高中数学第1章导数其应用11变化率与导数111变化率问题112导数的概念2数学教案

第1章导数及其应用1.1变化率与导数变化率问题导数的观点学习目标核心修养1.经过对大批实例的剖析，经历由均匀变化率过渡到1.经过对函数的均匀变化率、刹时变刹时变化率的过程，认识导数观点的实质背景.化率、导数的观点的学习，培育学生2.会求函数在某一点周边的均匀变化率．(要点)的数学抽象核心修养.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(要点、2.经过求均匀变化率、刹时变化率及难点)导数的学习，培育逻辑推理及数学运4.理解函数的均匀变化率，刹时变化率及导数的概算的核心修养.念．(易混点)1．函数的均匀变化率(1)函数y＝f(x)从x1到x2的均匀变化率为y＝fx2－fx1，此中x＝x是相关于x－xx1的一个“增量”，y＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋x)－f(x1)是相关于f(x1)的一个“增量”．均匀变化率的几何意义设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上随意不一样的两点，函数y＝f(x)的均匀变yfx－fx1fx＋x－fx化率x＝211为割线AB的斜率，如下图．21＝xx－x思虑：x，y的值必定是正当吗？均匀变化率能否必定为正当？[提示]x，y可正可负，y也能够为零，但x不可认为零．均匀变化率y可正、可x负、可为零．2．刹时速度与刹时变化率物体在某一时刻的速度称为刹时速度．000＋x的均匀变化率在x→0(2)函数f(x)在x＝x处的刹时变化率是函数f(x)从x到x时的极限，即limy＝limfx＋x－fx.00x→0xx→0x3．导数的观点函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数0处的刹时变化率，记作0y＝f(x)在x＝xf′(x)或，即f′(x0fx＋x－fx00y′|0)＝limx.x＝xx→01．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋x时，函数的改变量y为()A．f(x＋x)B．f(x)＋x00C．f(x0)·ΔxD．f(x0＋x)－f(x0)D[y＝f(x0＋x)－f(x0)，应选D.]2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的均匀速度是( )A．4B．4.1C．0.41D．－1.1ss2.1－s22.12－22＝4.1，应选B.]B[v＝t＝＝0.12.1－23．函数f(x)＝x2在x＝1处的刹时变化率是________．[∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的刹时变化率是limy＝limf1＋x－f1＝lim1＋x2－12xxx→0xx→0x→0lim(2＋x)＝2.]x→04．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于________．0[f′(6)＝limf6＋x－f6＝lim2－2＝0.]xxx→0x→0求函数的均匀变化率【例1】已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：从0.1到0.2的均匀变化率；在区间[x0，x0＋x]上的均匀变化率．[解](1)由于f(x)＝3x2＋5，因此从0.1到0.2的均匀变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.9.0.2－0.100022＋x)＋5－(3x0＋5)(2)f(x＋x)－f(x)＝3(x＝3x020x＋3(x)2＋5－3x02－5＝6x02＋6xx＋3(x).函数f(x)在区间[x06x0x＋3x20x]上的均匀变化率为＝6x0，x＋x＋3x.1．求函数均匀变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量x＝x2－x1；第二步，求函数值的增量y＝f(x2)－f(x1)；第三步，求均匀变化率y＝fx2－fx1x21.x－x2．求均匀变化率的一个关注点求点x0周边的均匀变化率，可用fx0＋x－fx0的形式．x[跟进训练]1．如下图，函数y＝f(x)在A，B两点间的均匀变化率等于()A．1B．－1C．2D．－21－3B[均匀变化率为＝－1.应选B.]3－12．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及周边点Q(1＋x,2＋y)，则y的值为x( )A．4B．4xC．4＋2x2D．4＋2xy21＋x2－2×12D[x＝x＝4＋2x.应选D.]求刹时速度[研究问题]1．物体的行程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1,1＋t]这段时间内的平均速度？[提示]

s＝5(1＋

t)2－5＝10t＋5(t)2，

v

＝

st＝10＋5t.2．当t趋近于0时，研究1中的均匀速度趋近于多少？如何理解这一速度？s[提示]当t趋近于0时，t趋近于10，这时的均匀速度即为当t＝1时的刹时速度．【例2】某物体的运动行程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的刹时速度．思路研究：计算物体在[1，1＋t]内的均匀速度令t→0s―→得t＝1s时的刹时速度―――→计算limt→0t[解]ss1＋t－s1∵t＝t1＋t2＋1＋t＋1－12＋1＋1＝t＝3＋t，∴lims(3＋t)＝3.t＝limt→0t→0∴物体在t＝1处的刹时变化率为3.即物体在t＝1s时的刹时速度为3m/s.

