专题9 立体几何(三视图和线面关系)

33333333专立几（三图线面系【2013年考试】（新标I理、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积()A18+8B、πC、16+16D、π【答案A；【解析】上半部分体积为

1

，下半部分体积

2

12

2

，故总体积

2

【考点定位】本题考查三视图以及简单组合体的体积计算，考查学生的空间想象能（新标I理6如有个水平放置的透明无盖的正方体容器器高8cm，将一个球放在容器口再向容器注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm如不计容器的厚度，则球的体积()500πA

866πB

1372πC、

2048πD、cm

【答案A；【解析】作出该球轴截面的图像如下图所示，依题意BE2，AE

，设DE

，故

AD2

，因为

2AEDE

2

，解得

x

，故该球的半径

AD

，所以

4333

【考点定位】本题考查球体的体积公式，考查学生的空间想象能.（新标Ⅱ理）个四面体的顶点在空间直角坐标系中坐分别是（101该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到的正视图可以为(A)(B)(C)(D)【答案A【解析】由题意可知：该四面体为正四面体一顶点在坐标原点，另外三个顶点分别在三个坐标平面内，所以以zOx平为投影面，则得到的正视图可以为选项【考点定位小主要考查立几何中三视图的有关知识查学们的空间想象能力，属中档.

（浙理12若某几何体的三视图（单位）如图所示，则此几何体的体积等于_cm。【答案】24【解析视问题关键是搞清几何体的直观图的构成据三视图的信息确定直观图中的边的长度和角的度数利用体积公式求解中正视图和侧视图都是三角形，且俯视图是直角三角形所原是直三棱柱被平面截后所剩余的几何体意长对正宽相等高平齐的法则由已知此几何体的直观图是一个底面是直角三角形且两直角边分别是3,4高5直三棱柱在上面截去一个三棱锥棱锥从一个顶点出发的三条棱两两垂直，底面边长分别是高3如图所，红色为截去的三棱锥，所以体积为1115232

；【考点定位题查三视图知面的体积计算公式查学生的空间想象能力；（浙理10.空间中，过点A

作平面

的垂线，垂足为B

，记

Bf()

。设

是两个不同的平面，对空间任意一点P

，Qf[(Pf[f()]1

恒有

，则（）平面

与平面

垂直

平面

与平面

所成的（锐）二面角为45

C.平平

平行

平平

所成的（锐）二面角为0

【答案A【解析】此题关键是搞清在空间中，过点

作平面的线，垂足为B

，记Bf()

。这句话的意思，即

AB

，其中垂直

，此题的关键和注意的地方是要对题目所描述的内容正确理；

f(P)f(P)D所以fC),Qf(D12

，由已知得到：

于

，

于

D

，

CQ1

于

Q1

，

DQ2

于

Q2

，且PQ1

恒成立，即

Q与重，即当1

时满足；如图2所：【考点定位此题是信息类题目查线面垂直和面面垂直的知识点考查学生的自学能力和运用所学知识解决问题的能力；本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！（陕理12.某何体的三视图如图所则体积为

【答案】

【解析】由三视图还原为实物图得半个圆锥，其体

11(233

．【考点定位题要考查了三图还原为实物图的能力和圆锥的体积公式于易题，（辽理）（）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

【答案】

-16【解析】由三视图可知，直观图为一个圆柱体中间挖去一个正四棱柱。【考点定位】本题考查三视图及空间几何体的体积计算。（江理如果方体的底面与正四面体的底面在同一平面且AB//CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m+n=（）A.8

【答案A【解析】因为过做直于CD（AB）的平面垂直平分CD所以该平面与过AB中点并与垂的平面行平正体的个侧面相交由于EF正方体的侧棱不平行所以它与正方体的六面所在的平面相交的平面个数为同与CE相交的平面有4个，共8个，选【考点定位】该题主要考查空间点面的位置关系考查空间直线与平面的平行与

．．．22．．．22相交，考查空间想象能力和逻辑思维能.（湖理7．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为1的方形，则该正方体的正视图的面积不可等（）A

B

．

D．2【答案；【解析】正方体的正视图面积应当介意1与

之间，故C不正.【考点定位】本题考查三视图，考查学生的空间想象能（广理5某四棱台的三视图如图所,该四棱台的体积是()14A.

