复变函数期末考试复习题和答案详细讲解

.../《复变函数》考试试题〔一__________.〔为自然数2._________.3.函数的周期为___________.4.设,则的孤立奇点有__________.5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f<z>在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若,则______________.8.________,其中n为自然数.9.的孤立奇点为________.10.若是的极点,则.三.计算题〔40分：1.设,求在内的罗朗展式.2.3.设,其中,试求4.求复数的实部与虚部.四.证明题.<20分>1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数,那么它在内为常数.2.试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题〔二二.填空题.<20分>1.设,则2.设,则________.3._________.〔为自然数4.幂级数的收敛半径为__________.5.若z0是f<z>的m阶零点且m>0,则z0是的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程在单位圆内的零点个数为________.8.设,则的孤立奇点有_________.9.函数的不解析点之集为________.10..三.计算题.<40分>1.求函数的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3.计算积分：,积分路径为〔1单位圆〔的右半圆.4.求.四.证明题.<20分>1.设函数f<z>在区域D内解析,试证：f<z>在D内为常数的充要条件是在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题〔三二.填空题.<20分>1.设,则f<z>的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.若,则__________.4.___________.5._________.〔为自然数6.幂级数的收敛半径为__________.7.设,则f<z>的孤立奇点有__________.8.设,则.9.若是的极点,则.10..三.计算题.<40分>1.将函数在圆环域内展为Laurent级数.2.试求幂级数的收敛半径.3.算下列积分：,其中是.4.求在|z|<1内根的个数.四.证明题.<20分>1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数,那么它在内为常数.2.设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数R及M,使得当时,证明是一个至多n次的多项式或一常数。《复变函数》考试试题〔四二.填空题.<20分>1.设,则.2.若,则______________.3.函数ez的周期为__________.4.函数的幂级数展开式为__________5.若函数f<z>在复平面上处处解析,则称它是___________.6.若函数f<z>在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________.7.设,则.8.的孤立奇点为________.9.若是的极点,则.10._____________.三.计算题.<40分>1.解方程.2.设,求3..4.函数有哪些奇点？各属何类型〔若是极点,指明它的阶数.四.证明题.<20分>证明：若函数在上半平面解析,则函数在下半平面解析.2.证明方程在内仅有3个根.《复变函数》考试试题〔五二.填空题.〔20分1.设,则.2.当时,为实数.3.设,则.4.的周期为___.5.设,则.6..7.若函数f<z>在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________。8.函数的幂级数展开式为_________.9.的孤立奇点为________.10.设C是以为a心,r为半径的圆周,则.〔为自然数三.计算题.<40分>1.求复数的实部与虚部.2.计算积分：,在这里L表示连接原点到的直线段.求积分：,其中0<a<1.应用儒歇定理求方程,在|z|<1内根的个数,在这里在上解析,并且.四.证明题.<20分>1.证明函数除去在外,处处不可微.2.设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个数R及M,使得当时,证明:是一个至多n次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题〔六填空题〔20分若,则___________.设,则的定义域为____________________________.