高中数学1章基本初等函数Ⅱ131正弦函数的图象与性质1课时正弦函数的图象与性质

第1课时

正弦函数的图象与性质学习目标

核心修养1.经过正弦函数图象和性质的学习，培育学1．能正确使用“五点法”“几何法”作出正生的直观想象核心修养．弦函数的图象．(难点)2．借助正弦函数图象和性质的应用，培育学2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素小正周期、奇偶性、单一区间及最值．(要点)养.1．正弦函数的图象(1)利用正弦线能够作出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，要想获得y＝sinx(x∈R)的图象，只要将y＝sinx，x∈[0,2π]的图象沿x轴平移±2π，±4π，即可，此时的图象叫做正弦曲线．(2)“五点法”作y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，π，1，23(π，0)，2π，－1和(2π，0)．2．正弦函数的性质函数的周期性①周期函数：对于函数f(x)，假如存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都知足f(＋)＝(x)，那么函数f( )就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．xTfx②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，假如在它的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．(2)正弦函数的性质函数y＝sinx定义域(－∞，＋∞)值域[－1,1]奇偶性奇函数周期性最小正周期：2π在2kπ－ππ(k∈Z)上递加；，2kπ＋22单一性3π在2kπ＋，2kπ＋π(k∈Z)上递减22πx＝2kπ＋2，(k∈Z)时，y最大值＝1；最值πx＝2kπ－

2(k∈Z)时，y最小值＝－1思虑：察看正弦函数的图象能否拥有对称性，它的对称性是如何的？[提示]

由图(图略)能够看出，正弦函数的图象对于原点成中心对称，

除了原点这个对称点外，对于正弦函数图象，点

(π，

0)，点(2π，0)，点

(kπ，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图象有无数个对称中心，且为

(kπ，0)(

k∈Z)，即图象与

x轴的交点，正弦函π数的图象还拥有轴对称性，对称轴是

x＝kπ＋

2，(k∈Z)，是过图象的最高或最低点，且与x轴垂直的直线．1．函数

y＝xsin

x是(

)A．奇函数，不是偶函数

B．偶函数，不是奇函数C．奇函数，也是偶函数

D．非奇非偶函数B[f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sinx)＝xsinx＝f(x)，∴y＝xsinx为偶函数，不是奇函数．]2．以下图象中，切合y＝－sinx在[0,2π]上的图象的是( )[把y＝sinx，x∈[0,2π]上的图象对于x轴对称，即可获得y＝－sinx，x∈[0,2π]上的图象，应选D.]．点π，－m在函数y＝sinx的图象上，则等于3M2m( )A．0B．1C．－1D．2Cπ，∴－m＝1，[由题意－m＝sin2∴m＝－1.]正弦函数的图象【例1】用五点法作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答以下问题：(1)察看函数图象，写出知足以下条件的x的区间．①y>1；②y<1.若直线y＝a与y＝1－2sinx有两个交点，求a的取值范围；求函数y＝1－2sinx的最大值，最小值及相应的自变量的值．[解]按五个要点点列表x－π0ππ－22πsinx0－10101－2sinx131－11描点连线得：由图象可知图象在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.如图，当直线y＝a与y＝1－2sinx有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，∴a的取值范围是{a|1<a<3或－1<a<1}．ππ由图象可知ymax＝3，此时x＝－2；ymin＝－1，此时x＝2.π

