高中数学必修5人教A第1章112同步训练解析

人教A高中数学必修5同步训练1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是()A．8B．217C．62D．219分析：选D.依据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，c＝219.2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sinA的值为()5721A.19B.7357C.38D．－19分析：选A.c2＝a2＋b2－2abcosC22＋32－2×2×3×cos120＝°19.∴c＝19.ac57由sinA＝sinC得sinA＝19.3．假如等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．分析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a272·2a·2a＝8.答案：784．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解：法一：依据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，2b＝a＋c，a＋c∴(2)2＝a2＋c2－2accos60，°整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.∴△ABC是正三角形．法二：依据正弦定理，2b＝a＋c可转变为2sinB＝sinA＋sinC.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A，∴2sin60＝sin°A＋sin(120－A)°，整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是正三角形．课时训练一、选择题1．在△ABC中，切合余弦定理的是( )A．c2＝a2＋b2－2abcosCB．c2＝a2－b2－2bccosAC．b2＝a2－c2－2bccosAD．cosC＝a2＋b2＋c22ab分析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．2．在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是( )12B.5A.13132C．0D.3分析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c2＝0.2ab3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不可以确立分析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()ππA.3B.6C.2πD.π2π3或33分析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，b2＋c2－a21∴cosA＝2bc＝－2，2π又∵0＜A＜π，∴A＝3，应选C.5．在△ABC中，以下关系式①asinB＝bsinA②a＝bcosC＋ccosB③a2＋b2－c2＝2abcosC④b＝csinA＋asinC必定建立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个分析：选C.由正、余弦定理知①③必定建立．关于②由正弦定理知sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)，明显建立．关于④由正弦定理sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，则不必定建立．6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()13A.4B.422C.4D.3分析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，22∴b＝2a，∴cosB＝a2＋c2－b2a2＋4a2－2a22ac＝2a·2a3＝4.二、填空题7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.分析：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，1即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－2)，AC2＋5AC－24＝0.∴AC＝3或AC＝－8(舍去)．答案：38．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．分析：解方程可得该夹角的余弦值为12212，由余弦定理得：－2×4×5×2＝21，∴第4＋5三边长是21.答案：219．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则B的大小是________．分析：由正弦定理，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8.不如设a＝5k，b＝7k，c＝8k，则cosB＝5k2＋8k2－7k2＝1，2×5k×8k2π∴B＝3.答案：π3三、解答题310．已知在△ABC中，cosA＝，a＝4，b＝3，求角C.解：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，3∴16＝9＋c2－6×5c，整理得5c2－18c－35＝0.7解得c＝5或c＝－5(舍)．a2＋b2－c2由余弦定理得cosC＝2ab16＋9－252×4×3＝0，∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，求C的大小．解：由题意可知，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，a2＋b2－c21即2ab＝2，1因此cosC＝2，因此C＝60°.12．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状．a2＋c2－b2解：由余弦定理知co