中考数学综合题专题复习【平行四边形】专题解析及详细答案

中考数学综合题专题复习【平行四边形】专题解析及详细答案一、平四边形1．四边形是方形，与，交于点O，点EF是线AD上动点，且，所在直线与对角线BD所直线交于点，接AG直线AG交BE于．（）图1，点EF在线段AD上时，求：；猜与BE的位置关系，并加以证明；（）图2，（）件下，连接HO，试说明HO平BHG；（）点EF运动到如图3所的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出BHO的数．【答案】（）证明见解析；②AG．由见解析；2）明见解析；3BHO=45°【解析】试题分析：1）根正方形的性质得DA=DC，ADB=CDB=45°，则可根据SAS证明ADGCDG，所以；根据正方形的性质得AB=DCBAD=，根“证eq\o\ac(△,)ABEDCF，则ABE=，由于DCG所以，后利用BAG=90°得ABE+BAG=90°，是判断AGBE；（）答图1所，过点O作BE于点，于，eq\o\ac(△,)≌BOM，可得四边形OMHN为方形，因此HO平BHG结论成立；（）答图2所，与（同理，可以证明；过点作OMBE于M，ON于，造全等三角eq\o\ac(△,)AONBOM，从而证明为方形，所以HO平分，BHO=45°．试题解析：1）四形为方形，，ADB=CDB=45°，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中，ADGCDG（）；．理由如下：四形为方形，AB=DC，BAD=，

eq\o\ac(△,)和DCF中，DCF（）ABE=DCF，，ABE，BAG=90°ABE+BAG=90°，，BE；（）（）可知BE．如答图所，过点O作OMBE于点M于点N，则四边形OMHN为形．，又OBAON=．AON+OAN=90°，BOM+，OAN=．eq\o\ac(△,)AON与BOM中AONBOM（）OM=ON，矩OMHN为方，HO平分BHG．（）图形补完整，如答图2示，．

与（）理可以证明．过点作于，AG于点N，与（）理可以证eq\o\ac(△,明)AONBOM，可得OMHN为方形，所以HO平分BHGBHO=45°．考点：、边综合题2、等三角形的判定与性质3、方形的性质2．问题发现：（1）如图，为行四边形内一点，请过点画条直线l，其同时平分平行四边形ABCD的积周长．问题探究：（2）②，平面直角坐标系

xOy

中，矩形

OABC

的边

OA

、

OC

分别在轴、

y轴正半轴上，点B坐标为(8,6)．知点(6,7)为形一点，请过点画条时分矩形

OABC

面积和周长的直线

l

，说明理由并求出直线

l

，说明理由并求出直线

l

被矩形ABCD

截得线段的长度．问题解决：（3）③，平面直角坐标系xOy中矩形的、分别在x轴

y轴正半轴上，DC∥x轴，y轴且

，

AB

，点P(10

为五边形内一点．请问：是否存在过点的线

l

，分别与边

与于点、，同时平分五边形的面积和周长若在，请求出点和点F坐标：若不存在，请说明理由．

交轴2交轴2【答案】（）图见解析；2）

y2

，5；）E(0,0)，F．【解析】试题分析：1）接、交于点O，作直线PO，直线PO将行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分．（）接AC交于点点的直线将矩形ABCD的积和周长分为分别相等的两部分．（）在，直平五边形积、周长．试题解析：（1）图如下：（2）

，O

，设

:kx

，{，{，

y，N

，交,6

，MN625．2（

）存在，直线平五边形OABCD面积、周长．(102,102)

在直线

x

上，连交OA、BC于E

、

，设

BC:y，B(8,2)C(2,8)

，k{，{，kb10

{菱PQMN形={菱PQMN形=直

BC:y

，y联立，，yy

，

F(5,5)