B

316C．

3

D．

【答案B【解析】由三视图可该四棱台的上下底面边长分别为和的方,高故

11m则//n则121433

故选．【考点定位】三视图与四棱台的体积（福理12.已某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的方形，则该球的表面_【答案】

【解析三图可知几何体为内接一个正方体以方体的体对角线为球的直径2r2

2

2

2

3，球

2

。【考点定位对于三视图的考查要考查学生的空间思维能力要有较好的空间感属于中等难度。（广理设

,

是两条不同的直,

是两个不同的平,下列命题中正确的是)A.若

m

则

B若

//

m

则

//nC．

n

D．若

n//【答案D【解析】选项A中n还可能平行或者异面，故错；B中与还可能异面，故错；，

还有可能平行或者相交，故错；D中m∥nn∥故正【考点定位】考查线面的位置关系【2012年考试】

【2012高真题新课标理7如图，网格纸上小正方形的边长1几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

，粗线画出的是某(

()

()

(D)

【答案B【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高，以几何体的积为

1132

选【2012高真题浙江理】已知矩形ABCD，AB=1，BC=线BD所的直线进行翻折，在翻折过程中。

。eq\o\ac(△,将)矩形的对角存某个位置，使得直线AC与直线BD垂存某位置，使得直线AB与直线垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂.对意位置，三对直AC与BD，与CD，“AD与BC均垂直【答案【解析最简单的方法是取一长形动手按照其要求进行翻着察在翻着过程即知选项是确的．【2012高真题新课标理11已知三棱锥

S

的所有顶点都在球

的求面上，ABC

是边长为1

的正三角形，SC为O的直径，且SC；则此棱锥的体积为（）(

2()(C()62【答案A

【解析】ABC的外圆的半径r

，点到的离【2012高考真题四川理】下列命题正确的是（）A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、两平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案【解析A.两线可能平行，相，异面故A不正确两面行或相交C.正确这个平面平行或相5.【2012高真题四川理10如图，半径为R的球O的底面圆在面内，过点作面垂线交半球面于点A

，过圆

的直径

平面45

角的平面与半球面相交，所得交线上到平面距最大的点为

，该交线上的一点P

满足60

，则

、P两点间的球面距离为（）3B、43

D

3【答案A【解析据意知面AOB平面cos

222AOParccos244

，由弧长公式易得，A

、P

两点间的球面距离为

【2012高真题陕西理】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱

BC1

，

，则直线

与直线

AB

夹角的余弦值为（）

3

C.

【答案A.【解析】设

|CB

，则

CA|CCa

，B(0,0,a),Ca,0),)1

，,2a,BC(0,2

cos,1

AB1|||1

故选7.【2012高真题湖南理3某几何体的正视图和侧视图均如图示，则该几何体的俯视图不可能是【答案D【解析本题是组合体的三视图题几何体的正视图和侧视图均如图1所知原

图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，ＡＣ可能是该几何体的俯视图不能是该几何体的俯视图为它的正视图上面应为如图的矩形【2012高真题广东理】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A12πB.45C.57πD.81π【答案【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱三视图中的数量关系，可得

圆锥

圆柱

152-3

．故选C10.【高真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相，那么这个几何体不可以是

球B.三棱柱C.方形【答案D.

圆【解析】球的三视图全是圆；如图

正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方.可以排除ABC故选Ｄ．高考真题重庆理】设四面体的六条棱的长别为，1，，，2a且长为

的棱与长为

的棱异面，则

的取值范围是（A）

（B3)

（2)

（D）【答案A【解析】因为

1

22222

则

BFBE

，AB2BF2

，选A，【高考真题北京理三棱锥的三视图如图示梭锥的表面积）

30+6

C.12

【答案B【解析从所给的三视图可以得该几何体为三棱锥如图所示图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。

