函数与极限测试题及答案(二)

函数与极限测试题（二）一.选择题F(x)1.设是连续函数的一个原函数，f(x)"MN"表示“M的充分必要条件是N”，则必有().f(x)F(x)偶函数)是奇函数.（B）是奇函数是偶函数.F(x)f(x)（A）是F(x)（C）是F(x)周期函数()是周期函数.（D）是fxfx单调函数()是单调函数1f(x)2．设函数,则()xex11（A）x0，x1都是fx（B）x0，x1都是fx()的第二()的第一类间断点.类间断点（C）x0是x1是fx()的第一类间断点，f(x)的第二类间断点.（D）x0是()的第二类间断点，x1是fx()的第一类间断点.fx11fxx，x0、1，，则f[f(x)]()3．设x11A）B）C）XD）1x1xx4．下列各式正确的是()11xx(1+)(1+)1limB）elimA）xxx0x011x(1)(1)xlimC）elimeD）xxxx5．已知lim(xxaa)x9，则()。ax2ln3A.1；B.；C.；D.。ln3lim(x1)x()6．极限：xx1A.1；B.；C.e2；D.e2。xx2lim37．极限：=（）x3A.1；B.；C.0；D.2．8．极限：x11=（）limx0xA.0；B.；C1；D.2．2lim(x2xx)=（）9.极限：xA.0；B.；C.2；D.1．210．极限:limtanxsinx=（）sin2x3x0A.0；B.；C.1；D.16．16二.填空题2x=；12.limarctanx=；limxsinx2111．极限xxx013.若yf(x)在点连续，则x0lim[f(x)f(x)]=；xx14.limsin5xx015.lim(12)n；n；xnx21x23x2y16.若函数，则它的间断点是x,x0;17.绝对值函数xf(x)x0,x0;x,x0.其定义域是，值域是。1,x0;0,x0;其定义域是，值域是三个点的集合。1,x0.18.符号函数f(x)sgnx19无穷小量是。yf(x)xyf(x)在点连续，要求函数满足的三个条件是。020.函数三.计算题21.求lim(1x1).；22.设f(e)3x2,求f(x)(其中x0)；x11exxx0x1x1x523.求lim(3x)x2；24.求lim()x；x2x；26.已知lim(xxaa)x9，求的值；asinx2x0tan2x(x23x)25.求limxx2lg52x它的定义域。fxx11n；28.求27.计算极限lim(12n3n)n29.判断下列函数是否为同一函数：f(x)x21x1与g(x)x1；⑴f(x)=sin2x＋cos2x与gx=1；⑵与g(x)x1；⑷fxx12与g(x)x1；2f(x)x1⑶⑸yaxsat2与。230.已知函数f(x)x21，求fx1、f(f(x))、ff32；3n25n1；32.求6n24n712nlimnlim31.求；n2n33.求lim(n1n)；34.求2n3nlim2n3n。nn35.判断下列函数在指定点的是否存在极限sinx,x0x1,x2，x2；⑵y1x,x0y⑴，x0。x,x23x39；1x3limx3limx336.求；37.求x21x12x3x21y。x3x1limx038.求；39.求当x→∞时，下列函数的极限x时，函数y2x2x1x40.求当x3x1的极限。sin3x1cosxlimx21limx041.求；42.求x0；；x1n32nlim1；44.求lim143.求nnnnlim(11)x1xxx；46.求；xlim145.求kx47.求kx1x。lim1x0sinx,x0f(x)x48.研究函数=x0处的连续性。在点01,x01x1fx49.指出函数()x=1处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。在点1,x0f(x)xx=0处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。在点50.指出函数0,x0x2,x0f(x)51.指出函数=x0处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。在点1,x0ln(1x)52.求limx0；x；x12limlnx53.求x1x1－＋－＝2x3x2x30在区间54.试证方程[1，2]至少有一根。3255.求limtanxsinx。sin2x3x0ysinx在区间56.试证正弦函数(-∞，+∞)内连续。x，x0llx，x0x0处是否连续？；在点57.函数fxxxsin1x，x0；是否在点x0连续？58.函数f(x)0，x0limax1.59.求极限xx0函数与极限测试题答案（二）一.选择题1.A【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.原函数可表示为F(x)xf(t)dtC，且F(x)f(x).【详解】方法一：任一0F(x)F(x)，于是F(x)(1)F(x)，即f(x)f(x)，也当为偶函数时，有即f(x)f(x)，可见为奇函数；若为奇函数，则xf(t)dt为偶函数，从而反过来，0F(x)xf(t)dtC为偶函数，可见(A)为正确选项.0【评注】函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考与其原函数的有界性之间有何关系?2.D【分析】显然x0，x1为间断点，其分类主要考虑左右极限.x0，x1点处无定义，因此是间断点.