意分化因式可得[(n1)an1nan](an1an)0,而an>0,所以(n1)an1nan0,即an1n.ann1三、an1panq型数列此类数列解决的方法是将其机关成一个新的等比数列,再利用等比数列的性质进行求解,机关的方法有两种,一是待定系数法机关,设an1mp(anm),睁开整理an1panpmm,比较系数有pmmb,所以mb,所以anb是等比数列,公比为p,首项为p1p1a1

b

.二是用作差法直接机关,an1panq,p1anpan1q,两式相减有an1anp(anan1),所以an1an是公比为p时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日的等比数列.例3.在数列{an}中,a11,当n2时,有an3an12,求{an}的通项公式.解法1：设anm3(an1m),即有an3an12m对照an3an12,得m1,于是得an13(an11),即an13an11所以数列{an1}是以a112为首项,以3为公比的等比数列则an23n11.解法2：由已知递推式,得an13an2,an3an12,(n2),上述两式相减,得an1an3(anan1),即an1an3anan1所以,数列{an1an}是以a2a14为首项,以3为公比的等比数列.所以所以

an1an43n1,即3an2an43n1,an23n11.变式练习：已知数列an知足a11,an12an1(nN*).求数列an的通项公式.注：依据题设特点适合地机关帮助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.四、an1panfn型数列（p为常数）此类数列可变形为an1anfn,则pn1pnpn1

an可用累加法求出,由pn此求得an.例4已知数列an知足a11,an13an2n1,求an.解:将已知递推式两边同除以2n1得an13an1,设bnan,故有2n122nn2bn1353n12,从而ann1n1.2(bn2),bn2n5322注：经过变形,机关帮助数列,转变为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常常使用方法.时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日若f(n)为n的一次函数,则an加上对于n的一次函数构成一个等比数列;若f(n)为n的二次函数,则an加上对于n的二次函数组成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.例5．已知数列an知足a1当时1求1,n2,anan12n1,an.2解:作bnanAnB,则anbnAnB,an1bn1A(n1)B代入已知递推式中得:bn11A2)n1A1bn1((B1).22221A20A4令21B6110AB22这时bn1bn1且bnan4n62明显,bn334n6.2n1,所以an2n1注：经过引入一些待定系数来转变命题构造,经过变形和比较,把问题转变成基本数列,从而使问题得以解决.变式练习：（1）已知an知足a12,an12an2n1,求an.（2）已知数列{an},Sn示意其前n项和,若知足Snann23n1,求数列{an}的通项公式.提示：（2）中利用anS1n1Sn,把已知条件转变成递推式.Sn1,n2Aan型数列（A,B,C为非零常数）五、anBanC这种种类的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数当作是一个新数列,即可顺利地转变为an1panq型数列.例6．已知数列an知足a12,an12an,求an.an2时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日解:两边取倒数得:111an1an2an2.n

,所以11(n1)1n,故有ana122变式练习：数列{an}中,an12n1an,a12,求{an}的通项.2n1