．3．如图eq\o\ac(△,)是等边三角形，，为中点．动点、在AB上时从点出发，点P沿D→A以1cm/s速度向终点运动．点沿D→B→D以2cm/s的度运动，回到点停．以PQ为在上方作等边三角形．eq\o\ac(△,)绕QN的点旋转180°得eq\o\ac(△,)．设四边形eq\o\ac(△,)ABC重部分图形的面积为Scm）点运动的时间为（）0＜）．（）点落在边BC上，求的值．（）点到点A、的离相等时，求t的．（）点沿D→B运时，求S与t之间的数表达式．（）四边形PQMN的边MN、与BC的交点分别是E、，接写出四边形PEMF与四边形PQMN的积比为：时t的．【答案】（）（2）2（3）S=S=2S

PNQ

；（）t=1或【解析】试题分析：1）题意知：当点N落边BC上时，点与点重，此时DQ=3（）点到点A、的离相等时，点N在的线，此时PD=DQ；（）0≤t≤时四边形PQMNeq\o\ac(△,)重部分图形为四边形；≤t≤时四

==边形PQMNeq\o\ac(△,)重部分图形为五边形PQFEN．（）、与BC的有交点时，此时＜＜

，列出四边形与边形的面积表达式后，即可求出的．试题解析：1）与都等边三角形，当落在边BC上，点Q与点重．．t=；（）当到A、的离相等时，点N在AB的线上，PD=DQ，当0＜＜时，此时，，t=2tt=0（不合题意，舍去），当＜时此时，，DQ=6﹣2tt=6﹣，解得t=2；综上所述，当点到点、的离相等时，t=2；（）题意知此时PD=t，当点在BC边上时，MN=BQ，﹣﹣解t=如图，0≤t时eq\o\ac(△,)

=PQ=；S=S

菱

=2S

PNQ

，如图，≤t≤时设MN、MQ与BC的点分别是、，

，﹣，﹣NE=PQBQ=5t﹣，EMF是等边三角形，

eq\o\ac(△,)EMF

=ME=

（﹣）．；（）、与BC的交点分别是E、，此时＜＜t=1或

，．考点：几何变换综合题4．如图，在正方形中，E是边BC上一动点（不与点B、重），连接、点关于直线的对称点为C，连接AC并长交直线DE于P，是的中点，连接DF（）求FDP的数；（）接，请用等式表示AP、、三线段之间的量关系，并证明；（）接，若正方形的边长为2，请直接写eq\o\ac(△,)ACC′的面积最大值．【答案】（）；2）+DP2AP，证明详见解析；）2﹣【解析】【分析】

（）明＝CDE和ADFCDF，可得＝

＝；（）辅助线构建全等三角形，证eq\o\ac(△,)DAP（SAS），得＝'，从而得是等腰直角三角形，可得结论；（）作高线，eq\o\ac(△,)的面积中底边AC为定值2，据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，'G最大，eq\o\ac(△,)ACC的面积最大，并求此时的面积．【详解】（）对称得＝'D＝CDE，在正方形中AD＝，＝90°，AD＝D，是AC的点，DF，＝CDF，FDP＝'+EDC＝

＝；（）论+DP＝2

，理由是：如图，作AP交PD的长于P，'＝，在正方形中DA＝BABAD＝，DAP＝，由（）知FDP＝DFP＝APD＝，P＝45°，AP＝'，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)DAP中

，

BAPDAP'（），BP＝DP'，

DP＝＝AP；（）图，过作'GAC于，S

＝'C

'G，eq\o\ac(△,)ABC中＝＝

，AC＝

(

2

2)

2

，即AC为值，当G最值eq\o\ac(△,)的积最大，连接，AC于O，在BD上，G最，此时与O重，CD＝'D＝

，OD

＝，C'＝

﹣，S

＝ACC

1•22

．【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5．如图，四边形中对角线AC、相于点O，=BODO，ABCADC．（）证：四形ABCD是形．（）若ADF：FDC：，，求BDF的数．【答案】见析；（）18°.【解析】【分析】（）据平行边形的判定得出四边形ABCD是行四边形，求出ABC=90°，据矩形的判定得出即可；（）出FDC的数，根据三角形内角和定理求DCO根据矩形的性质得出OD=OC，求出，可求出答案．

