人教版九年级数学知识点总结

人教版九级数学知识总结21.1一元二次方程易点知点

a和a=0方两根的取舍一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注一几：①只含有一个未知数；②知数的最高次数是；③是式方程。知点一元二次方程的一般形式:一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax二次项，a是二次项系数；bx是一次项，是一次项系数；c是常数项。知点一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。21.2降次——解一元次方程配法知点直开方解元次程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方一边是非负数以直接开平方。一般地，对于形如x

2

=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x=,x=12

a（2）直接开平方法适用于解形如x

2

=p或(mx+a)

2

=p(m≠0)形式的方程，如果≥0，就可以利用直接开平方法。用直接开平方法求一元二次方程的根要正确运用平方根的性质即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。直接开平方法解一元二次方程的步骤是①移项②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知点配法一二方通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。把常数项移到等号的右边；方程两边都除以二次项系数；方程两边都加上一次项系数一半的平方把左边配成完全平方式；⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。公法知点公法一二方（1）一般地，对于一元二次方程ax

2

+bx+c=0(a≠0)，如果b

2

-4ac≥0，那么方程的两个根为x=

ba

，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：①方程化为一般形式：ax

2

+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值确定公式中a,b,c的值，注意符号；求出b2-4ac的值；若b2-4ac≥0，则把和b-4ac的值代入公式即可求解，若＜0，则方程无实数根

有数-高中)知点一二方根判式式子b

2

-4ac叫做方程ax

2

+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b

2

-4ac.根的判别式

△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根21.23因式分解法知点因分法一二方把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。因式分解法的详细步骤：移项，将所有的项都移到左边，右边化为；把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平121212121212方公式；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。知点用适方解元次程方法名称

理论依据

适用范围直接开平方法

平方根的意义

形如x

2

=p或（mx+n）2

=p(p≥0)配方法公式法因式分解法

完全平方公式配方法当ab=0，则a=0或b=0

所有一元二次方程所有一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。一二方的与数关若一元二次方程x若一元二次方程a

22

+px+q=0的两个根为x,x,则有+x=-p,xx=q.121212bcx+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,x,则有x+x=,xx=a21.3实问与元次程知点列元次程应题一步：审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。设：是指设元，也就是设出未知数。列就是列方程这是关键步骤一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。解：就是解方程，求出未知数的值。验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。答：写出答案。知点列元次程应题几常类（1）数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为，x+1。三个连续偶数（奇数若中间的一个数为x，则另两个数分别为。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为，则这个三位数是100a+10b+c.（2）增长率问题设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2

=b。xx，的增大而增大；时，x（3）利润问题利润问题常用的相等关系式有①总利润=总销售价总成本②总利润单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率（4）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。22.

二次函数识点归纳一、相关概念及定义1二次函数的概念：一般地，形y（a

是常数的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，b义域是全体实数．

可以为零．二次函数的定2二次函数

bx结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变的二次式，x最高次数是2．（2

是常数，是二次项系数b是一次项系数是常数项．二、二次函数各种形式之间的变换1二次函数ax

2

用配法可化成：y的形，中bach，.2a4a2

二次函数由特殊到一般可分为以下几种形式2②y2③

；④aax2bx.三、二次函数解析式的表示方法1一般式：

bx

（

a

，

b

，

为常数，

2顶点式：

)ak常数a3两根式：y(a，是抛物线与轴两交的横坐标）.4注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与

x

轴有交点，即

b

时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数

ax

图象的画法1五点绘图法利用配方法将二次函数

化为顶点式

)

