专题十七 滚动的圆与圆面覆盖问题

专题十七滚动的圆与圆面覆盖问题知识聚焦当圆无滑动地滚动时，探讨圆自转的圈数是一类有趣的问题.这类问题有下列基本情形：圆沿直线无滑动地滚动如图①，半径为r的圆沿一条直线无滑动地滚动，假设圆心向前移动的距离为l，则圆滚动的圈数为R=—L-2兀r圆沿折线无滑动地滚动如图②，半径为r的圆沿拐角a的外部滚动，圆心0运动的路线为:线段.,，」-•.（以点B为圆心，「为半径，圆心角为180毂）、线段OO23②如图③，半径为r的圆沿拐角a的内部滚动，圆.心0运动的路线为：线段。。1.线段0“圆沿曲线无滑动地滚动二、用一张或几张硬纸片去盖住一个平面图形，讨论是否盖得住的问题，这

就是所谓的平面图形的覆盖问题，用一张圆形纸片去覆盖一个平面图形是基本的覆盖方式.解覆盖问题常用到以下性质：半径较大的圆形纸片可以盖住半径较小的圆形纸片.如果纸片G能覆盖区域F,那么纸片G的面积一定不小于区域F的面积.例题导航【例1】如图，一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，当滚到与坡面BC开始相切时停止.其中AB=80cm,BC与水平面的夹角为60。.求出圆盘在AB上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度(结果保留n)；当圆盘从点A滚到与BC开始相切时停止，其圆心所经过的路线长是多少(精确到0.1cm)?Q80cm例Q80cm例1图点拨：(1)圆盘在AB上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度就等于圆的周长，根据圆的周长公式求出；(2)当圆与BC相切时，圆与AB、BC都相切，且ZABC=120o,在R0DEB中，可以求出BE，则圆心转过的路线是AE，在RtADEB中根据已知条件求出BE就可以求出AE.解答：(1)•.•圆盘在AB上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度就等于圆的周长，而圆盘半径为10cm,圆心经过的路线的长度是2Scm.⑵当圆转动到与BC相切，停止的位置设为。D,与AB切于E，连接DE、DB，则DE±AB.在RtADEB中，BE=DE.tan30o«5.8cm,AB-BE"80-5.8=74.2(cm),.圆心经过的路线长约是74.2cm.

点评：本题主要考查了切线的性质、切线长定理及利用三角函数解直角三角形等知识，有一定的综合性.【例2】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆.（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；例2图①（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律，并写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某地有四个村庄E、F、G、H（其位置如图②所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理点拨：本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答.根据△EFH是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为^EFH的外接圆，中转站建在AEFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处），才能够符合题中要求.解答：⑴如图③.(2)若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边(直角或钝角所对的边)为直径的圆.此中转站应建在^EFH的外接圆圆心处(线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处).理由：ZHEF=ZHEG+ZGEF=47.8o+35.1o=82.9。,ZFHF=50.0。,ZEFH=47.1。,aAefh是锐角三角形，...其最小覆盖圆为^EFH的外接圆，设此外接圆为。P,直线EG与。P交于点E、M，则ZEMF=ZEHF=50.0。＜53.8。=Zegf..•.点G在。P内，从而。P也是四边形EFGH的最小覆盖圆..•.中转站建在^EFH的外接圆圆心点P即为所求，如图④所示.例2图④点评：本题结合三角形外接圆的性质作图，关键要懂得何为最小覆盖圆.知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长动(直角或钝角所对的边)为直径的圆，【例3】如图①〜⑤，。O均做无滑动滚动，。q、。q、。O3、。O4均表示。0与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，。O的周长为C.阅读理解：⑴如图①，。0从。O1的位置出发，沿AB滚动到。O2的位置，当AB=c时，。O恰好自转1周；(2)如图②，ZABC相邻的补角是n。,。0在/ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由©O的位置旋转到©O的位置，③。绕点B旋转的角OBO点顷自转於周.实践应用：⑴在阅读理解的⑴中，若AB2c,则©0自转；若入81,则©0自转周，在阅读理解的(2)中，若ABC120，则©O在点B处自转周；若ABC60,则©0在点B处自转周；(2)如图③，ABC90o,ABBCjc.®。以®O1的位置出发，在ABC外部沿A-B-C滚动到®O4的位置，00自转了.拓展联想：⑴如图④，AABC的周长为1®O从与AB相切于点D的位置出发，在^ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，®O自转了多少周？请说明理由；(2)如图⑤，多边形的周长为1®。从与某边相切于〔警容_"人点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿'''二Q/扑多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直-'接写出®O自转的周数..杭3囹点拨：实践应用：(1)读懂题意，套公式易得若AB=2c,则。O自转2周；若AB=/,则。O自转L周.在阅读理解的(2)中，若ZABC=120。,则。O.在点B处自转!周；若ZABC=60。，。0在点B处自转!周；(2)因为63ZABC=90o,AB=BC=!c,则。0自转1+-=5(周).拓展联想：由于三角244形和多边形的外角和是360o,则。O共自转了(1+1)周.解答：实践应用:拓展联想：⑴0AABC的周长为/,.•.。。在三边上自转了1周.又0三角形的外角和是360O,A在三个顶点处，。。自转了360=1(周).。。共自转了(-+1)周,360cl(—+1)周.点评：此题主要考查多边形外角的性质，也是一道探索规律题，找准规律是关键.【例4】如图①，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切.在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来；当圆的直径等于正方形边长的一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大？并说明理由.1例4圈①

