高等代数(II)期末考试试卷及问题详解(A卷)

高等代数（II）期末考试试卷及答案（A卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间的两个子空间的交2、设与是n维线性空间V的两个基，的过渡矩阵是C，列向量X是V下的坐标，则在基由到中向量在基的坐标是下3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A与B的关系是4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：则其特征矩阵的标准形是5、线性方程组的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、（）复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A）数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B）数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D）复数域C作为复数域C上的线性空间。2、（）设是非零线性空间V的线性变换，则下列命题正确的是：（A）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B）的核是V的充要条件是是满射；（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D）的值域是V的充要条件是是满射。3、（）矩阵可逆的充要条件是：是一个非零常数；是满秩的；是方阵。4、（）设实二次型（A为对称阵）经正交变换后化为：，则其中的是：全是正数；是A的所有特征值；不确定。5、（）设3阶实对称矩阵A有三重特征根“”，则A的若当标准形是：以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1、（）设V1，V2均是n维线性空间V的子空间，且则。2、（）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。3、（）同阶方阵A与B相似的充要条件是与等价。4、（）n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间中，定义线性变换：（1）求该线性变换在自然基：下的矩阵A；（2）求矩阵A的所有特征值和特征向量。2、（1）求线性空间中从基到基的过渡矩阵；（2）求线性空间中向量在基下的坐标。3、在R2中，，规定二元函数：（1）证明：这是R2的一个内积。（2）求R2的一个标准正交基。五、证明题（每小题10分，共30分）1、设P3的两个子空间分别为：证明：（1）（2）；不是直和。2、设是数域P上线性空间V的线性变换，证明是的不变子空间的兖要条件是3、已知是n级正定矩阵，证明：（1）A是正定矩阵；（2）答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间2、设的两个子空间的交与是n维线性空间V的两个基，的过渡矩阵是C，列向量X是V下的坐标，则在基由到中向量在基下的坐标是3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A与B的关系是相似关系4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：则其特征矩阵的标准形是5、线性方程组的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分）2、（A）复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A）数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B）数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D）复数域C作为复数域C上的线性空间。2、（D）设是非零线性空间V的线性变换，则下列命题正确的是：（A）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B）的核是V的充要条件是是满射；（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D）的值域是V的充要条件是是满射。3、（B）矩阵可逆的充要条件是：是一个非零常数；是满秩的；是方阵。4、（C）设实二次型（A为对称阵）经正交变换后化为：，则其中的是：全是正数；是A的所有特征值；不确定。5、（A）设3阶实对称矩阵A有三重特征根“”，则A的若当标准形是：以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1、（×）设V1，V2均是n维线性空间V的子空间，且则。2、（√）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。3、（√）同阶方阵A与B相似的充要条件是与等价。4、（×）n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。5、（√）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间中，定义线性变换：（1）求该线性变换在自然基：下的矩阵A；（2）求矩阵A的所有特征值和特征向量。解：（1）线性变换在自然基下的矩阵是（5分）（2）因为所以矩阵A的所有特征值是解齐次线性方程组得矩阵A的所有特征向量：，其中不全为零。（5分）2、（1）求线性空间中从基到基的过渡矩阵；（2）求线性空间解：（1）因为中向量在基下的坐标。所以即所求的过渡矩阵为（5分）（2）因为故所以在基下的坐标是：（5分）3、在R2中，，规定二元函