【详解】（）明，四形是行四边形，ABC=ADC，ABC+ADC=180°，ABC=，四形是形；（）：ADC=90°ADF：FDC=3：，FDC=36°，AC，DCO=90°﹣，四形是形，OC=OD，ODC=54°BDF=ODC﹣FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．6．已知：如图，在平行四边形ABCD中O为角线BD的中点，过点的线EF分交，于E，两，连结BE，．（）证eq\o\ac(△,)DOEBOF．（）当DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．【答案】（）明见解析；2）DOE=90°时，四边形为形，理由见解析【解析】试题分析：1）用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得eq\o\ac(△,)DOE（）（）先利用组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，可得出答案试题解析：1）在ABCD中，为对角线BD的点，，EDB=，eq\o\ac(△,)EOD和FOB中，

DOEBOF（）（）当DOE=90°时四边形BFDE为形，理由：DOEBOF，OE=OF又，四边形EBFD是行四边形，，，四形BFDE为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．7．如图，四边形中，BCDD=90°，是的已知，=2.（）BC=，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（）当B=70°时AEC的数（）eq\o\ac(△,)ACE为角三角形时，求边BC的长【答案】（）y2或.

2x

；（）AEC（）的长为【解析】试题分析：1）A作AHBC于，到四边形ADCH为形．eq\o\ac(△,)BAH中，由勾股定理即可得出结论．（）中T，连接TE，是形中位线，得ET，，AET．又ADAE=1，得到=ADE．垂平分，得DET=35°，可得到结论．（）两种情讨论①当AEC，易eq\o\ac(△,)CAE，得BCE=30°，eq\o\ac(△,)ABH即可得到结．②当CAE时，易eq\o\ac(△,)，相似三角形应边成比例即可得到结论．试题解析：解：1）A作AHBC于．BCD=90°，四边形ADCH为形．eq\o\ac(△,)BAH中=2，BHA，y=x，22

，则y

（）中T，联结TE，是形中位线，得ET，，

AETB=70°又ADAE=1，AED=ADE．垂平分CD，得==35°，．（）两种情讨论①当AEC，易eq\o\ac(△,)CAE，得BCE=30°，则eq\o\ac(△,)中，B=60°，AHB，，得BH=1，于是BC=2．②当CAE时，易eq\o\ac(△,)，

2

AB

2

2

，则

AC

x

1

x

117xx

（舍负）易知<90°，以BC的长为

．综上所述：边的长为2或

．点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．8．如图（）正方形中点是CD边一动点，连接AE，BFAE，垂为G交于（）证：＝；（）接，平分，图2）求证：点E是CD中点；（）（）的条件下，连接CG，图3）求证：CG＝．【答案】（）解析；2）解析；）CG＝见解析．【解析】【分析】

（）eq\o\ac(△,)ADE（）可解决问题．（）点作GF，GE垂足分别为点，．办法证明＝，可解决问题．（）长AE，交于点P，（知DE＝，用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BCCP即可．【详解】（）明：如中在正方形中，＝，BAD＝D＝90，＝又AE，＝＝，1＝3eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中，1=3BA=AD∠BAF=D（＝．（）明：过D作DMGF，GE，足分别为点，．由（）1＝，BGA＝AND＝，＝（＝，又平分EGF，GF，GE，＝，＝AG，又AFG＝，AGFDMFDFM（AAS）

＝＝DE

＝CD即点是CD的点．（）长AE，交于点P，（知DE＝，ADE90°DEACEP，PCE（）＝，又，BC＝PC，在eq\o\ac(△,)BGP中，BC＝，＝

BP＝，＝．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．9．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：（）列哪个边形一定是和谐四边形．．行四边形．形