函数的周期为_______________________._______________________.幂级数的收敛半径为________________.若是的阶零点且,则是的____________零点.若函数在整个复平面处处解析,则称它是______________.函数的不解析点之集为__________.方程在单位圆内的零点个数为___________.公式称为_____________________.计算题〔30分1、.2、设,其中,试求.3、设,求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.证明题〔20分方程在单位圆内的根的个数为6.若函数在区域内解析,等于常数,则在恒等于常数.若是的阶零点,则是的阶极点.６．计算下列积分．〔８分<1>；<2>．７．计算积分．〔６分８．求下列幂级数的收敛半径．〔６分<1>；<2>．９．设为复平面上的解析函数,试确定,,的值．〔６分三、证明题．１．设函数在区域内解析,在区域内也解析,证明必为常数．〔５分２．试证明的轨迹是一直线,其中为复常数,为实常数．〔５分试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题〔一参考答案二．填空题1.；2.1；3.,；4.；5.16.整函数；7.；8.；9.0；10..三．计算题.1.解因为所以.2.解因为,.所以.3.解令,则它在平面解析,由柯西公式有在内,.所以.4.解令,则.故,.四.证明题.1.证明设在内.令.两边分别对求偏导数,得因为函数在内解析,所以.代入<2>则上述方程组变为.消去得,.若,则为常数.若,由方程<1><2>及方程有,.所以.<为常数>.所以为常数.2.证明的支点为.于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周,故能分出两个单值解析分支.由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到时,只有的幅角增加.所以的幅角共增加.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分支在上岸之幅角为0,因而此分支在的幅角为,故.《复变函数》考试试题〔二参考答案二.填空题1.1,,；2.；3.；4.1；5..6.,.7.0；8.；9.；10.0.三.计算题1.解.2.解令.则.又因为在正实轴去正实值,所以.所以.3.单位圆的右半圆周为,.所以.4.解=0.四.证明题.1.证明<必要性>令,则.<为实常数>.令.则.即满足,且连续,故在内解析.<充分性>令,则,因为与在内解析,所以,且.比较等式两边得.从而在内均为常数,故在内为常数.2.即要证"任一次方程有且只有个根".证明令,取,当在上时,有..由儒歇定理知在圆内,方程与有相同个数的根.而在内有一个重根.因此次方程在内有个根.《复变函数》考试试题〔三参考答案二.填空题.1.;2.;3.;4.1;5.;6.1;7.;8.;9.;10..三.计算题.1.解.2.解.所以收敛半径为.3.解令,则.故原式.4.解令,.则在上均解析,且,故由儒歇定理有.即在内,方程只有一个根.四.证明题.1.证明证明设在内.令.两边分别对求偏导数,得因为函数在内解析,所以.代入<2>则上述方程组变为.消去得,.1>,则为常数.若,由方程<1><2>及方程有,.所以.<为常数>.所以为常数.2.证明取,则对一切正整数时,.于是由的任意性知对一切均有.故,即是一个至多次多项式或常数.《复变函数》考试试题〔四参考答案.二.填空题.1.,;2.;3.;4.;5.整函数;6.亚纯函数;7.0;8.;9.;10..三.计算题.1.2.解,.故原式.3.解原式.4.解=,令,得,而为可去奇点当时,而为一阶极点.四.证明题.1.证明设,在下半平面内任取一点,是下半平面内异于的点,考虑.而,在上半平面内,已知在上半平面解析,因此,从而在下半平面内解析.2.证明令,,则与在全平面解析,且在上,,故在内.在上,,故在内.所以在内仅有三个零点,即原方程在内仅有三个根.《复变函数》考试试题〔五参考答案一.判断题.1．√２．√３．×４．√５．×6．×７．×８．√９．√10．√.二.填空题.1.2,,;2.;3.,;4.;5.0;6.0;7.亚纯函数;8.;9.0;10..三.计算题.1.解令,则.故,.2.解连接原点及的直线段的参数方程为,故.3.令,则.当时,故,且在圆内只以为一级极点,在上无奇点,故,由残数定理有.4.解令则在内解析,且在上,,所以在内,,即原方程在内只有一个根.四.证明题.1.证明因为,故.这四个偏导数在平面上处处连续,但只在处满足条件,故只在除了外处处不可微.2.证明取,则对一切正整数时,.于是由的任意性知对一切均有.故,即是一个至多次多项式或常数.《复变函数》考试试题〔六参考答案二、填空题：1.2.3.4.15.16.阶7.整函数8.9.010.欧拉公式三、计算题：解：因为故.2.解：因此故.3.解：4.解：5．解：设,则.6．解：四、1.