广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二理科数学试卷(解析版)

广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二理科数学试卷（解析版）一、选择题1bi2i是纯虚数（bb（）i是虚数单位，是实数），则1．.若复数11A.B.C.222.2D【答案】B【解析】01b11bi2i1b12bi是纯虚数，则有，解得b，12b02试题分析：故选B.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的概念2．在各项都为正数的等比数列a中，a3，前三项的和为，则aaa（）21n1345337284A.B.C.189D.【答案】C【解析】q0，由于a3，1试题分析：设等比数列a的公比为q，则naaa33q3q221，化简得qq60，解得q2，2123aaa3q23q33q432232332484，故选C.345考点：等比数列的性质3．阅读如图程序框图，若输入的N100，则输出的结果是（）第1页共16页101A.B.C.50512103D.2【答案】A【解析】试题分析：i1，N100，iN不成立，执行第一次循环，iN不成立，执行第二次循环，S123，i213；iN不成立，执行第三次循环，S123，i314；；S011，i112；100101iN不成立，执行第一百次循环，S123100，i1001101；2S1001011iN成立，输出50，故选A.i2101考点：1.数列求和；2.算法与程序框图1ABC4．在中，已知AD2DB，CD3CACB，则D是AB边上的一点，若（）211A.B.C.33323D.【答案】A【解析】122CDCACB2CD，解得CD3CA3CB，，试题分析：AD2DB，即3故选A.考点：平面向量的线性表示5．“a1”是“直线axy60与直线4xa3y90互相垂直”的（）2第2页共16页A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】axy60试题分析：若直线24xa3y90互相垂直，则与直线4a3a10，解得或a1a241a304aa30，即2，即a3axy60，故“a14xa3y90互相垂直”的”是“直线2与直线4充分不必要条件，故选A.考点：1.两直线的位置关系；2.充分必要条件6．某校300数学成绩的频率分布直方图如图所示，由图中数据估计此名高三学生期中考试次数学成绩平均分为（）697173A.B.C.75D.【答案】C【解析】试题分析：由频率分布直方图知2a1010.040.030.02100.1a0.005，故此次数学成绩的平均分为x550.005650.04750.03850.02950.0051073，故选C.考点：1.频率分布直方图；2.平均数yxxy2azxy24，且的最大值是最小值的倍，则的值是（）7．已知、满足xyxa312A.B.C.44114D.【答案】B【解析】第3页共16页yxxaxy2所表示的可行域如下图所示，联立得点试题分析：作出不等式组yxxaAa,a，z=2x+yyy=xB(1,1)x+y=2xOA(a,a)x=ayx联立得点B1,1，作直线l:z2xy，则z为直线l在y轴上的截距，当直线xy2l经过可行域上的点时，此时直线l在轴上的截距最小，此时z取最小值，即Ayz2aa3a；当直线l经过可行域上的点B时，此时直线l在y轴上的截距最大，minz2113，由题意知，z取最大值，即此时max1a，故选B.z4z，即，解得343a4maxmin考点：线性规划2,0fxxabxxx0，28．若、是方程xlgx，的解，函数4x104abx2,fxx的解的x则关于的方程个数是（）3A.B.C.124D.【答案】C【解析】4104xx，的实数根，作出函数ab试题分析：由题意知，、是方程lgxxfxlgx，gx10x与函数hx4x的图象如下图所示，则函数fxlgx与函数hx4x交于点Aa,lga，函数gx10x与函数hx4x交于点Bb,10，b第4页共16页fxlgx与函数gx10x关于直线对称，且直线与垂4x由于函数yxyxyC2,2，故点、也关于直线对称，且其中点为点，因此C2,2直，且交于点AByxab4，当x0时，fxx4x2，解方程fxx，即x3x20，22yg(x)=10xy=xA(a,lga)f(x)=lgxCh(x)=4-xBb,10bxO解得x2或x1；当x0时，fx2，解方程fxxx2，故关于x的方程fxx的实根个数为，故选C.3考点：1.函数的零点；2.