．形

D．等腰梯形（）题：和四边形一定是轴对称图是

命题（“真或假）（）图，等eq\o\ac(△,)中BAD90°．点C为面上一AC为四边形的和谐线，且BC，请求出的度数．【答案】（）C；（）ABC的数为60°或90°或150°.【解析】

试题分析：1）据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结.（）据和谐边形定义，分AD=CD，，讨论即.（）据和谐边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选.（）等eq\o\ac(△,)中BAD=90°，AB=AD.AC为凸四边形ABCD的谐线，且AB=BC，分种情况讨论若AD=CD，如图1，凸四边形ABCD是正方形ABC=90°；若AD=AC，图，则AB=AC=BC，ABC是边三角形ABC=60°；若AC=DC，图，则可求考点：新定义2．形的性质；．方的定和性质4．等边三角形的判定和性质；分思想的应.10．VABC中，BC于点D，为边中点，过点作的长线于点F，连接CF．如图1，证：四边形ADCF是形；

AF/BC

，交

如图，

AB

时，取中点

G

，连接

DG

、

，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形

ADCF

）．【答案】证见解析）四边形、边形AGDE、四边形都是平行四边形．

、四边形

GBDE

、四边形【解析】【分析】（）eq\o\ac(△,)，推出EF=DE又，出四边形是行四边形，只要证明，即可推出四边形是形．

（）边形ABDF四边形AGEF四边形GBDE、四边形AGDE、边形都是平行四边形．【详解】

证明：

AF//

，

AFEEDC

，E是AC中，，在VAEF和

VCED

中，CDE

，

VAEF

，，AEEC，四形是行四边形，ADBC，

ADC90

，四形是形．

线DG、段线段都的位线，又

AF//

，

AB//DE，DG//AC，EG/

，四形ABDF、边形

、四边形

GBDE

、四边形

AGDE

、四边形

都是平行四边形．【点睛】考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关.11．图1，正方形ABCD中，，P是对角线上任意一点，连接，过P作PE交直线AB于E．（）求：PC=PE;（）延AP交直线CD于点F.①如2，点F是CD的中点，eq\o\ac(△,)APE的积；②若ΔAPE的面积是

，则DF的长为（）如3，在AB上连接EC交BD于M,作E关BD的对称点，接，，过点P作PNCD交EC于点，接QN，，MN=面积是

2

，则MNQ的

【答案】（）；（2），或；）

【解析】【分析】（）用正方每个角都是90°对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得;（）eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)的高，由面积法容易求出这个高的从而得eq\o\ac(△,)PAE的和，并求出面积第2小思路一样，通过面积法列出方程求解即;（）据已经件证eq\o\ac(△,)是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面.【详解】(1)证：点P在对角线BD上，ADPPE，EPB+EBP+EPB=45°+90°-BPC=135°-BPC,＝∠DCP=BPC-PDC=BPC-45°,BPC-45°)=BPC,PAE,PC=PE;（）如图，过点分别作PHAD,PG垂分别为H、延长交AB于点M.四形是方形，在对角线上，四形是方形，

AB,设PH=PG=a,F是CD中点6，FD=3,SnADF

=9,SnADF

=

Sn

n

=

ADDFPG

,

,解a=2,又PA=PE,

n

=

MP

,②设HP＝由可

n

=

b6

,解得b=2.4或3.6SnADFnn

=

ADDFPG

,

1DFDF22

,当b=2.4时，；当＝时，DF＝即DF的为4或9;（）图，EQ关BP对，1＝22+3＝4,易eq\o\ac(△,)PNQPNC,6,7=8,EM=QM,NQ=NC,7=90°,MNQ是角三角形,