证明：设则在上,即有.根据儒歇定理,与在单位圆内有相同个数的零点,而的零点个数为6,故在单位圆内的根的个数为6.2.证明：设,则,由于在内解析,因此有,.于是故,即在内恒为常数.3.证明：由于是的阶零点,从而可设,其中在的某邻域内解析且,于是由可知存在的某邻域,在内恒有,因此在内解析,故为的阶极点.《复变函数》模拟考试试题《复变函数》考试试题〔一判断题〔4x10=40分：1、若函数f<z>在z0解析,则f<z>在z0的某个邻域内可导。〔2、有界整函数必在整个复平面为常数。〔3、若函数在D内连续,则u<x,y>与v<x,y>都在D内连续。<>4、cosz与sinz在复平面内有界。〔5、若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点。〔6、若f<z>在z0处满足柯西-黎曼条件,则f<z>在z0解析。〔7、若存在且有限,则z0是函数的可去奇点。〔8、若f<z>在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有。〔9、若函数f<z>是单连通区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数。〔10、若函数f<z>在区域D内的解析,且在D内某个圆内恒为常数,则在区域D内恒等于常数。〔二、填空题〔4x5=20分1、若是单位圆周,n是自然数,则__________。2、设,则_________。3、设,则f<z>的定义域为___________。4、的收敛半径为_________。5、_____________。三、计算题〔8x5=40分：1、设,求在内的罗朗展式。2、求。3、求函数的幂级数展开式。4、求在内的罗朗展式。5、求,在|z|<1内根的个数。《复变函数》考试试题〔二一、判断题〔4x10=40分：1、若函数f<z>在z0解析,则f<z>在z0连续。〔2、有界整函数必为常数。〔3、若收敛,则与都收敛。<>4、若f<z>在区域D内解析,且,则〔常数。〔5、若函数f<z>在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。〔6、若f<z>在z0解析,则f<z>在z0处满足柯西-黎曼条件。〔7、若函数f<z>在z0可导,则f<z>在z0解析。〔8、若f<z>在区域D内解析,则|f<z>|也在D内解析。〔9、若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析。〔10、cosz与sinz的周期均为。〔二、填空题〔4x5=20分1、__________。2、设,则f<z>的孤立奇点有__________。3、若函数f<z>在复平面上处处解析,则称它是___________。4、_________。5、若函数f<z>在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________。三、计算题〔8x5=40分：1、2、求3、4、求在内的罗朗展式。5、求在|z|<1内根的个数。《复变函数》考试试题〔三一、判断题〔3x10=30分：1、若函数f<z>在z0处满足Cauchy-Riemann条件,则f<z>在z0解析。〔2、若函数f<z>在z0解析,则f<z>在z0的某个邻域内可导。〔3、如z0是函数f<z>的本性奇点,则一定不存在。<>4、若函数f<z>在z0可导,则f<z>在z0解析。〔5、若函数f<z>=u<x,y>+iv<x,y>在D内连续,则二元函数u<x,y>与<x,y>。〔6、函数与在整个复平面内有界。〔7、若函数f<z>在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。〔8、若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点。〔9、存在整函数将复平面映照为单位圆内部。〔10、若函数f<z>是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数,则数f<z>在区域D内为常数。〔二、填空题〔2x10=20分1、若,则__________。2、若是单位圆周,n是自然数,则__________。3、函数的周期为___________。4、设,则的孤立奇点有__________。5、幂级数的收敛半径为__________6、若z0是f<z>的m阶零点且m>0,则z0是的_____零点。7、若函数f<z>在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内_________。、8、函数的不解析点之集为________。9、____________,其中n为自然数。10、公式称为_____________.三、计算题〔8x5=40分：1、设,其中,试求2、求。3、设,求4、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、求四、证明题〔6+7+7=20分：1、设是函数f<z>的可去奇点且,试证：。