函数的图象；3.分段函数二、填空题9．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为.2【答案】.3【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且底面是一个等腰直角三角形，腰长为第5页共16页2，其面积为S121，三棱锥的高为，故该三棱锥的体积为V1122322.23考点：1.三视图；2.三棱锥的体积x2y212m的离心率是，则的值是.10．已知双曲线m1【答案】.3【解析】试题分析：由题意知，双曲线的离心率em12，解得m1.3m考点：双曲线的离心率bq1,S满足p//q，则C.cCSABCB11．在ABC中，已知、、分别为A、、所对的边，为的面积，a若向量p4,a2b2c2，45【答案】.【解析】q1,S，且有p//q，故有4Sa2b2c2，p4,a2b2c2，试题分析：而S12absinC，故有tanC1，a2bc222absinC2a2bcsinCcosC，，22ab由于，0CC45.考点：1.平面向量共线；2.三角形的面积公式；3.余弦定理；4.同角三角函数的商数关系1212．在市数学竞赛中，A、B、C三间学校分别有名、名、名同学获一等，将这六名3同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有种.72【答案】.【解析】试题分析：利用捆绑法，先将各学校的学生捆绑在一起，然后再将各学校的学生的整体进行排序，但是需要考虑各学生之间的顺序，故共有A3A2A372种排法.323考点：1.捆绑法；2.排列组合13．给出下列四个命题：①函数fxeex有最小值是；2xfx4sin2x的图象关于点,0对称；②函数36③若“p且q”为假命题，则p、q为假命题；fxfx成立，④已知定义在R上的可导函数yfx满足：对，都有xR第6页共16页x0时，fx0.x0时，fx0，则当若当其中正确命题的序号是.【答案】①②④.【解析】e0，fxexex2exex2，当且仅当试题分析：对于命题①，xx0时，上式取等号，即函数fxeex有最小值，故exexe2x1，即当2x4sin20，故函数63命题①正确；对于命题②，由于f6fx4sin2x的图象关于点3q”为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，故命题③错误；对于命题④，由于函数fx上单调递增，由奇函数的x0时，fx0，即函数fx在区间0,是奇函数，当fx0fx在上也是单调递增的，即当时，,0x0性质知，函数仍有，故命题④正确，综上所述，正确命题的序号是①②④.考点：1.基本不等式；2.三角函数的对称性；3.复合命题；4.函数的奇偶性与单调性sin22的距离为.14．在极坐标中，圆的圆心到直线44cosC2【答案】.【解析】x2y4，2试题分析：圆的直角坐标方程为x2y24x，化为标准式4cos得2sin22的直角坐标方程为xy4，即圆心C坐标为，直线2,04xy40，故圆心C到直线xy40的距离d2042.1212考点：1.极坐标方程与直角坐标方程的互化；2.点到直线的距离15．如图，平行四边形ABCD中，AE:EB1:2，AEF的面积为1cm2，则平行四边cm形ABCD的面积为2.第7页共16页24【答案】.【解析】AE1试题分析：由于四边形ABCD为平行四边形，AB//CD，且EB2，AE112AEAEAECDABAEEB3S9S，AEF9cm2，同CD，SAEF9SCDFCDFEFAE1S，EF1理AEFS，ADFDFCD3DF3SADF3S3cm2AEFSSCDF3912cm2，故SACD，因此四边形ABCD的面积ADFS2SACD21224cm2.考点：相似三角形三、解答题16．设向量a6cosx,3，bcosx,sin2x，x0,.2（1）若a23，求的值；x（2）设函数fxab，求fx的最大、最小值.【答案】（1）x233，最大值为.；（2）函数fx的最小值为63【解析】a23得出cosx（1）先由平面向量模的计算公式由条件x的值，结合角的取试题分析：坐标运算求出函数fx的解析x值范围求出的值；（2）先由平面向量数量积的式，并将函得出2x6的取数fx的解析式化简为fx23cos2x3，先由x0620,值范围，再利用余弦曲线确定函数fx在区间上的最大值与最小值.2第8页共16页cos2x1，cosx1，42试题解析：（1）a23，36cosx323，2x0,23；，cosx0，cosx12，x（2）fxab6cos2x3sin2x61cos2x3sin2x23cos2x3sin2x3233cos2x1sin2x323cos2x3，2262x7，1cos2x3当x0,时，，266662即函数fx的最小值为2336，最大值为.