点拨：（1）圆在正方形中运动时覆盖的部分如图②所示；⑵设出正方形的边长和圆的半径，求出覆盖面积与圆的半径之间的函数解析式，中间正方形的面积易求得，而大正方形四角的面积可用以圆的直径为边长的小正方形的面积一一一个圆的面积来求得，根据函数的性质即可判断出当圆的直径等于正方形的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大.解答：（1）圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示如图②所示.例4图②（2）当圆的直径等于正方形边长的一半时，覆盖区域的面积不是最大.理由:设正方形的边长为a,圆的半径为r,覆盖区域的面积为S.0圆在正方形的内部，+8ar=—(20—4a上时，‘有最4r)2+4r2—Kr2]+8ar=—(20—4a上时，‘有最4ak)(r—)20—4ak)(r—)20—k4a大值.020—k00<〈一，当r=20—k20—k2%.•.当圆的直径等于正方形边长的一半时’覆盖区域的面积不是最大.点评：本题主要考查了正方形和圆的性质、二次函数的应用、图形面积的求法等知识.培优训练能力达标如图，。O沿凸多边形AAAAAA的外侧（圆与边相切）无滑动地滚动.假123n—1n

设。O的周长是凸多边形AAAaAA的周长的一半，那么当。。回到出发点123n-1nTOC\o"1-5"\h\z时，它自身滚动的圈数为（）1234如图，直径为1个单位长度的圆上有一点A,与数轴上表示1的点重合，圆沿着数轴向左滚动一周，点A与数轴上的点B重合，则点B表示的实数是（）2兀-1兀-11-兀1—2兀r-2'1第2题如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为aGN3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）r-2'1第2题A.a2—兀B.（4一兀）a2C.兀D.4-兀能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆.在AABCTOC\o"1-5"\h\z中,AB=AC=4岳,BC=8,则左ABC的最小覆盖圆的面积是()64兀25兀20兀16兀对于平面图形A,如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称圆形A被这个圆所覆盖.如图中的三角形被一个圆所覆盖，如果边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆覆盖，那么尺的取值范围为.我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆，若在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,则AABC的最小覆盖圆的半径是；若在△ABC中，AB=AC,BC=6,ZBAC=120。,则AABC的最小覆盖圆的111111111111111半径是.对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径，那么称图形A被这个圆所覆盖.如图，三角形被一个圆所覆盖，回答下列问题：边长为1的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？边长为1的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？半径为1的圆被边长为a的正方形所覆盖,a的最小值是多少？半径为1的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值是多少?第7魏如图，正三角形ABC的边长为6^3cm,OQ的半径为rcm,当圆心0从点A出发，沿着线路ABrBCrCA运动，回到点A时，。Q随着点。的移动而移动.(1.)若r=由cm，求。Q首次与BC边相切时AQ的长；在点0移动的过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下厂的取值范围及相应的切点个数；设点0在整个移动过程中，在△ABC内部，。O未经过的部分的面积为Scm2,当S>0时，求S关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围.第8题拓展提升如图，Rt^ABC的直角边AC=24,斜边AB=25,一个以点P为圆心、半径为TOC\o"1-5"\h\z1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中0P一直保持与^ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）56——325112c.——356一位小朋友在一轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，其中ZABC=120。,AB=60cm,BC=40cm,该小朋友将圆盘从点A滚动到点C，则其圆心所经过的路线的长度为cm.第1■。题在^ABC中，AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,能完全覆盖△ABC的圆的半径R的最小值为.猜想归纳：如图，正方形ABCD的边长为k兀+2（k是正整数），半径为1的。O分别与AD、AB相切，沿AB-BC-CD-DA的方向使。。在正方形ABCD的边上滚动.当。O第一次回到起始位置时停止运动.（1）当k=1时，。O从开始滚动到停止，共滚动了圈；当k=2时，。0从开始滚动到停止，共滚动了圈；当k=n时，。O从开始滚动到停止，共滚动了圈；(2)当k=n时，。O从开始滚动到停止，滚过的面积是多少?第12题魔法赛场【例】如图①，。O沿着凸n边形AAAAAA的外侧(圆和边相切)无滑动123n-1n地滚动一周回到原来的位置.当。O和凸n边形的周长相等时，求证：。0自身转动了两圈；当。O的周长是a,凸n边形的周长是b时，请写明此时。O自身转动的圈数.例图①点拨：(1)根据圆自身转动的圈数二线段的长度：圆的周长，设zAAA为21n钝角，可证明。0滚动经过顶点A「自身转动的角度恰好等于顶点A1的一个外角，即当。0和凸n边形的周长相等时，证明。0自身转动了两圈；(2)由上面的结果，可得。O自身转动的圈数是(b+1)圈.a解答：(1)-个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数一线段的长度：圆的周长，因此若不考虑。O滚动经过〃个顶点的情况，则。O自身恰好转动了一圈，现证明，当。O在某边的一端，滚动经过该端点(即顶点)时，。O自身转动的角度恰好等于n边形在这个顶点的一个外角，如图②，设ZA2AiAn^钝角，已知AA是。。的切线，。O滚动经过端点A后到。O'的位置，此时AAn1112是。O'的切线，因此OA1AA,OA1AA•当。O转动至。O'时，则r就是。O1n1112自身转动的角，。丫+0=90。。+。=90。,y=a，即。O滚动经过顶点A/自身转动的角度恰好等于顶