3π1．解答此题的要点是要抓住五个要点点，使函数中

x

取

0，

2，π，

2

，2π，而后相应求出

y值，作出图象．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持圆滑，注意凸凹方向．3．认真察看图象，找出函数图象＝1与y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问y题．11．用“五点法”画出函数y＝2＋sinx，x∈[0,2π]上的图象．[解]取值列表以下：xππ3π02π22sinx010－101x13111＋sin222－222描点，并将它们用圆滑的曲线连结起来．(如图)正弦函数的单一性及应用【例2】比较以下各组数的大小．(1)sin194°和cos160°；5(2)sin4和cos3；(3)sinsin3π和sincos3π88.[思路研究]先化为同一单一区间上的同名函数，而后利用单一性来比较函数值的大小．[解](1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°.cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.0°<14°<70°<90°，sin14°<sin70°.进而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.(2)∵cos5＝sinπ5，2＋33π7π53又<<π<＋<π，24232y＝sinx在π，3π上是减函数，227π55∴sin4>sin2＋3＝cos3，5即sin4>cos3.3ππ(3)∵cos8＝sin8，3π3ππ∴0<cos8<sin8<1<2.而y＝sinx在0，π内递加，23π3πsincos8<sinsin8.1．求正弦函数的单一区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性．2．比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单一区间上的同名三角函数，而后用三角函数的单一性即可，假如角不在同一单一区间上，一般用引诱公式进行转变，而后再比较．2．比较大小：(1)sin250°与sin260°；(2)sin2317.－π与sin－π54[解](1)sin250°＝sin(180°＋70°)＝－sin70°，sin260°＝sin(180°＋80°)＝－sin80°，y＝sinx，x∈π由于0°＜70°＜80°＜90°，且函数0，是增函数，因此sin70°2＜sin80°，因此－sin70°＞－sin80°，即sin250°＞sin260°.23π23π3π(2)sin－5＝－sin5＝－sin5＝－sinπ－2π＝－sin2π，5517π17ππsin－4＝－sin4＝－sin4.π2πππ由于0＜4＜5＜2，且函数y＝sinx，x∈0，2是增函数，π2ππ2π因此sin＜sin，－sin>－sin，4545即sin23π17π－＜sin－.54正弦函数的值域与最值问题[研究问题]．函数y＝sinx＋π在x∈[0，π上最小值可否为－1?14][提示]不可以．由于x∈[0，π]，因此ππ5πx＋∈，，由正弦函数图象可知函数4442的最小值为－.22．函数y＝Asinx＋b，x∈R的最大值必定是A＋b吗？[提示]不是．由于A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.【例3】求以下函数的值域．π(1)y＝3＋2sin2x－3；(2)y＝1－2sin2x＋sinx.[思路研究](1)用|sinα|≤1建立对于y的不等式，进而求得y的取值范围．(2)用t取代sinx，而后写出对于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|≤1即可求出y的取值范围．[解](1)∵－1≤sin2xπ≤1，－3∴－2≤2sin2x－π3≤2，π∴1≤2sin2x－3＋3≤5，π∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2sin2x－3的值域为[1,5]．y＝1－2sin2x＋sinx，令sinx＝t，则－1≤t≤1，2129y＝－2t＋t＋1＝－2t－＋8.429由二次函数y＝－2t＋t＋1的图象可知－2≤y≤8，29即函数y＝1－2sinx＋sinx的值域为－2，8.1．换元法，旨在三角问题代数化，要防备损坏等价性．2．转变成同一函数，要注意不要一见sinx就有－1≤sinx≤1，要依据x的范围确立．π23．设|x|≤4，求函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值．22125[解]f(x)＝cosx＋sinx＝1－sinx＋sinx＝－sinx－2＋4.π∵|x|≤4，22∴－2≤sinx≤2，2时取最小值为1－2∴当sinx＝－.22(教师用书独具)1．“几何法”和“五点法”画正弦函数图象的优弊端“几何法”就是利用单位圆中正弦线作出弦函数图象的方法．该方法作图较精准，但较为繁琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的状况下常用此法．2．正弦函数周期性的释疑由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.3．正弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，反应在图象上，正弦曲线对于原点O对称．正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．4．正弦函数单一性的说明正弦函数在定义域R上不是单一函数，但存在单一区间．求解(或判断)正弦函数的单一区间(或单一性)是求值域(或最值)的要点一步．确立含有正弦函数的较复杂的函数单一性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．5．正弦函数最值的释疑明确正弦函数的有界性，即|sinx|≤1.(2)对有些正弦函数，其最值不必定是1或－1，要依靠函数定义域来决定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值往常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转变为y＝Asinz的形式求最值．1．以下对于正弦函数y＝sinx的图象描绘不正确的选项是( )A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状同样，不过地点不一样B．对于x轴对称C．介于直线y＝1和y＝－1之间D．与y轴仅有一个交点B[察看y＝sinx图象可知A，C，D项正确，且对于原点中心对称，应选B.]2．函数y＝－sinx，x∈－π3π)，的简图是(22D[能够用特别点来考证．当x＝0时，y＝－sin03π时，y＝0，