高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修42018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4的全部内容。1/1212018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修44.4单位圆的对称性与诱导公式（一)学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用。2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。kααα知识点2π±，－，π±的诱导公式αkαααkααα思考1设为任意角，则2π＋,π＋，－，2π－，π－的终边与的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：终边之间的对称关相关角系kα2π＋终边相同α与απ＋与关于原点对称αααx－与关于轴对称α2π－与关于轴对称xααπ－与关于轴对称yα2/1222018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4kαααkααα思考22π＋,π＋,－，2π－,π－终边和单位圆的交点与的终边和单位圆αα的交点有怎样的对称关系?试据此分析角与－的正弦函数、余弦函数的关系。答案它们交点间对称关系如表：终边与单位圆的交点间对称相关角关系2kπ＋α重合与ααπ＋与关于原点对称α－α与αx关于轴对称α2π－与x关于轴对称ααπ－与y关于轴对称αααPPPPxPP设角与角－终边与单位圆的交点分别为和′，因为和′关于轴对称,所以点和′αααα的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－）＝－sin，cos(－）＝cos.α梳理对任意角，有下列关系式成立：kααkααsin(2π＋）＝sin，cos（2π＋)＝cos(1。8）ααααsin(－)＝－sin，cos(－)＝cos（1。9）ααααsin(2π－)＝－sin，cos(2π－）＝cos（1.10)(1.11)αsin(π－）＝sin，cos(π－）＝－cosαααααααsin(π＋）＝－sin，cos（π＋)＝－cos(1.12）公式1.8～1。12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式。这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名α称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.αα1.sin(－π)＝sin。（×）αααα提示sin（－π)＝sin［－（π－)]＝－sin（π－)＝－sin。3/1232018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4π＝－.（√)错误!2.cos错误!4π提示cos3＝cos＝－cos错误!＝－。错误!错误!3.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用。(×）提示在角度制和弧度制下,公式都成立.类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值。11π(1）cos210°；(2)sin;（3）sin错误!;（4）cos(－1920°)。4考点利用诱导公式求值题点给角求值问题解(1）cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－错误!.（2）sin错误!＝sin错误!＝sin错误!＝sin错误!＝sin错误!＝。错误!(3）sin错误!＝－sin错误!＝－sin错误!＝－sin错误!＝sin错误!＝错误!.（4)cos（－1920°）＝cos1920°＝cos(5×360°＋120°）＝cos120°＝cos(180°－60°）＝－cos60°＝－错误!.反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1）“负化正"：用公式1.9来转化.(2）“大化小”：用公式1。8角化为0°到360°间的角.(3)“角化锐”：用公式1。10或1。11将大于90°的角转化为锐角。（4）“锐求值"：得到锐角的三角函数后求值。跟踪训练1求下列各三角函数式的值.（1)sin1320°；（2)cos错误!。考点利用诱导公式求值题点给角求值问题解（1)方法一sin1320°＝sin（3×360°＋240°）＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－。错误!方法二sin1320°＝sin（4×360°－120°）＝sin（－120°）＝－sin（180°－60°）4/1242018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4＝－sin60°＝－.错误!（2）方法一cos错误!＝cos错误!＝cos错误!＝cos错误!＝－cos错误!＝－。错误!方法二cos错误!＝cos错误!＝cos错误!＝－cos错误!＝－。错误!类型二给值(式）求值问题αα例2（1)已知sin（π＋）＝－0.3,则sin(2π－）＝。(2)已知cos错误!＝错误!,则cos错误!＝.考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案(1)－0。3（2)－错误!ααααα解析(1)∵sin(π＋）＝－sin＝－0.3，∴sin＝0。3,∴sin（2π－)＝－sin＝－0。3。（2）cos错误!＝cos错误!＝－cos错误!＝－。错误!反思与感悟解决给值（式）求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析,解题时注意整体思想的运用。βαβαβ跟踪训练2（2017·大同检测)已知sin＝,cos（＋)＝－1，则sin（＋2)错误!的值为（）A.1B。－1C。错误!D.－错误!考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案Dαβαβkk解析由cos(＋)＝－1，得＋＝2π＋π（∈Z）,αβαββkβk则＋2＝（＋)＋＝2π＋π＋（∈Z），αβkβββsin（＋2)＝sin(2π＋π＋)＝sin(π＋)＝－sin＝－。错误!类型三利用诱导公式化简例3化简:错误!.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式＝＝＝错误!错误!1。引申探究n若本例改为：错误!（∈Z)，请化简.5/1252018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4nk解当＝2时，原式＝＝错误!1;nk当＝2＋1时，原式＝＝错误!1。综上，原式＝1.反思与感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化,最终达到角的统一，能求值的要求出值。跟踪训练3化简：。错误!