33本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：S，S，底右左

，因此该几何体表面积S30底后右左

，故选B【高真全国卷理知正四棱柱ABCD-ABCD中AB=2CC11E为的中点，则线AC与面BED的离为1

2AB

C

2

D【答案D【解析】连结BD交于点，结OE，为O,E是点，所以

//AC

且OE

12

AC

，所以

//BDE1

，即直线

1

与平面BED的离等于点到面的距离，过C做OE于则CF即所求距离.为底面边长为，为，以AC2

OCCE2,OE2

所以利用等积法F，D.【高考真题浙江理】已知某三锥的三视图（单位）如图所示，则该三棱锥的体积等于_

1111【答案】1【解析观察三视图知该三棱锥底面为一直角三角形右侧面也是一直角三角形故体积等于122

．15.【高真题四川理14如图，在正方体

ABC111

中，M

、

N

分别是

、

1

的中点，则异面直线

M1

与

所成角的大小是_。【答案】

【解析】本题有两种方法，一、几何法：连接M，MDDN,A111

，易知

DN面MD11

，所以

M1

与

所成角的大小是

2

；二、坐标法：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算得异面直线

M与DN所成角的大小是1

2

16.【2012高真题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该何体的表面积为______________。

【答案】3822.【高真题安徽理12某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是．【答案】92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为

的直四棱柱，几何体的表面积是

12

(22(52)

．高考真题天津理】个几何体的三视图如所示（单位该何体的体积为_________m【答案】

18【解析根据三视图可知这一个上面为长方体下面有两个直径为的球构成的组合体两球的体积为

2

43)32

长体的体积为

所该几何体的体积为

18

。【2011年高考试题】

一、选择题年高考山东卷理科下图是长和宽分相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正主)图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其(主)图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题个数是(A)3(C)1(D)0【答案A【解析】对于①可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可2.(2011年高考浙江卷理科3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4.(2011年高考安徽卷理科6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为

．．．．．．（A

(C)

(D)80【答案【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求.【解析三图可知几何体是面是等腰梯形的直棱.底面等腰梯形的上底为2下底为，高为

表【解题指导视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。5.(2011年高考辽宁卷理科8)如图锥的底面为正方形⊥面ABCD，则下列结论中不正确的是（）(A)AC⊥(B)AB∥平面(C)SA平面SBD成的角等于与面SBD所成的角(D)AB与SC所成的角等于DC与所成的角答案：D解析：对于A:因为SD平面ABCD，所以⊥因为四边形ABCD为方形，所以ACBD故AC⊥平面ABD,因

平面ABD,所以AC⊥，正确对于B因为所以平对设

BD

因AC平面，所以和在平面内射影为，则ASO和CSO是SA与面SBD所的角和与平

面所的角，二者相等，正.选D.6.(2011年高考辽宁卷理科12)已知球的直径SC=4A,B是该球球面上的两点，30

，则棱锥S-ABC的积为（）（A）

（B

（C）

（D）第图

答案：D解析主视图和府视图可知何体是由后面是半个圆锥面三棱锥的组合体，所以，左视图是D.点评本考查三视图直观图他们之间的互化同也考查空间想象能力和推理能力，要求有扎实的基础知识和基本技能。．(2011年考江西卷理科8)知

1

，

2

，

3

是三个相互平行的平面．平面1

，

2之间的距离为

面之的距离为1

直l与分别相交于2

1

，2

，3

，那么123

”是

1

2

”的A.充不必要条件．充分必要条件

B.要不充分条件D．不分也不必要条件【答案【解析】过点作面的线交平面，分别于点A、B两由两个平面平123行的性质可知

2

∥

3

所以

d12d122

故选年高考湖南卷理科3)设图是某几何体的三视图，则几何体的体积为

92

C.

42

答案：解析：由三视图可以还原为一个底面为边长是3正方形，

高为的长方体以及一个直径为3球组成的简单几何体，

其体积等于

439)32

。故选B

正视图

侧视图评析：本小题主要考查球与长方体组成的简单几何体的三视图以及几何体的体积计俯视图图

10.(2011年高考广东卷理科如图l．几何体的正视(主视图)平行四边形，侧视图左视图)俯视图都是矩，则该几何体的体积为（）

3

3

C.