考点：1.平面向量模的计算；2.平面向量的数量积；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值17．在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的22列联表，且已知在甲、3乙两个文科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为.11优秀10非优秀合计甲班乙班合计30110（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为成绩与班级有关系？（3）在甲、乙两个理科班优秀的学生中随机抽取两名学生，用表示抽得甲班的学生人数，求的分布列.【答案】（1）详见解析；（2）按99%的可靠性要求，能认为成“绩与班级有关系”；7910（3）抽到或号的概率为.36【解析】试题分析：（1）先根据题中条件确定乙班优秀的人数，然后根据甲乙两班的总人数将表中其它的数据补充上；（2）先提出假设“成绩与班级无关”，根据表中数据求出K2的值，然后利用临界值表确定犯错误的概率，进而确定是否有99%的把握认为成绩与班级有关系；（3）先确定随机变量的可能取值，然后根据超几何分布的方法求出随机变量在相应的取值下的概率，并列出相应的分布列.试题解析：（1）列联表如下表所示：优秀非优秀合计第9页共16页1020305030806050甲班乙班合计110（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据，得到27.4876.635，K2110103020506050308099%因此按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；1020分别为、，（3）由（1）知，甲、乙两个理科班优秀的学生人数012取值为、、，依题意得，的可能C103840，P210879，P0C2，P1C11C220C23020C8787C223030所以的分布列为：012388740879P87考点：1.独立性检验；2.古典概型；3.离散型随机变量的分布列18．如图，已知矩形ABCD中，AB10，BC6，将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到A点，且A在平面BCD上的射影O恰好在CD上.11（1）求证：BCAD；1（2）求证：平面ABC平面1ABD；1（3）求二面角ABDC的余弦值.19【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）二面角ABDC的余弦值25.1【解析】射影点在棱CD上得到AO平面BCD，试题分析：（1）利用折叠后点A在平面BCD内的11第10页共16页从而得到AOBC，再结合BCCD即可证明BC平面，进而证明BCAD；ACD1111）中的结论BC平面ACD并结合平面与平面垂直的判定定理即可证明平面1（2）由（ABC平面ABD；（3）先作OEBD，连接BCDAE，利用（1）中的结论AO平面1111AOBD，于是得到BD平面，于是得到为二面角AEO1AEO1ABDC的1得到1AEO中计算，进而确定二面角cosAEOABDC的余1平面角，然后在直角三角形11ABDC的余弦值弦值；另一种方法是利用空间向量法计算二面角.1试题解析：（1）A在平面BCD上的射影O在CD上，AO平面BCD，11又BC平面，BCAO，BCD1又BCCO，AOCOO，BC平面ACD，11又AD平面，ACDBCAD；111四边形ABCD是矩形，ADAB，（2）11由（1）知ADBC，ABBCBAD，平面，ABC1111又AD平面，平面平面；ABD1ABC1ABD11（3）AD平面，ABCADACRtABDAD6CD10，得中，由，1，在11111AC8，AO245，11过点O作OEBD，垂足为点E，连接AE，1由AO平面BCD，AOBDAEOBDAE，，BD平面，1111AEO1ABDC的平面角，1为二面角BCODBD5430又在RtDE和RtDBC，EO，AE1，53434cosAEOEO9AE25；11x以DA方向为轴，DCy轴，OA的方向为1另解：以点D为坐标原点，以方向为以平行z第11页共16页，DB61,00,A0,,，得551824D0,0,0、B6,10,0、轴，建立空间直角坐标系，可知1824DA0,,，5516x10y0设平面ABD的法向量为nx,y,z，由18n20,12,9，y245z0，得1115200120919cosn,n12而平面BDC的法向量为n0,0,1，25，1229202229.25ABDC的余弦值为结合图象可知二面角1考点：1.