控制系统内部描述与外部描述的联系与区别

线性系统内部描述与外部描述之间的关系分析陆大勇罗振华罗汶锋摘要线性系统的内部描述与外部描述是我们对系统进行分析的基础，在得到系统的数学描述即数学模型后，我们才可以用各种各样的工具来进行相关性能指标的分析。对于同一个系统，我们既有内部描述，即状态空间描述法，也有外部输入输出描述，常用的为传递函数矩阵描述，这两种描述是完全等价的还是有条件等价的呢？这将是我们讨论的重点。我们将从能控能观测的角度分析系统响应的角度、从不变子空间的角度及稳定性分析的角度这三个角度来进行分析。最后，我们得到结论：系统的内部描述与外部描述在系统完全能控完全能观测的条件下是等价的。关键词：内部描述外部描述系统结构特征响应引言:在第一次的课程论文中，我们选取了一个实际的物理系统：车载倒立摆作为研究对象，利用机理法建立起系统的数学模型。有了数学模型以后，我们可以对系统进行分析，包括定性分析和定量分析，掌握系统一些基本结构特性。而数学模型描述具有两类基本形式：一种是系统的内部描述，即状态空间描述，另一种是系统的外部描述，即输入输出描述。这两类描述方法对于我们分析系统都是非常重要的，两者之间既有联系，也有区别。在本文里，两者的区别是我们的讨论重点。另外，文中所提到的系统，如无特殊指明，均指线性定常系统。系统的内部描述，通常也称为“白箱描述”，是对系统的完全描述。对于线性定常系统，我们有如下描述：（1）（2）它的状态方程表征了系统内部状态变量组和输入变量组之间的关系，输出方程则表征了内部状态变量组和输入变量组到输出变量组的变换关系。系统的外部描述通常也称为“黑箱描述”，是不完全的描述，一般具有线性常微分方程的形式：（3）取拉普拉斯变换，并假设初始条件为零，可得：（4）其中，、分别是输出变量、输入变量的拉普拉斯变换。即有：（5） 在本文里，我们主要想通过从系统的能控性与能观性、系统矩阵A的不变子空间及系统的稳定性三个方面来分析系统的响应特征，在这个过程中，我们把主要精力放在系统的内部描述和外部描述的区别上，看看这两者在以上三个方面对分析系统响应特征时各有什么样的优点和缺点，或者说哪种描述更能准确的反映系统的响应特征，更完全的把系统的特征结构表达出来。一、从能控性与能观性分析系统响应的关系我们知道，根据系统的输入输出描述：，很直接的我们就可以得到系统的响应，而且，从表达式上看，每一个输入都会对整个系统的输出产生影响，或者说输入信号的每个分量都能影响系统的每个输出分量。但是实际上这种说法是不准确的。对于不完全能控和不完全能观的多输入多输出连续时间线性时不变系统，我们可以通过卡尔曼分解，显式地把系统分解成四个部分，如图1：能控能观部分、能控但不能观部分、不能控但能观部分、不能控也不能观部分。能产生作用的两个部分是能控能观部分和能控但不能观部分，但对于系统中不能控的两个部分是无能为力的。产生的控制作用一定全都会反映到输出上吗？显然，从图中我们看到，只有作用于能控能观部分图1卡尔曼分解的控制作用才能反映到输出上。也就是说，从能控性和能观性的角度来看，系统的响应只和系统的能控能观部、不能控但能观两个部分联系起来，而其他两个部分对系统的输出是没影响的，控制作用只能通过作用于能控能观部分来影响输出。从这里，我们可以看出，系统的外部描述所反应的系统结构只是部分的，也就是系统的能控能观部分，是不完全的描述。而内部描述则是对系统结构的完全描述，能够同时反应系统结构的各个部分。 更细致的，对于不完全能控和不完全能观测的多输入多输出连续时间线性时不变系统，通过引入特定的线性非奇异变换可使系统结构实现规范分解，即有：（6）（7） 并且，这种规范分解在形式上为惟一，而在结果上为不惟一。画出系统的结构规范分解方块图，如下图2所示：图2系统结构规范分解方块图从规范分解方块图可以直观看出，能控但不能观单元只有信号进入而无信号送出，不能控但能观单元只有信号送出而无信号进入，不能控又不能观单元虽有信号进入也有信号送出，但是进入信号来自不能控但能观单元，送出信号只能到达能控但不能观单元。只有能控能观单元能够实现输入到输出的传递。