确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点y轴的交（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）

x的交

2画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与

x

轴的交点，与

轴的交点.五、二次函数y的性质a

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

的增大而减小；时，有最小0．时，时，

向下

轴

y随增大而减小；x时，的增大而增大；时，有最大．

随x六、二次函数

的性质a

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质时x的增大而增大x时y随的

向上

轴增大而减小；时有最小c．

时y

随

的增大而减小

时y

随

的

向下

轴增大而增大；

时，

有最大值

．七、二次函数

的性质：a

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质x

时，

随

x

的增大而增大；

x

时，

随

向上

X=h

的增大而减小；时有最小．时yx的增大而减小x时y随

向下

X=h

的增大而增大；时有最大．八、二次函数

y

x

的性质a

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

时，

随

的增大而增大；

时，

随

向上

X=h

的增大而减小；时y有最小．时随的增大减小；x时y随

向下

X=h

的增大而增大；

时，

有最大值

k

．九、抛物线ax

的三要素：开口方向、对称轴、顶点1的符号决定抛物线的开口方向：0时，开口向上；当a0时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.2称轴：平行于y（或重合）的直线记作x

b2a

.别地，y轴记作直线xb2b2b3点坐标，）2a4点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同十、抛物线ax1二次项系数a

a,b,与函数图像的关系二次函数y2a作为二次项系数，显a．当当

aa

时，抛物线开口向上，时，抛物线开口向下，

aa

越大，开口越小，反之越小，开口越小，反之

aa

的值越小，开口越大；的值越大，开口越大．总结起来决定了抛物线开口的大小和方向a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2次项系数

在二次项系数

a

确定的前提下，

决定了抛物线的对称轴．⑴在

的前提下，b时2

，即抛物线的对称轴在y左侧；当

时，

，即抛物线的对称轴就是

轴；时即抛物线对称轴在y的右侧．2⑵a的前提下，结论刚好与上述相反，即当

b

时，

b2

，即抛物线的对称轴在

轴右侧；时

，即抛物线的对称轴就是y；当

时，

b2

，即抛物线对称轴在

轴的左侧．总结起来，确定的前提下b决定了抛物线对称轴的位置．总结：3数项

⑴当

时，抛物线与

轴的交点在

轴上方，即抛物线与

轴交点的纵坐标为正；⑵c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标；⑶当

时，抛物线与

轴的交点在

轴下方，即抛物线与

轴交点的纵坐标为负．总结起来c决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要

a

都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法1式法y

4bac∴顶点，称轴是直线2a4aa4bx.2a配方法用配方的方法抛物线的解析式化为a式到顶点为(k)，对称轴是直线h.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失十二、用待定系数法求二次函数的解析式1212221212111212221212111般式：ax

2

已知图像上三点或三、的值，通常选择一般式.顶点式：知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x轴的交点坐x、x，通常选用交点式：y1十三、直线与抛物线的交点1轴与抛物线axbx得交为(0,).2与y轴平行的直线xh与抛物线ax

2

bx有且只有一个交点(

bh).3抛物线轴的交点:二次函数y2图像x的两个交点的横坐标x、x，是对应一元二次方程20的两个实数根.物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交抛物线x相交；有一个交点（顶点在x上0抛物线与x轴相切；没有交抛物线x相离.4行于x轴的直线与抛物线的交点可能有0交点、1个交点、2个交点.有个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标k，横坐标的两个实数根5一次函数y与二次函数y的交点方程组

ykn的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解l两个交点;②yc方程组只有一组解l只有一个交点；③方程组无解l没有交点.6物线与x轴两交点之间的距离：若抛物y2bx轴两交点为A1由于x、x是方ax0的两个根，故2bcxabbxxaaa十四、二次函数图象的对:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1于x对称ax轴对称后，得到的解析式是

；y

x

关于

轴对称后，得到的解析式是

y

x

；2于

轴对称y对称后，得到的解析式是bx

；y

x

关于

轴对称后，得到的解析式是

y

x

；3于原点对称

b点对称后，得到的解析式是

；y于原对称后，得到的解析式是4于顶点对称

y

；点对称后，得到的解析式是

；y

关于顶点对称后，得到的解析式是

．5于

对称y

x

关于得到的解析式是

n22222222222222222222

总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时可以依据题意或方便运算的原则选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十五、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y

，确定其顶点坐

；⑵保持抛物线

ax

的形状不变，将其顶点平移

处，具体平移方法如下：y=ax2向(h>0)【(h】平k|单y=a(x-h)2移规律

向(k>)【或向k】个位向(>0)【或(h<0)】平k|个单位向(k>0)【或(<0)】平个位向(【k】|k个单位

向(【(h<0)】平个位y=a()2+k在原有函数的基础上“正右移，负左移值上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减．十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。1.点式。（1）已知抛物线