直线与平面垂直；2.直线与直线垂直；3.平面与平面垂直；4.二面角的求解a1，a3，a3akak0对任意nN成立，令n19．在数列a中，n12n2n1baa，且b是等比数列.nn1nn（1）求实数k的值；（2）求数列a的通项公式；n111134aaa（3）求证：a21.123n【答案】（1）k2；（2）a2n1；（3）详见解析.n【解析】试题分析：（1）先利用题中的定义，利用数列b的前三项成等比数列求出k的值，然后n就k的值进行检验，即对数列b是否为等比数列进行检验；（2）根据等比数列b的通nn项baa2n选择累加法求数列a的通项公式；（3）利用nn1nn12n12222，将数列1从第三项开始放缩为一个等比数列，而前面两n1nan项的值保持不变，再利用数列求和即可证明相应的数列不等式.a1，a3，a9k，a276k，试题解析：（1）1234b2b6kb185k，，2，312，解得k2或k02185kbb，即6k数列b为等比数列，b22n13第12页共16页（舍），k2时，aa2aa，na3a2a，即当n2n1n2n1n1nbn12，所以k2满足条件；bnb2，数列b为等比数列，nb222（2）1n，n1naa2aa2aa2n1，n1，2，，n12132aaaaaaaa22222n2nn1，12132nn1a2n1；n1，11n111，212n2221a2n12212a（3）n1nnn11111111aaa11111722n1137a137n3123n123411121n213721.1372考点：1.等比数列的定义；2.累加法求数列的通项公式；3.放缩法3的离心率为，直线xy2220．已知椭圆1ab0yx2与以原点为圆e2ab22C的短半轴长为O相切.心、椭圆半径的圆（1）求椭圆C上除顶点x（2）如图，外的A、B、D是椭圆P是椭圆任意点，直线DP交M，设BP的斜率为k，MN的斜率为，求C的方程；C的顶点，2mk证：轴于点N，直线AD交BP于点m为定值.x2【答案】（【解析】1）椭圆y21；（2）详见解析.C的方程为4第13页共16页abc试题分析：（1）先根据题中条件求出、、，进而可以求出椭圆的方程；（C2）先由直ykx2与椭圆的方程联立求出点的坐标，然后由、、N三点共线BP的方程PDP线，利用平面向量共线进行等价转化，求出点N的坐标，于是得到直线MN的斜率，最m2mk终证明为定值.002yx2与圆xbb2得y1，试题解析：（1）由直线2223cab2c32由e，得，所以222，aa24aa2x2C的方程为y21；所以椭圆4ykx2k0且k1，B2,0，不为椭圆定点，即的方程为（2）因为PBP2①②8k24kx2y21241,4k1k，解得将①代入4P，221又直线AD的方程为yx1，②2284k4k2,0，2k1k24k21,4k21D0,1、Nx,0三点共线可得P、N由2k1m，则2mk2k1k12（定值）.所以MN的斜率为42考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的公共点的求解；3.直线的斜率；4.三点共线21．设aR，函数fxlnxax.（1）若a2，求曲线yfx在点P1,2处的切线方程；（2）若fx无零点，求实数的取值a范围；（3）若fx有两个相异零点x、x，求证：xxe2.12121,范围是；（3）详见解析.e【答案】（1）切线方程为xy10；（2）实数的取值a【解析】试题分析：（1）将a2代入函数fx的解析式，利用导函数的几何意义，结合直线的点斜式求出切线的方程；（2）先求出函数fx的导数，对的符号进行分a类讨论，结合零点第14页共16页存在定理判断函数fx在定义域上是否有零点，从而求出参数的取值范围；另外一中方alnxx“直线ya与曲线y法是将问题等价转化为无公共点”，结合导数研究函数gxlnxxa实数的取值范围；（3）从所证的不等式的基本性质，然后利用图象即可确定2t11,上恒成在区间t1lnt出发，利用分析法最终将问题等价转换为证明不等式2t1t1htlnt立，并构造新函数，利用导数结合函数的单调性与最值进行证明.0,1ax1xa试题解析：在区间上，fx，xf1121，则切线方y2程为（1）当a2时，x1，即xy10；fxlnx有唯一零点（2）①当a0时，x1；