222222设列程组72

,可得

ab=,

S

VMNQ

,【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键要注意运用数形结合思.12．问发现如图1,点E.分别在正方形ABCD的BC、上，连接EF、=+DF，试说明理由；(2)类引申如图2,在边形中ABAD,=90°,点E.F分别在边、CD上EAF=45°，B，D都是直角，则B与D满足等量关系时，仍有BE+DF；(3)联拓展如图3,eq\o\ac(△,)ABC中BAC=90°,AB=,点D、均边BC,且猜想BD、、满足的等量关系，并写出推理过程。【答案】（）见解析；2详见解析；（）见解.【解析】试题分析：1）eq\o\ac(△,)ABE绕逆时针旋转90°eq\o\ac(△,)可使AB与重合，证出，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出案；（）eq\o\ac(△,)ABE绕A逆针旋转至ADG可使AB与重合，证eq\o\ac(△,)AFEAFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；（）eq\o\ac(△,)ACE旋到的位置，连接，证eq\o\ac(△,)AFEAFG（）则EF=FGC=ABF=45°eq\o\ac(△,)是角三角形，根据勾股定理即可作出判断．试题解析：理是：如图1，

AB=ADeq\o\ac(△,)ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使与AD重，如图，ADC=B=90，FDG=180，F.D.G共，则，AE=AG，∠∠BAE=90=45=EAF，即，eq\o\ac(△,)EAFeq\o\ac(△,)GAF中，，，，；(2)D=180时，EF=BE+DFAB=ADeq\o\ac(△,)ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使与AD重，如图，BAE=DAG，BAD=90，BAE+∘，，ADC+B=180，FDG=180，F.D.G共，eq\o\ac(△,)AFEeq\o\ac(△,)AFG中，，，，EF=FG，即：，故答案为：B+ADC=180；(3)BD

+CE=DE

.

理由是：eq\o\ac(△,)旋到ABF的置，连接，则∠CAE.BAD+CAE=45，又CAE，∠DAE=45，则eq\o\ac(△,)ADF和ADE中，AD=AD，∠DAE，，ADFADE，ABF=45，BDF=90∘，BDF是角三角,BD

+BF

=DF，BD

+CE=DE2.13．问题发现）（）图1）边形中若，=，则线段BD，的位置关系为；（拓展探究）（）图2）eq\o\ac(△,)ABC中点F为边BC的中点，分别以AB，为底边，在eq\o\ac(△,)ABC外部作等腰三角形ABD和腰三角形，接FD，，别，于点M，．猜想四边形FMAN的状，并说明理由；（解决问题）（）图3）正方形ABCD中AB=2

，以点A为转中心将正方形旋60°，得到正方形AB''D，请直接写出'平方的值．【答案】（）垂直平分；（2）边形是矩形，理见解析；316+8或16﹣

【解析】【分析】（）据点A在段BD的垂直平分线上，点在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；（）据eq\o\ac(△,)中点F为边BC的中点，可得，根据等腰三角形ABD和等腰三角形，可得到，AE=CE进而得∠，可判定四边形AMFN是形；（）两种情①点A为转心将正方形ABCD逆时针旋转60°，以为转中心将正方形顺时针旋转60°，别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．【详解】（）AB，CB，点A在段的直平分线上，点在段的直分线上，AC垂直平分BD，故答案为：垂平分BD；（）边形是矩形．理由：如图，接AF，eq\o\ac(△,)ABC中，点F为边的中点，AF=CF=BF，又等三角形ABD和腰三角形ACE，=DB=CE，由）可得，，，又BAC=90°，=，四形是矩形；（）′平方为

或16﹣

．分两种情况：①以A为旋转中心将正方形ABCD逆针旋转60°，如图所示：过D作DE，交的长线于，

由旋转可得DAD'=60°，EAD，AB=2=AD，D'='=BE+

，=，

，eq\o\ac(△,)'中，BD=DEBE2（

）+（+

）=16+8②以A为旋转中心将正方形ABCD顺针旋转60°，如图所示：过作BFAD于，旋转可得，DAD'=60°，BAD，AB=2=AD，BF=

，=

，﹣，D'Feq\o\ac(△,)'F中=BF

+D2（

）+（

-

）=16﹣综上所述，平的长度16+8

或16﹣

．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构