2023届中考数学一轮复习第21讲直角三角形与勾股定理教案

PAGEPAGE5第20讲:直角三角形与勾股定理一、复习目标〔1〕掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质。

〔2〕掌握角平分线性质的逆定理。

〔3〕掌握勾股定理及其逆定理。二、课时安排1课时三、复习重难点直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形全等的判定及其应用。四、教学过程〔一〕知识梳理直角三角形的概念、性质与判定定义有一个角是________的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角互余(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于___________(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于________________判定(1)两个内角互余的三角形是直角三角形(2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形拓展(1)SRt△ABC＝eq\f(1,2)ch＝eq\f(1,2)ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；(2)Rt△ABC内切圆半径r＝eq\f(a＋b－c,2)，外接圆半径R＝eq\f(c,2)，即等于斜边的一半勾股定理及逆定理勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方．即：________勾股定理的逆定理逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系：________，那么这个三角形是直角三角形用途(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问题互逆命题互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫做______，那么另一个叫做它的______互逆定理假设一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这个定理的________，称这两个定理为互逆定理命题、定义、定理、公理定义在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义命题定义判断一件事情的句子叫做命题分类正确的命题称为________错误的命题称为________组成每个命题都由______和______两个局部组成公理公认的真命题称为________定理除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理的过程称为________．经过证明的真命题称为________〔二〕题型、技巧归纳考点一：利用勾股定理求线段的长度技巧归纳：勾股定理的作用：(1)直角三角形的两边求第三边；(2)直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．考点2实际问题中勾股定理的应用技巧归纳：利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．考点3勾股定理逆定理的应用技巧归纳：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．考点4定义、命题、定理、反证法技巧归纳：只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的那么需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．〔三〕典例精讲例1将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图21－1，那么三角板的最大边的长为()A、3CMB、6CMC、CMD、CM[解析]如下图，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝2AD＝2×3＝6(cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝eq\r(2)AB＝6eq\r(2)(cm)．例2一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜外表爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点B1到最短路径的距离．解：(1)如图，木柜的外表展开图是两个矩形和．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.(2)蚂蚁沿着木柜外表经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是l1＝eq\r(42＋〔4＋5〕2)＝eq\r(97).蚂蚁沿着木柜外表经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝eq\r(〔4＋4〕2＋52)＝eq\r(89).l1>l2，最短路径的长是l2＝eq\r(89).(3)作B1E⊥AC1于E，那么B1E＝eq\f(B1C1,AC1)·AA1＝eq\f(4,\r(89))·5＝eq\f(20,89)eq\r(89)例3三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有()A．②B．①②C．①③D．②③[解析]根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．①∵22＋32＝13≠42，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；②∵32＋42＝52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；③∵12＋(√3)2＝22，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．故构成直角三角形的有②③.应选D.例4以下命题为假命题的是()A．三角形三个内角的和等于180°B．三角形两边之和大于第三边C．三角形两边的平方和等于第三边的平方D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半[解析]选项A和B中的命题分别为三角形的内角和定理与三角形三边关系定理，均为真命题；对于选项C，只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而其他三角形的三边都不具有这一关系，因此是假命题；选项D中的命题是三角形的面积计算公式，也是真命题，故应选C.〔四〕归纳小结本局部内容要求熟练掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质、掌握角平分线性质的逆定理、掌握勾股定理及其逆定理。〔五〕随堂检测1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，那么点C到AB的距离是()A.eq\f(36,5)B.eq\f(12,25)C.eq\f(9,4)D.eq\f(3\r(3),4)2、以下命题中，其逆命题是真命题的是________．(只填写序号)①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．3、如图以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．4、等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，那么由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为________．五、板书设计判定