经过A（3，0（3，C（0，）三点，求抛物线的解析式。（2）已知抛物线y=a(x-1)，经过点A2，3抛物线的解析式。2.点式。（1）已知抛物线y=x+b顶点为A（2，1抛物线的解析式。（1）已知抛物线y=4(x+a)-2a的顶点为（，抛物线的解析式。3.点式。（1）已知抛物线与x轴两个交点分别为（，）求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。（2）已知抛物线线与x轴两个交点（，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。4.点式。1（1）在直角坐标系中，不论取何值，抛物线yx2x经过x轴上一定点2Q直线y过点求抛物线的解析式。（2）抛物线y=x+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。（3）物线y=ax过直线上的定点A，求抛物线的解析式。5.移式。（1物y=-2x向左平移2个单位长度下平1单位长度抛物线y=a(x-h)+k,求此抛物线解析式。（2）抛物6.离式。

向上平移使抛物线经过点求抛物线的解析式（1）抛物线y=ax

+4ax+1(a0)与x轴的两个交点间的距离为，求抛物线的解析式。（2已知抛物线x求此抛物线的解析式。

+3mx-4m(m﹥与x轴交于AB两点与轴交于C点且AB=BC,22222222222222227.称轴式。抛物线y=x-2x+(m与x轴有两个交点这两点间的距离等于抛物线顶点轴距离的2倍，求抛物线的解析式。已知抛物线y=-x交x轴于（点A在点B左边）两点，交y轴于点C,且3OB-OA=，求此抛物线的解析式。48.称式。（1平四边形ABCD角线在x轴上且（-10D（2交y轴于E将三角形沿轴折叠，点B到B的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。1（2）求与抛物线y=x关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。9.点式。已知直线y=ax-a(a与抛物线y=mx有唯一公共点，求抛物线的解析式。直线y=x+a与抛物线y=ax+k的唯一公共点A（，1）,求抛物线的解析式。10.判式式。（1）已知关于X的一元二次方程（m+1xy=-x+(m+1)x+3解析式。

2

+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线（）已知物线y=(a+2)x223旋转23.1图的转知点旋的义

-(a+1)x+2a的顶点在x轴上求抛物的解析式。在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O动一个角度，就叫做图形的旋转，O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知点旋的质旋转的特征）对应点到旋中心的距离相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）旋转前后的图形全等。理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。知点利旋性作旋转有两条重要性质任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；接：即连接到所连接的各点。23.2中对知点中对的义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋180°两个图形能够完全重合。知点作个形于点称图要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。知点中对的质有以下几点：关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。知点中对图的义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。知点关原对的的标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点（x,y）关于原点对称点为（-x,-y24圆24.1圆圆知点圆定圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点的距离等于定长r的点的集合。比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。知点圆相概弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧称弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。垂于的径知点圆对性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知点垂定（1）垂径定：直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB，

CA

M

BAM=BM垂足为MAC=BCAD=BD

D垂径定的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M，CD⊥ABAM=BMAC=BCAD=BD注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。弧弦圆角知识点弦、弧、圆心角的关系弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。圆角知点圆角理圆周角理在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半。圆周角理的推论半或直径所的圆周角是直角°的圆周角所对弦是直径。圆周角理示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。知点圆接边及性圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。24.2点直、和的置系点圆位关知识点一点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，点到圆的距离OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点p在圆上d=r；点p在圆内d＜r。知点过知作（1）经过一个点的圆（如点A）以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。O

2

A

O

1O

3（2）经过两点的圆（如点A、B）以线段AB的垂直平分线上的任意一（如点O为圆心以（或OB为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。AB（3）经过三点的圆经过在同一条直线上的三个点不能作圆不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点、B、C作圆，作法：连接、③

BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点，以点O为圆心，以OA（或OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。AOB

