线性代数线性方程组解的结构_第1页
线性代数线性方程组解的结构_第2页
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文档简介

线性代数线性方程组解的结构第一页，共二十三页，2022年，8月28日在有解的情况下，回顾：其中为增广矩阵。

当线性方程组有无穷多解的情况下，希望用有限个解表示出来。2第二页，共二十三页，2022年，8月28日一、齐次线性方程组解的结构由解的判别定理知，(*)只有零解当且仅当(*)有零解(即无穷多解)当且仅当3第三页，共二十三页，2022年，8月28日齐次线性方程组解的性质:证明（1）若为的解，则也是的解.（2）若为的解，为实数，则也是的解.证明均是的解,则它们的综上所述,若线性组合也是的解.4第四页，共二十三页，2022年，8月28日定义齐次线性方程组的一组解向量如果满足：(1)线性无关；(2)的任一解向量均可被线性表示，则称为的一个基础解系。若只有零解，则基础解系不存在。基础解系即为全体解向量组的极大无关组。定理证略下面举例说明基础解系的求法。5第五页，共二十三页，2022年，8月28日求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解。

例1解6第六页，共二十三页，2022年，8月28日自由未知量取为

7第七页，共二十三页，2022年，8月28日基础解系:8第八页，共二十三页，2022年，8月28日例2解求下面齐次线性方程组的一个基础解系：

9第九页，共二十三页，2022年，8月28日自由未知量取为

10第十页，共二十三页，2022年，8月28日自由未知量取为

基础解系:11第十一页，共二十三页，2022年，8月28日二、非齐次线性方程组解的结构称为的导出组。12第十二页，共二十三页，2022年，8月28日非齐次线性方程组解的性质:证明（1）若为的解，则是的解.证明（2）若为的解，为的解，则

是的解.13第十三页，共二十三页，2022年，8月28日定理如果

是的一个特解，那么的任一解可表为其中是导出组

的解.因此，当取遍导出组的全部解时，就给出的全部解。证明由上述性质可知，为导出组的解，记为则当取遍导出组的全部解时，就给出

的全部解。14第十四页，共二十三页，2022年，8月28日设非齐次线性方程组当取遍导出组的全部解时，就给出

的全部解。全部解的求法：满足则有无穷多解,导出组(1)求出导出组的基础解系(2)求出原方程组的一个特解则的全部解为其中为任意常数.15第十五页，共二十三页，2022年，8月28日例3解求方程组的全部解.所以有无穷多解。16第十六页，共二十三页，2022年，8月28日导出组的基础解系：特解：所以全部解为任意。17第十七页，共二十三页，2022年，8月28日例4方程组的增广矩阵为导出组的基础解系：18第十八页，共二十三页，2022年，8月28日特解：所以全部解为任意。19第十九页，共二十三页，2022年，8月28日例5解方程组(1)

为何值时,无解？有唯一解？有无穷多解？

(2)

无穷多解时，求出全部解(用向量表示)。

无解;20第二十页，共二十三页，2022年，8月28日有无穷多解,全部解为k为任意常数.21第二十一页，共二十三页，2022年，8月28日例

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