3

【解析由得三视图对应的观图是如图所示的直四棱柱，平ABCD

平行四边形ABCD

3

。所以选B11.(2011年高考陕西卷理科某几何体的三视图如所示，则它的体积是（A）

8

（833（C）

8

（）

3

H

G【答案A

D【解析三图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为，圆锥底面半径、高为，

E

3

2

3

F

C所以体积为

2

123

故选A

A

1

B12.(2011年考重庆卷理科高为

的四棱锥S-ABCD的面是边长为正方形，点、A、、、D均半径为1的一球面上，则底面ABCD的心与顶点之的距离为（A）

（）（C）

（）

解析：选C.设底面中心为，球心为O则易得

2，于是，用一22

22222222个与ABCD所平面距离等于

的平面去截球，S便其一个交点，此平面的中心设为H，则

OH

22

，故

27SH48

，故72HG8

2

．年考四川卷理科)

l1

，

l2

，

l3

是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是)(A)

l1

，

llll23

（）

l1

，

lll2313(C)

llll21

，

l2

，

l3

共面（D）

l1

，

l2

，

l3

共点

l1

，

l2

，

l3

共面【答案【解析】如图，作BC于E，由

为直二面角，l，AC面

，进而

DE

又

DE

C

A于是

DE

平面

ABC

。故

DE

为

D

到平面

ABC

的距离。在

中，利用等面积法得

DE

1BC33

l

B

C15.年高考全国卷理科已知平面截球面得圆圆M且与成60二面角的平面截球面得圆N，若该球的半径为，圆MO60BM

，

A

222222的面积为，则圆的面积为(A)

7

(B)

9

(c)

(D)

【答案D【解析圆

M

的面积为

得

MA

，

OM

22

OM23

，在

RtONM中,OMN

1ONOM3,r=413圆N

故选D年考北京卷理科某四面体的三视图如图所示四体四个的面积中，最大的是A8B．

2

C．10D．

2【答案17.(2011年考辽宁卷理科一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是答案：

3解析：设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a则由

34

a

3

，解得a=2，正三棱

柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是

32

年考天津卷理科一个几何体的三图如图所示（单位m这几何体的体积为_【答案】

【解析】由题意知,几何体为一个组合其下面是一个长方(长为宽为2m,高为1m),上面有一个圆(面半径为1,为所以其体积为长方体

圆锥

13

19.年高考四川卷理科15)如图，半径为的O中一内接.圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是

答案：

R

2解析：

侧

22r2(R22

)S

侧ax

时，r

2r

RrR2

，则

4

2

2

2【2010高试题（2010浙理数）的是

l，是两条不同的直线，是个平面，则下列命题正确（A）若l，，

l

（若llm，（C）若l，，

lm

（）l，l解析选B可选进行逐个检查本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题。

（2010全卷数）正方体

ABCDAD111

的三条棱AB

、

CC1

、

AD11所在直线的距离相等的点（A）有且只有个（）有且只有个（C）有且只有3个（D）有无数个【答案D【解析】直线

上取一点，分别作

垂直于

于

则（2010全卷数）知正四棱锥

SABCD

中，

SA2

，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1

（B

（C）

（D）3【答案【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问.【解析】设底面边长为，则高，

所以体积设，，取值时，，得或a=4时体积最大，此时，选（2010辽理数）(12)有四根长都为的铁条，若再选两根长都为a的铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的值范围是

(A)（0,

）

(B)1,

2

）(C)

2,2

）

(D)（2）【答案A【解析条长2的铁条与两根长为直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况）面是边长为正三角形，三条侧棱长为，，，如图，此时可以取最大值，可知AD=

，SD=

2

，则有

2

，即a

2

62)