C知点三形外圆外经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。知点反法反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。反证法的一般步骤：假设命题的结论不成立；从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。直和的置系知点直与的置系直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。直线与圆的位置关系可以用数量关系表示若设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为，则有：直线l和⊙O相交d＜r；直线l和⊙O相切d=；直线l和⊙O相离d＞r。知点切的定性切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点线到圆心的距离等于半径经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。知点切长理切线长的定义：经过园外一点作圆的切线点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线们的切线长相等这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。知点三形内圆内三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。24.2.3圆和圆位置关知点圆圆位关（1）圆与圆的位置关系有五种：如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。（2）圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：若设两圆圆心之间的距离为d，两圆的半径分别是r,且r＜r，则有1212两圆外离d＞r+r两圆外切d=r+r两圆相交r-r＜dr+r12122112切d=r-r两圆内含d＜r-r212124.3正多边形和知点正边的接和的接多形

两圆内正多边形与圆的关系非常密切：把圆分成n（n大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。知点正边的质正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n全等的直角三角形。所有的正多边形都是轴对称图形每个正n形共有n条对称轴每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。(180360（3）正n边形的每一个内角等于，中心角和外角相等，等于。nn24.4弧和形积n

知点弧公式l=

180在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=

nn×2πR=。360180知点扇面公在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积πR2，所以圆心角为°的扇形的面积为S

扇形

=

n360

。比较扇形的弧长公式和面积公式发现：S

扇形

=

nn1所以lR36018022扇2知点圆的面和面圆锥的侧面积是曲面沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积

1圆锥的全面积为圆锥侧2圆锥

圆锥

。底25.1随事与率随事知点必事、可事、机件在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。知点事发的能的小必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。概知点率一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记作P（A一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的m种结果，那么事件发生的概率PA）=m此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1.

。由m和n的含义可知0≤m≤n，因当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，（A）=0.25.2用举求率知点用举求率一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件m包含其中的m种结果，那么事件发生的概率P（A）=。知点用表求率当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。知点用形求率当一次试验要涉及3个或更多的因素时列方形表就不方便了为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。25.3用率计率知点在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率

稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率P（A）=p。人教版九年级册数学本知识点总结26

反比例函一、反例函数的概1（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为

，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数

这一限制条件；2（）也可以写xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3反比例函数

的自变量，故函数图像与x、y无交点．二、反例函数的图画法反比例函数的图像是双曲线有两个分支这两个分支分别位于第一第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变，函数y，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。三、反例函数及其像的性．函数解析式：（）．自变量的取值范围：．图像：图像的形状：双曲线，弯曲度越大。图像的位置和性质：

越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。

越小，图像的当当

时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，yx增大而减小；时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，yx增大而增大。（3对称性：图像关于原点对称，即若a，）在双曲线的一支上，则（

，）在双曲线的另一支。图像关于直线

对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，

）在双曲线的另一支上4k的几何意义如图1设点P（a，是双曲线

上任意一点，作PA⊥x于A点，y于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形三角形PBO的面积都是如图由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC面积为。5说明：（1双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。（2直线

与双曲线

的关系：当

时，两图像没有交点；当

时，两图像必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．四、实问题与反比函数1求函数解析式的方法：（1待定系数法根据实际意义列函数解析式。2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．五、充利用数形结的思想决问题27相似三角形一、图形的相似1图形的相似如果两个图形形状相同,大小不一定相等,那么这两个图形相似（相似的符号：∽）性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。．判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。．相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等。二、相似三角形．性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。．判定.①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。③如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。(三边应成比例②两个三角形的两个角对相等；③两对应成比例且夹角相等；④相三角形的一切对应线(应高、对应中线、对应平分线、接圆半径内切圆半径等）的比等于相似比。)3相似三角形应用视点：眼睛的位置；仰角：视线与水平线的夹角；盲区：看不到的区域。4相似三角形的周长与面积：①相似三角形周长的比等于相似比。②相似多边形周长的比等于相似比。③相似三角形面积的比等于相似比的平方。④相似多边形面积的比等于相似比的平方。三、位似1位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线

交于一，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做

位似中，这时的相似比又称为位似比。2性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k那么位似图形的对应点的坐标的比等于k-k。注意1位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；两个位似图形的位似中心只有一个；两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一