上海市徐汇区位育中学高二上学期期末数学试卷与解析

121212121212222121212121212222学年上海市徐汇位育中学二（上）期数学试卷一、填题（本大题分40分，共有题，要求接填写果，每题填得4分，否一律得零分1分）若直x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣互相垂直，则实m=

．2分）直线

关于直线x=1对称的直线方程是．3分）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．4分）若θ∈R，则直线θ•x2的倾斜角的取值范围是．5分已知双曲线则C的方程为．

的焦距为10点（1在C的渐近线上，6分）若|z|=z|，且|z+z|=2

，则|z﹣z|=

．7分）在直角坐标系中，已知曲线C：

（t为参数）与曲C：（θ为参数，a0）有一个公共点在轴上，则a等于．8分）已知F、分别为双曲线：

的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（20为∠FAF的平分线，则AF|=

．9分）已知直线：+﹣9=0和圆M：+2y﹣8x﹣8y﹣1=0，A在直线L上，B、为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，过圆心，则点A横坐标范围为．10分）椭圆+

=1（＞b0）上任意两点，Q，若OP⊥，则乘积|OP|•||的最小值为．二、选题（本大题分16分，共有题，每题给出四结论，其中且只有一个论是正确的必须把确结论的代写在题的圆括号内选对得分，否一律得零分第1页（共19页）

022222111111分）在复平面内，复数0222221111

（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限

B．第二象限

．第三象限

D．第四象限12分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（2，y点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM=（）A．

B．

．4D13分）设m，∈，若直线（m+1x+（n1﹣2=0与圆（﹣1+（y﹣1）=1相切，则m+的取值范围是（）A．[1

，1+

]﹣∞，1]∪[1，+∞）．[2﹣2

，2+2

]D∞，22

]∪[22

，+∞）14分）直线：+=1与椭圆：

+

=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积于3，则这样的点P共有（）A．1个．2个．3个．4个三、解题（本大题分44分，共有4题，解答列各题须写出必要骤15分）已知复数满足|z﹣=2，∈R，求16分）已知以点P为圆心的圆经过点（﹣10和B（4线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD|=4（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．

．17分）已知椭圆G：

=1，过点（，0作圆x+y=1的切线L交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）求m的取值范围；（3）将|AB|表示为m的函数，并求||的最大值．18分）过抛物y（P＞0的对称轴上一（a0＞的直线与抛物线相交于MN两点，自MN向直线l：x=﹣作垂线，垂足分别M，N．（1）当a=时，求证：AM⊥AN；第2页（共19页）

1111232213（2）记△AMM，△AMN，△的面积分别为，S，S，是否存在，使得对任意的a＞0均有S=λSS成立，若存在，求出λ的值；若不存在1111232213四、附题19．设椭E：

=1（b0）经过点（2，（，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ是否存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与椭圆恒在两个交点、B且在，说明理由．

？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存第3页（共19页）

22222222年海徐区育学（期数学卷参考答案与试题解析一、填题（本大题分40分，共有题，要求接填写果，每题填得4分，否一律得零分1分）若直线x﹣2y+5=0与直线2x+﹣6=0互相垂直，则实数m=1【解答】解：直线x﹣2y+5=0的斜率为直线2x+my﹣的斜率为∵两直线垂直∴解得m=1故答案为：1

．2分）直线

关于直线x=1对称的直线方程是

x+2y﹣2=0

．【解答解线

关于直线x=1对称可知对称直线的斜为2，0）点，所求直线方程为：x+﹣2=0．故答案为：x+﹣2=0．3分）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cos相交的弦长为【解答】解：由2ρcosθ=1，可得直线方程为x=，

．由ρ=2cos，得ρ

2

=2ρcos，即x

+y

=2x，化为标准方程得（x﹣1

+y

=1如图，第4页（共19页）

∴弦AB的长为故答案为：．

．4分θ∈R直线y=sinθ•x+2的倾斜角的取值范围是[0）．【解答】解：直线y=sinθ•x+2的斜率为sinθ，设直线的倾斜角为α则tanα=sinθ∈[﹣1，1∴α∈[0，]∪[，π

]∪[，故答案为：[0，

]∪[，5分已知双曲线则C的方程为．【解答】解：∵双曲线上，∴，解得，a=2

的焦距为10点（1在C的渐近线上，的焦距为10点P（，1）在C的渐近线∴双曲线的方程为第5页（共19页）

1212121212112121211212121212112121212212故答案为：，得6分）若|z|=z|，且|z+z|=2【解答】解：由|z+z|，即2zz=4∴

，则|z﹣z|=2，

．∴|z﹣z|故答案为：2．7分）在直角坐标系中，已知曲线C：（t为参数）与曲线C：（θ为参数，a0）有一个公共点在轴上，则a等于

．【解答】解：曲C：

（t为参数）化为普通方程2x+y﹣3=0，y=0，可得x=曲线C：（θ为参数，a＞0）化为普通方程：∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴∴a=故答案为：8分）已知F、分别为双曲线：