作为外部描述的传递函数矩阵只能反映系统的能控能观部分，即有：（8）上述分解表明，一般而言，系统可由传递函数矩阵完全表征，当且公当系统为完全能控和完全能观测即系统为不可简约。外部描述与内部描述之间是有条件等价的。二、从不变子空间分析系统轨迹特征不变子空间是线性系统的几何理论中的一个重要的概念。几何理论的主要数学工具是以几何形式表达的线性代数，基本思想是把能控性和能观测性等系统结构特性表述为不同的状态子空间的几何属性。在几何理论中，具有关键意义的两个概念是基于线性系统状态方程的系统矩阵A和输入矩阵B所组成的（A，B）不变子空间和（A，B）能控子空间。几何方法的特点是简洁明了，避免了状态空间法中大量繁杂的矩阵推演运算。下面我们来看看如何从系统矩阵A的不变子空间来分析系统的响应。我们知道，系统矩阵A的不变子空间是由A的特征向量生成的，为了方便讨论，假定系统为三维系统，即A有3个特征向量，则A的不变子空间有6个，分别为：以特征向量的方向为方向且过原点的3条直线，过的平面，过的平面，过的平面。当系统的初始状态是在A的某个不变子空间中，则该系统的零输入响应一定是这一不变子空间中的一条曲线。在学习能控性与能观性判据的时候，我们有如下判定依据：“系统是完全能控能观测的”等价于“当A没有重根时，B的所有列不能在A的任意一个不变子空间中”，即B不可以由A的部分特征向量线性表示。该依据可以这样理解，若B可以由A的部分特征向量如表示，那么控制分量只能在平面产生控制作用，对沿方向的系统结构部分是起不了作用的。此时，系统不是完全能控和完全能观测的。由此，我们同样可以得出，系统的外部描述是不完全描述，而系统内部描述则是完全描述。三、从稳定性分析稳定性是系统的一个基本结构特性。对大多数情形，稳定是控制系统能够正常运行的前提。系统运动稳定性可分类为基于输入输出的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。我们来看看两者之间的异同。 假定系统初始条件为零，以保证系统外部描述的惟一性。在此基础上，称一个系统为外部稳定的，即BIBO（bounded-inputbounded-outputstable）稳定,如果对任意一个有界输入，即：，m为一常数，对应的输出均为有界，即：。对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，初始时刻为0，系统BIBO稳定的充要条件为，存在一个有限正常数，使脉冲响应矩阵所有元：均满足关系式：（9） 对于(1)、(2)式描述的线性定常系统，如果，初始状态为任意的，且由引起的零输入响应满足：，则称系统是内部稳定的。其充要条件为：系统矩阵A所有特征值均具有负实部。 由以上外部稳定与内部稳定的定义和判据，我们可得以下结论：结论1：若系统为内部稳定，则系统必为BIBO稳定，即外部稳定。下面给出证明。对系统进行分析可知，脉冲响应矩阵为：（10）因为系统是内部稳定的，则A所有特征值均具有负实部，所以：（11）由（10）、（11）两式可知，脉冲响应矩阵所有元：均满足关系式（9）,即BIBO稳定。结论2：系统为外部稳定即BIBO稳定不能保证系统必为内部稳定。下面作简单的证明。由第一部分的系统结构规范分解分析可知，外部描述只反映系统结构中能控能观测部分。若系统为BIBO稳定，则对于SISO系统来说，其传递函数G(s)具有负实部，这只能保证系统能控能观测部分特征值具有负实部，既不能表明也不要求系统其他三个部分的特征值均具有负实部，因此，系统BIBO稳定不能保证系统内部稳定。由结论1、2我们可以得出以下结论：对于连续时间线性时不变系统，若系统完全能控和完全能观测，则内部稳定与外部稳定是等价的。四、总结 以上我们对系统的内部描述与外部进行了三个不同方面的分析，并都得出了相同的结论：只有当系统是完全能控和完全能观测时，系统的内部描述与外部描述才是等价的。系统的内部描述是一种完全描述，反映了系统结构中各部分的特征，而系统的外部描述只反映了系统中能控能观测部分的特征。系统的外部描述在分析系统