且limf(x)，由于函数在【详解】x0所以x0为第二类间断点；limf(x)0，limf(x)1，所以为第一类间断点，故应选(D).x1x1x1xx1，limxx1.从而xlime，x1lim应特别注意：【评注】x1x1x1xlimex10.x13-8CACCAC8.∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：x11)((x11)limxx1原式=lim(x012.（有理化法）11)x11x09-10DCx12x28x310.解：原式limtanx(1cosx)lim(2x)161.x03x0注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例xx0(2x)limx0.3中若对分子的每项作等价替换，则原式二.填空题14.5；15.e2；16.x1、2；17.(,)[0,)；11.2；12.1；13.0；18.(,){1,0,1}；19.在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量y=fx在点x处有定义；②xx时极限lim存在；③极限值与函数值相fx()0020.①函数xx0等，即lim()()。fxfx0xx0三.计算题""21.【分析】型未定式，一般先通分，再用洛比达法则.lim(1x1)limxx21exx(1ex)xx21ex【详解】=limx01exxx2x0x0=lim12xex=lim2ex2x3.22x0x022.fx3lnx1,x0；23.e1ln3；24.e2；25.；26.；27.36328.解：由x＋20解得x2；由x－10解得x1；由52x0解得x2.5；所以函数的定义域为｛｜x2.5>x2且x1｝2,11,2.5或表示为。29.⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。2fx1x121x22x；ffx＝fx1＝x11＝x42x2；30.解：22ff32＝f312＝f10＝99。23n25n1513nn23n25n16n24n7lim31.解：nlimnn2lim4766n24n7nnn2n2lim35lim1lim13001nnnn21nlim64lim17lim6002；nnnn2nn(n1)lim12nlimlimnn2n12；2n22n232.解：n2nn(n1n)(n1n)n1n33.解：lim(n1n)lim；nn1lim1nnlimn1lim1n1nn11nlimlimn0n1nnnn(2)n1lim(2)nlim12n3nlim3nn(2)n1lim(2)nlim133011013nlimn34.解：23nnnnlimy2,limy3，limylimy；所以函数在指定点的35.解：⑴因为x2x222xx极限不存在。⑵因为limysin00,limy100，limylimy；所3x0x0x0x0limy0。指定点的极限x0以函数在lim11x3x3limxlim333611；36.limx3x3x3x33x29x3x3x311；37.limxlimlimx363x3x38.lim1x1lim(1x1)(1x1)limxlimx011；1x12x(1x1)x0x(1x1)xx0x02112x3x21x3x1xx3139.limxlim1x1x2x311lim2limlimx2002100xxxx3lim1lim1lim1xxx3xx22xx211x32x2x1x3x140.limxlim11x1x2x32limlim1lim11000100xxxx30xx2lim1lim1lim1xxx3xx241.limsin3xlimsin3x333xxx0x0xx22sin2sin1cosxlim2112242.limx0lim2xx4()22xx2x002lim(11)nlim1nn21n2ee44.原式lim1n1nne243.原式=nlim(11)31nnn1145.原式lim1x1kxlim11kxek1kkxkxkxlim1e111xx11xxlim1x46.原式xklim1x0kx1ek47.原式kx48.解limf(x)limsinx1而f(x)f(0)1x0xx0x0limf(x)f(0)函数在x0处连续。x0x＝1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点49.间断，函数在x＝0处左右极限不存在，第二类间断点50.间断，函数在51.间断，limf(x)0f0＝1但，两者不相等，第一类间断点x0limx0ln(1x)limln(1x)xlnlim(1x)xlne111x52.解：x0x0x12limx1lnxlimx1lnx200x153.解：x154.证明：设f(x)＝2x3－3x2＋2x－3，则在f1＝-20，f2＝50[1，2]上连续，根据零点定理，必存在一点使，则就是方程的根。(1，2)f()＝0x＝x12x2tanx(1cosx)lim11655.原式limx0(