的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（20为∠FAF的平分线，则AF|=6【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠FAF的平分线第6页（共19页）

．

12222222221222222222∴

=又∵|AF|﹣|AF|=2a=6解得|AF|=6故答案为69分）已知直线：+﹣9=0和圆M：+2y﹣8x﹣8y﹣1=0，A在直线L上，B、为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，过圆心，则点A横坐标范围为[3，6]．【解答解M+﹣8x﹣8y﹣1=0方程可化x﹣2y﹣

）2

，设A点的横坐标为a．则纵坐标为9﹣a①当a≠2时，k=

，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得k=

，直线AC的方程为y﹣（a）=

（x﹣）即5x﹣（2a9﹣2a+22a81=0，又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即

≤，化简得a﹣9a18≤0，解得3≤a6②当a=2时，则A（2，与直线x=2成45°角的直线为y﹣﹣2即x﹣+5=0，M到它的距离d=这样点C不在圆M上，还有x+﹣9=0，显然也不满足条件，综上：A点的横坐标范围为[3，]．故答案为：[3，6]．

=

＞，第7页（共19页）

0010分）椭圆+

=1（＞b0）上任意两点，Q，若OP⊥，则乘积|OP|•||的最小值为．【解答解意可设点|OP|cosθOP|sin|（θ±（θ±

OQ|由P、Q在椭圆上，得：

=

+，①+=①+②，得∴当|OP|=||=

+

，②+，=时，乘积|OP|•|最小值为

．故答案为：．二、选题（本大题分16分，共有题，每题给出四结论，其中且只有一个论是正确的必须把确结论的代写在题的圆括号内选对得分，否一律得零分

11分）在复平面内，复数

（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限

B．第二象限

．第三象限

D．第四象限【解答】解：∵

=

=

．∴复数

所对应的点的坐标为（

位于第二象限．故选：B．12分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（2，y点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM=（）第8页（共19页）

202022212A．202022212

B．

．4D【解答解由题意抛物线关于x轴对称开口向右设方程为yp0）∵点M2y）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y=4x∵M2y）∴∴|OM|=故选：B．13分）设m，∈，若直线（m+1x+（n1﹣2=0与圆（﹣1

2

+（y﹣1）=1相切，则m+的取值范围是（）A．[1

，1+

]﹣∞，1]∪[1，+∞）．[2﹣2

，2+2

]D∞，22

]∪[22

，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）

2

+（﹣1

2

=1得到圆心坐标为（，1径r=1，∵直线（m+1x+（n+﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤

，设m+n=x则有+1

，即x

﹣4x﹣40∵x﹣4x﹣4=0的解为：=22

，x=22

，∴不等式变形得﹣2﹣2

﹣22

）≥0，解得：x≥2

或x≤2﹣2

，则m+n的取值范围为（﹣∞，2故选：D

]∪[2+2

，+∞第9页（共19页）

111+S22123111+S2212314分）直线：+=1与椭圆：+

=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积于3，则这样的点P共有（）A．1个．2个．3个．4个【解答】解：设（4cosα3sinαα考虑四边形PAOB面积S，

即点P在第一象限的椭圆上，S=S

△

△

=×（α+×（α（α+cosα=6

（α+∴S=6

．∵S

△

=×4×3=6为定值，∴S

△

的最大值为6

﹣6．∵6

﹣63，∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P故选：B．三、解题（本大题分44分，共有4题，解答列各题须写出必要骤15分）已知复数满足|z﹣=2，∈R，求【解答】解：设z=xyi，，∈，则z+=z+∵z∈R，∴

，=0又|﹣2=2，∴（﹣2）

+=4联立解得，当y=0时，或x=0（舍去x=0，因此时当y≠时，，z=1±，∴综上所得z=4，=1+

i，z=1

i．第10页（共19页）

AB222222222222AB22222222222216分）已知以点P为圆心的圆经过点（﹣10和B（4线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD|=4

．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．【解答】解直线AB的斜率k=1AB中点坐标为（1，2（3分）由题意可知直线AB与CD垂直，故k•k=1．所以k=﹣1∴直线CD方程为y﹣2=（x﹣1）即x+﹣3=0…（6分）（2）设圆心P（，由点P在直线CD上得：a+b﹣3=0

①…（8分）又CD的长是圆P的直径，所以直径|CD|=4∵以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）

，∴||=2

．∵P（ab（﹣，∴||（a+）+（2

）②（10分）由①②解得

或∴圆心P（﹣3，或P5，﹣2）（12分）∴圆P的方程为（x+3）+（﹣6=40

或（﹣5+（+2=40…（分）17分）已知椭圆G：

=1，过点（，0作圆x+y=1的切线L交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）求m的取值范围；（3）将|AB|表示为m的函数，并求||的最大值．【解答】解由椭圆：∴椭圆的焦点坐标为