2、若整函数f<z>将复平面映照为单位圆内部且,则。3、证明方程在内仅有3个根。《复变函数》考试试题〔四一、判断题〔3x10=30分：1、若函数f<z>在z0解析,则f<z>在z0的某个邻域内可导。〔2、如果z0是f<z>的本性奇点,则一定不存在。〔3、若存在且有限,则z0是f<z>的可去奇点。<>4、若函数f<z>在z0可导,则它在该点解析。〔5、若数列收敛,则与都收敛。〔6、若f<z>在区域D内解析,则|f<z>|也在D内解析。〔7、若幂级数的收敛半径大于0,则其和函数必在收敛圆内解析。〔8、存在整函数f<z>将复平面映照为单位圆内部。〔9、若函数f<z>是区域D内的解析函数,且在D内的某个圆内恒等于常数,则f<z>在区域D内恒等于常数。〔10、。〔二、填空题〔2x10=20分1、函数ez的周期为__________。2、幂级数的和函数为__________。3、函数ez的周期为__________。4、设,则的孤立奇点有__________。的收敛半径为_________。5、幂级数的和函数为____________。6、若函数f<z>在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________。7、若,则______________。8、________,其中n为自然数。9、方程在单位圆内的零点个数为________。10、函数的幂级数展开式为__________。三、计算题〔5x6=30分：1、2、求3、4、求函数在内的罗朗展式。5、求方程在单位圆内零点的个数。6、求。四、证明题〔6+7+7=20分1、设函数f<z>在区域D内解析,试证：f<z>在D内为常数的充要条件是在D内解析。2、如果函数在上解析,且,则。3、设方程证明：在开单位圆内根的个数为5。《复变函数》考试试题〔五一、判断题〔3x10=30分：1、若函数f<z>在z0解析,则f<z>在z0连续。〔2、若函数f<z>在z0处满足Cauchy-Riemann条件,则f<z>在z0解析。〔3、若函数f<z>在z0解析,则f<z>在z0处满足Cauchy-Riemann条件。<>4、若函数f<z>在是区域D内的单叶函数,则。〔5、若f<z>在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有。〔6、若f<z>在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有。〔7、若,则函数f<z>在是D内的单叶函数。〔8、若z0是f<z>的m阶零点,则z0是1/f<z>的m阶极点。〔9、如果函数f<z>在上解析,且,则。〔10、。〔二、填空题〔2x10=20分1、若,则__________。2、设,则的定义域为__________。3、函数sinz的周期为___________。4、________。5、幂级数的收敛半径为_____________。6、若z0是f<z>的m阶零点且m>1,则z0是的______零点。7、若函数f<z>在整个复平面处处解析,则称它是_______。8、函数f<z>=|z|的不解析点之集为__________。9、方程在单位圆内的零点个数为_________。10、公式称为__________。三、计算题〔5x6=30分：1、2、设,其中,试求3、设,求4、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、求的值。四、证明题〔6+7+7=20分1、方程在单位圆内的根的个数为6。2、若函数在区域D内解析,等于常数,则在D内恒等于常数。3、若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点。《复变函数》考试试题〔六一、判断题〔3x8=24分1、若函数f<z>在z0解析,则f<z>在z0的某个邻域内可导。〔2、若函数f<z>在z0处解析,则f<z>在z0满足Cauchy-Riemann条件。〔3、如果z0是f<z>的可去奇点,则一定存在且等于零。<>4、若函数f<z>是区域D内的单叶函数,则。〔5、若函数f<z>是区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数。〔6、若函数f<z>在区域D内的解析,且在D内某个圆内恒为常数,则在区域D内恒等于常数。〔7、若z0是f<z>的m阶零点,则z0是1/f<z>的m阶极点。〔8、。〔二、填空题〔2x10=20分1、若,则__________。2、设,则的定义域为__________。3、函数的周期为___________。4、________。5、幂级数的收敛半径为_____________。6、若z0是f<z>的m阶零点且m>1,则z0是的______零点。7、若函数f<z>在整个复平面处处解析,则称它是_______。8、函数f<z>=|z|的不解析点之集为__________。9、方程在单位圆内的零点个数为_________。