st1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．[解]求物体的初速度，即求物体在t＝0时的刹时速度．∵ss0＋t－s0tt＝0＋t2＋0＋t＋1－1＝t＝1＋t，lim(1＋t)＝1.t→0∴物体在t＝0时的刹时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的刹时速度为9m/s.[解]设物体在t0时刻的刹时速度为9m/s.又s＝st＋t－st＝(2t000tt＋1)＋t.lims＝lim00t(2t＋1＋t)＝2t＋1.t→0t→0则2t0＋1＝9，t0＝4.则物体在4s时的刹时速度为9m/s.求运动物体刹时速度的三个步骤(1)求时间改变量

t和位移改变量

s＝s(t0＋

t)－s(t0)．s(2)求均匀速度v＝t.s(3)求刹时速度，当t无穷趋近于0时，t无穷趋近于常数v，即为刹时速度．求函数在某一点处的导数【例3】(1)设函数y＝f(x)在x＝x处可导，且limfx0－3x－fx0＝1，则f′(xxx→0于( )1D．1A．1B．－1C．－33求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．fx＋x－fx00思路研究：(1)类比f′(x0求解．xx→0(2)先求y―→再求y―→计算limyxxx→0(1)Cfx0－3x－fx0[∵limxx→0＝limfx0－3x－fx0x→0－3x·－3＝－3f′(x)＝1，1∴f′(x0)＝－3，应选C.](2)[解]1－1－1∵Δy＝(1＋x)－11＋xx＋1－1＝x＋x，1＋x1＋xx＋x∴y1＋x＝1＋1xx＝，1＋x∴f′(1)＝limy＝lim1＝2.1＋x→0xx→01＋x求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．[跟进训练]3．已知f′(1)＝－2，则limf1－2x－f1＝________.x→0x4[∵f′(1)＝－2，f1－2x－f1f1－2x－f1∴limx＝lim－1×－2xx→0x→02＝－2limf1－2x－f1＝－2f′(1)＝－2×(－2)＝4.]－2xx→04．求函数y＝3x2在x＝1处的导数．[解]∵y＝f(1＋x)－f(1)＝3(1＋x)2－3＝6x＋3(x)2，∴yx＝6＋3x，∴f′(1)＝limy＝lim(6＋3x)＝6.x→0xx→01．极限思想是迫近的思想，刹时变化率就是均匀变化率的极限．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反应了函数在该点处的刹时变化率，它揭露了事物在某时刻的变化状况．即：f′(xy＝limfx0＋x－fx0＝limfx－fx0，xx→0xx→x0x－x0x→0且y＝f(x)在x0处的导数是一个局部观点．特别提示：①取极限前，要注意化简yx，保证使x→0时分母不为0.②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0相关，与x没关．③导数能够描绘任何事物的刹时变化率，应用特别宽泛．1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的均匀速度是( )A．0.4B．2C．0.3D．0.2B[v＝s2.1－s24.2－4＝0.1＝2.]2.1－22．物体自由落体的运动方程为122，若v＝lims1＋t－s1＝9.8s(t)＝gt，g＝9.8m/st2t→0m/s，那么以下说法中正确的选项是()A．9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速率B．9.8m/s是1s到(1＋t)s这段时间内的速率C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率D．9.8m/s是物体从1s到(1＋t)s这段时间内的均匀速率C[联合均匀变化率与刹时变化率可知选项C正确．]3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于()A．2B．－2C．－3D．3D[由于f′(1)＝limf1＋x－f1xx→0a1＋x＋3－a＋3＝limx＝a.x→0由于f′(1)＝3，因此a＝3.]fx0＋3x－fx0＝A，则f′(x4．设f(x)在x处可导，若limx)＝________.x→0fx