=1可得a=4，=1，∴，．

=

，（2）由题意可知：m|≥1当m≠±1时，设切线L的方程为：y=k（﹣第11页（共19页）

22222222222122222222222121111∵直线L与圆x+y=1相切，∴圆心（00到直线的距离，∴化为km=1k）

，直线的方程与椭圆的方程联立

，化为（14k

）x

﹣8k

mx+4k

m

2

﹣4=0，∵直线L与椭圆由两个不同的交点∴△＞0即64k

4

m

2

﹣（+4k

m

2

﹣1）＞0，化为1+4k＞km，把（）代入上式可得

，化m

2

﹣10．解m＞1或m＜﹣1当m=±1时，直接验证满足题意．综上可知：m的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞（3m=1时L的方程为x=1立得|=

．同理m=﹣1时，|AB|=

．当m≠±1时，由（2）可得x+x=

，．∴||====

≤2由基本不等式可知当且仅当m=

时取等号．综上可知：||的最大值为．18分）过抛物y（P＞0的对称轴上一（a0＞的直线与抛物线相交于MN两点，自MN向直线l：x=﹣作垂线，垂足分别M，N．（1）当a=时，求证：AM⊥AN；第12页（共19页）

111123221321212222211221311121211213（2）记△AMM，△AMN，△的面积分别为111123221321212222211221311121211213得对任意的a＞0均有S=λS⋅S理由．

成立，若存在，求λ的值；若不存在，说明【解答解）当a=时，如图所示，设M，，．则=（﹣p，）•（﹣p，）=p+yy）

，N

．则设直线MN的方程为+=x，联立，化为y﹣2pmx﹣=0．∴．代入（*）可得∴AM⊥AN；

=p﹣p=0．（2）假设存在λ，使得对任意的a＞0，均有S=λS⋅S

成立．设M

N

．M（﹣ay﹣ay妨y＞0．设直线MN：my+a=x，联立

，化为y﹣2pmy﹣∵△＞0成立，∴y+y=2pm，yy=2pa．S==同理S=∴

，，．第13页（共19页）

132222222222213222222222222213SS===pa（pm+2a==a（4pm+8pa）（pm+2a∴4pa（pm+2a=λpa（pm+2a得．故存在λ=4，使得对任意的＞0均有S=λSS成立．

=四、附题19．设椭E：

=1（b0）经过点（2，（，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ是否存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与椭圆恒在两个交点、B且在，说明理由．

？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存【解答】解）∵椭E：两点，∵，解得：，

（a，0（2，1）第14页（共19页）

222222222222112222222222222222112222∴，椭圆E的方程为

…（2分）（Ⅱ假设存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点A，，且，设该圆的切线方程y=kx+方程组

x++m=8）x++﹣8=0，则△=16km﹣4（+2k﹣）（﹣m+4）＞，即8k﹣+4＞，…分），要使，需使xx+yy=0即

，所以3m﹣8k﹣8=0，所以

，又8k∴

﹣m

2

+4＞0，，∴

，即

或，∵直线y=kx+为圆心在原点的圆的一条切线，∴圆的半径为，，，所求的圆为，第15页（共19页）

此时圆的切线y=kx+m都满足而当切线的斜率不存在时切线为或

或，…（7分），与椭圆满足，

的两个交点为综上，存在圆心在原点的圆

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，，且

8分）∵，∴

，=，…（10分）①

当

k

≠

0

时∵

，∴

，∴

，∴，当且仅当

时取”=”…（11分）第16页（共19页）

．．．．．．．．．．．．．．．．

…分）③当AB的斜率不存在时，两个交点为所以此时，…（13分）

或，综上，||的取值范围为

，即：

…（14分）赠送—高中数知识点【】单性最大小值（）数的单调性①定义及判定方法函数的性质

定义如果对于属于定义域I内

图象

判定方法（）用定义某个区间上的任意两个

（利已知函数函数的

自变量的值x、,当x<时都有f(x)<f(x)，那么就说f(x)在这区间上是增数

o

f(x)

f(x)

的单调性（利函数图象（在某个区间图象上升为增）（利复合函数单调性

如果对于属于定义域I内

（）用定义某个区间上的任意两个

y

y=f(X)

（利已知函数自变量的值x当x<时都有f(x)>f(x)，那么就说f(x)在这区间上是减数

o

f(x)x

f(x)

x

x

的单调性（利函数图象（在某个区间图象下降为减）（利复合函数②公定域，个函的是函，个函的是减数增数去一减数增数减数去个函为函．③于合数yf[()]

，u)

，f()

为，ug(x)

为，yf[g()]

为若yf)

为，g(x)