10、_____________。三、计算题〔5x6=30分1、求2、设,其中,试求3、设,求4、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分：四、证明题〔6+7+7=20分1、方程在单位圆内的根的个数为7。2、若函数在区域D内解析,等于常数,则在D内恒等于常数。3、若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点。五、计算题〔10分求一个单叶函数,去将z平面上的上半单位圆盘保形映射为w平面的单位圆盘。《复变函数》考试试题〔七一、判断题〔2x10=20分1、若函数f<z>在z0可导,则f<z>在z0解析。〔2、若函数f<z>在z0处满足Cauchy-Riemann条件,则f<z>在z0解析。〔3、如果z0是f<z>的极点,则一定存在且等于无穷大。<>4、若f<z>在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有。〔5、若函数f<z>在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。〔6、若f<z>在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有。〔7、若函数f<z>在区域D内的解析,且在D内某一条曲线上恒为常数,则f<z>在区域D内恒等于常数。〔8、若z0是f<z>的m阶零点,则z0是1/f<z>的m阶极点。〔9、如果函数f<z>在上解析,且,则。〔10、。〔二、填空题〔2x10=20分1、若,则__________。2、设,则的定义域为__________。3、函数sinz的周期为___________。4、________。5、幂级数的收敛半径为_____________。6、若z0是f<z>的m阶零点且m>1,则z0是的______零点。7、若函数f<z>在整个复平面除去有限个极点外,处处解析,则称它是_______。8、函数的不解析点之集为__________。9、方程在单位圆内的零点个数为_________。10、_____________。三、计算题〔5x6=30分1、2、设,其中,试求3、设,求4、求函数在内的罗朗展式。5、求复数的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分。四、证明题〔6+7+7=20分1、方程在单位圆内的根的个数为6。2、若函数在区域D内解析,等于常数,则在D内恒等于常数。3、若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点。五、计算题〔10分求一个单叶函数,去将z平面上的带形区域保形映射为w平面的单位圆盘。《复变函数》考试试题〔八判断题〔4x10=40分：1、若函数f<z>在z0解析,则f<z>在z0的某个邻域内可导。〔2、如果z0是f<z>的本性奇点,则一定不存在。〔3、若函数在D内连续,则u<x,y>与v<x,y>都在D内连续。<>4、cosz与sinz在复平面内有界。〔5、若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点。〔6、若f<z>在z0处满足柯西-黎曼条件,则f<z>在z0解析。〔7、若存在且有限,则z0是函数的可去奇点。〔8、若f<z>在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有。〔9、若函数f<z>是单连通区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数。〔10、若函数f<z>在区域D内的解析,且在D内某个圆内恒为常数,则在区域D内恒等于常数。〔二、填空题〔4x5=20分1、函数ez的周期为__________。2、幂级数的和函数为__________。3、设,则f<z>的定义域为___________。4、的收敛半径为_________。5、_____________。三、计算题〔8x5=40分：1、2、求3、。4设。求,使得为解析函数,且满足。其中〔D为复平面内的区域。5、求,在|z|<1内根的个数《复变函数》考试试题〔九一、判断题。〔正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,25=10分1．当复数时,其模为零,辐角也为零。〔2．若是多项式〔的根,则也是的根。〔3．如果函数为整函数,且存在实数,使得,则为一常数。〔4．设函数与在区域D内解析,且在D内的一小段弧上相等,则对任意的,有。〔5．若是函数的可去奇点,则。〔二、填空题〔每题2分1．。2．设,且,,当时,。3．函数将平面上的曲线变成平面上的曲线。4．方程的不同的根为。5．。6．级数的收敛半径为。7．在〔n为正整数内零点的个数为。8．函数的零点的阶数为。9．设为函数的一阶极点,且,则。10．设为函数的m阶极点,则。三、计算题。〔50分设。求,使得为解析函数,且满足