2

，即有a<

2(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为，如图所示，此时a>0;综上分析可知a（

2

）（2010江理数）过正方体

ABC1111

的顶点A作线L使L与,AD所成的角都相等，这样的直线L可作1A.1条

B.2条

条

D.4条【答案D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。

，，第一类通点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC第类在形外部和每条棱的外角和另条棱夹角相等，有3条合计4条（2010四理数径的球O的直径垂直于平面足，是平面内边长为的正三角形，线段ACAD分与球面交于点，N那么、N两点间的球面距离是（）

arccos

1718（）Rarccos2525

（C）

R

（D

R解析：由已知，AB＝R＝,故∠BAC2∠BAC5连结，则△为腰三角形

12

AM＝∠BAC而AC＝

4545R，理AN55

R

，且MNCD

故MN：CDAN:AC

＝

45

，连结、ON，有＝＝R于是∠MON

OMMNOM所以、两间球面距离是

arccos

1725

答案：A

（2010山理数）(3)在空间，下列命题正的是（A）平行直线的平投影重合（B平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（）垂直于同一平面的两条直线平行【答案D【解析间线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。（2010安理数、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为AB、292、360D372【答案【解析几体由两个长方体合而成表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的侧面积之和。

S2(102(6

【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长把几何体的表面积转化为面长方体的全面积加上面长方体的个侧面积之和。（2010浙理数）某几何体的三视图（单位）如图所示则此几何体的体积是

解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题（2010辽理数）图，网格纸的小正方形的边长是1在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长______.【答案】

3【解析三图可知多体是一个底面边长为的方形且有一条长为2的棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为

2

2

2

（2010江理数如在棱锥O中三条棱，，OC两垂，且OB>OC分别经过三条棱OA，OB，OC一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S，S，，则，S，S的小关系为。123123【答案】

321【解析考查立体图形的空间感数学知识的运用能力通过补形借长方体验证结论，特殊化，令边长为，2，3得

31

。（2010四理数面

的大小是60°段

AB

Bl

AB与l所的角为30°.与平面所的角的弦值是

AB

解析：过点作面的线，垂足为C，在β过Cl的垂线垂足为连结AD，有三垂线定理可知⊥，故∠为二面角

的平面角，为又由已知，∠ABD＝30°

A连结CB则∠ABC与面所成的角

B

D

C

设AD2，则＝

，＝＝

AD30

＝4∴sin∠＝

34答案：

34（2010天理数）个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为【答案】

103【解析题要考查三视图的念与柱体体积的计算，属于容易题。由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1高为2的正四棱柱与一个底面边长为，高为正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为正棱锥的体积为

13

43

所以该几何体的体积V=2+

410=33（2010湖理数圆形容器内部盛有高度为的，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示的半径是cm。

33【答案】44【解析】设球半径为r，由3可得3r,得球水（2010福理数）．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所则其表面积等于．【答案】

6+23【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2高为1的三棱柱，所以底面积为3234

，侧面积为

，所以其表面积为6+23（2010浙理数题满分15）如图，矩形ABCD中点E,F分在线段ABAD上

23

FD.直线EF将VAEF翻折成

'

EF

，使平面

'EF平面B

，因A，因AA''（Ⅰ）求二面角

'

的余弦值；（Ⅱ）点M,N分在段FD，若沿直线MN将边形MNCD向翻折，使C

与

'

重合，求线段

FM

的长。解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。（Ⅰ）解：取线段的点H，结'H是EF的点，所以

A

'

F

及又因为平面AEF平面如图建立空间直角坐标系A-xyz则

A

'

（2，2，

（，8，0F（4，0（100，）.故

FA

'

（，2，2

2

FD

=（，0）设n

（x,y,z）为平面AFD的个法向量，所以6x=0.

z=0取

，则

n

。

所以

FM

214

。方法二：（Ⅰ）解：取线EF的中点HAF的点,连'GAHGH

。因为

'E

=

'

及

H

是

EF

的中点，所以

'HEF

故二面角

ADF

的余弦值为

33

。（Ⅱ）解：设FMx,因为翻折后，与'重，所以

AM

，而

CM

2

DC

2

DM

2

2

)

2

，'M

2

'

2

2

'H

2

MG

2

GH

2

2)

21x得，4经检验，此时点

在线段

上，所以

FM

214

。【2009高试题广东文理给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这