考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式＝＝＝错误!错误!1.1.sin585°的值为（）A.－错误!B.错误!C。－错误!D.错误!考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案A解析sin585°＝sin（360°＋225°）＝sin（180°＋45°)＝－sin45°＝－错误!.2.cos错误!＋sin错误!的值为（）A.－错误!C.错误!B.错误!D.错误!考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案C解析原式＝cos错误!－sin错误!＝cos错误!－sin错误!＝－cos错误!＋sin错误!＝。错误!αβ3.如果＋＝180°，那么下列等式中成立的是（)αβA.cos＝cosαB。cos＝－cosβαC.sin＝－sinβαβD。sin＝cos6/1262018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案B4。sin750°＝.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案错误!θkθk解析∵sin＝sin(·360°＋),∈Z，∴sin750°＝sin（2×360°＋30°)＝sin30°＝错误!.5。化简：.错误!考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式＝错误!＝＝＝1.错误!错误!1。明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式1。8将角转化为0～2π之间的角求值公式将0～2π内的角为0～π之间的角求值转化1.12公式公式1.111。9将负角转化为正角求值将角转化为0～错误!之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”。其含义是诱导公式两边的函数名αα称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，看成锐角,只是公式α记忆的方便,实际上可以是任意角.7/1272018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4一、选择题1。cos600°的值为（）A.错误!B。错误!C。－错误!D.－错误!考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案D解析cos600°＝cos（360°＋240°）＝cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－错误!。2。sin(－390°）的值为()A.错误!B。－错误!C.错误!D.－错误!考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案D解析sin（－390°)＝sin(－360°－30°)＝sin（－30°)＝－sin30°＝－错误!。3.下列三角函数中，与sin错误!数值相同的是（)n①sin错误!；②cos错误!;③sin错误!；④cos错误!；⑤sin(∈Z)。错误!A。①②B。①③④D.①③⑤C。②③⑤考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案C4.sin(π－2）－cos（4π－2)化简的结果为（)A。sin2－cos2B.－1C.2sin2D.－2sin2考点利用诱导公式化简8/1282018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4题点利用诱导公式化简答案A解析原式＝sin2－cos2,所以选A。fxaxαbxβabαβabαk5。设（)＝sin(π＋)＋cos（π＋）＋4,其中，，，∈R，且≠0，≠πkff（∈Z).若（2009)＝5，则(2015）等于()A.4B.3C.－5D。5考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案Dfaαbβ解析∵(2009）＝－(sin＋cos)＋4＝5，faαbβ∴(2015)＝－（sin＋cos）＋4＝5。6.已知sin错误!＝，则错误!sin错误!的值为()1A.B.－错误!C.错误!D。－错误!2考点利用诱导公式求值题点给值(式）求值问题答案C解析sin错误!＝sin错误!＝sin错误!＝错误!.二、填空题7.错误!＝。考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案－2错误!解析原式＝＝错误!错误!＝＝＝＝－错误!错误!错误!错误!2。fx8.已知（)＝则错误!ff＋＝.错误!错误!考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案－2f解析错误!＝sin错误!＝sin错误!＝，错误!9/1292018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4fff＝－1＝错误!－2＝sin错误!－2＝－，错误!错误!错误!ff∴＋＝－＝－2。错误!错误!错误!错误!αααα9.已知cos（π＋)＝－,π<<2π,则sin（－3π)＋cos(－π)＝。错误!考点利用诱导公式求值题点给值(式）求值问题答案错误!αα解析∵cos(π＋）＝－cos＝－，错误!α∴cos＝.错误!3παα又∵π<<2π，∴〈〈2π,2α∴sin＝－.错误!ααααα∴sin(－3π）＋cos(－π）＝－sin(3π－)＋cos(π－)＝－sin(π－）＋（－cosα)αααα＝－sin－cos＝－（sin＋cos）＝－＝。错误!错误!αα10.已知sin(π＋)＝，则cos(－2π)的值是。错误!考点利用诱导公式求值题点给值（式）求值问题答案±错误!ααα错误!解析由sin（π＋）＝，得sin＝－，所以cos＝±，错误!错误!αα所以cos（－2π)＝cos＝±.错误!11.①sin错误!cos错误!π＝；②sin(－960°)cos1470°－cos（－240°）sin（－210°）＝。考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案①错误!②1解析(1)sincosπ＝－sin错误!cos错误!＝sincos＝。错误!错误!错误!错误!错误!（2)sin（－960°）cos1470°－cos240°sin（－210°)＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°）＋cos（180°＋60°)sin（180°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝1.10/12102018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4三、解答题m解cos错误!＝cos错误!＝－cos错误!＝－。αP13。已知角终边上一点(－4,3）,求的值。错误!PO解点到原点的距离｜｜＝＝错误!5。αα根据三角函数的定义得sin＝，cos＝－，错误!错误!ααsin3π＋sin－π－αsin