2020版高考数学二轮复习：大题考法课 数列的综合应用及数学归纳法

n＋nnnnnnn1n＋12nn1nnnn12n＋…n＋nnnnnnn1n＋12nn1nnnn12n＋…223－＝nn1nn2－1nn1*[时跟踪检测]1．数{}前n项和S满足＝2a－，且a，a＋，a成等差数列．nnn13求数列{}通项公式；na设b＝，求数列{}前n项和SSn＋解：∵＝－，①nn1∴当≥时，S＝2a－，②n－111①－②得，a＝a－2a，即a＝2a.n－nn由a，＋，a成等差数列，得＋＝a＋a，1213∴a＋1)＝a＋4a，解得＝11∴数列{}首项为2，公比为2的等比数列．n∴a＝2n

n

.∵＝2，∴＝－a＝＋－2，S＝2＋－2.n1n＋1a2∴b＝＝＝－SS＋－22－12－1∴数列{}前n项和n1T＝

11－－2－12－1－12－1

112－－1

12

1－

1－.2－12．(2019·兴适应性考试)已知数列{}公差为2的等差数列，且，n15＋1，a＋1等比数列．数列{}足：b＋＋…＋＝＋－，∈N23n1求数列{}{}通项公式；nn设数列{}前n项和为T，nn

11b*21nnn＋＋…＋3×77112＋＋…＋242n4－11b*21nnn＋＋…＋3×77112＋＋…＋242n4－－＋124n744n＋3－1231nnn1nn12且c＝n

，n为奇数，ann偶数，n若对n∈

，T≥恒成立，求正整数k的值．2k解：由已知得(a＋1)5

2

＝aa＋1)，123即a＋9)＝(＋45)，11所以a＝，所以a＝＋1当n＝1时，b＝2，当n≥2时，b＝(b＋b…＋)－b＋…＋b)＝121n

n－＝2，所以b＝n1因为T＝221＝

4n

，所以

133n＋2－n＝11123＝＝1－.＋设d＝，4则

n＋1

7－d＝－＝<0恒成44

nnn＋*4n1n441nn222n22223nn－1222223nnnn＋22223nnnn2n2nnn＋*4n1n441nn222n22223nn－1222223nnnn＋22223nnnn2n22nnn＋1立，因此d>d>d>d>…，134由于d，d>1，d，，…，13因此－<0，T－T<0，T－<0，T－>0，…，4488所以{}T最小，所以k值为4.n83．已知数{}前n和为，若＝－3＋4，b＝－logan2n1求数列{}通项公式与数列{}通项公式；nnb1令＝＋，其中n∈2

，若数列{}前n项和为，求nnn解：由a＝－3a＋，得＝，1由a＝－S＋4，知a＝－3＋，n1n＋11两式相减并化简得a＝，n＋1n∴a＝，＝－loga＝－log2n.n由题意知，＝＋n

1n

.13n令H＝＋＋＋…＋，①n11n则H＝＋＋…＋＋，②21①－②得，H＝＋＋＋…＋－＝1.2＋n＋2∴H＝－.n又H＝nn

11111111＋…＋1－＋－…＋－＝1－1×223

n2nn＋13nnnnSnn＋123nSS12－1nSn2nn＋13nnnnSnn＋123nSS12－1nSn22k1n＋1

＝

nn＋1

，n＋2∴T＝H＋(－H)＝2－＋.nn4．(2019·暨期末)数列{}各项为正数，a＝2，前n和S，满足n

n

n＋2＋1＋b＝S；等比数列{}公比等于，其首项满足是与无关的2n1＋log3常数．(1)求a；n求a－b＋a－b|＋a－＋…＋|a－b123Sn2解：法一：∵＝，nSS3∴·…＝×××…×.12Sn－1n∴＝，＝(＋1)，n∴a＝S－＝(≥．n－又a＝也符合上式，1∴a＝2n.n法二：由＝S＝6＝2×3，＝123×，1猜想＝(＋1)．n用数学归纳法证明：易知当n＝1时猜想成立；假设当n＝k，猜想成立，即＝k＋，kk＋2则当n＝k＋1时，＝S＝(k＋1)(＋，k＋1k即当n＝k＋1时，猜想也成立，所以S＝nn＋1)n

313132n13nn3n3n3313132n13nn3n3n3n3则a＝－＝2n(≥．n－又a＝也符合上式，∴a＝n.1n2＋log3＋由题意令n，得＝，3＋log＋logb331解得b＝－1，b＝，31n＋1＋logb此时＝为常数，2n1＋log3∴b＝－2记f()＝－＝－，n2则f(＋－f(n)＝2，∴当≥时，f(n)单调递减．又f(1)，f(2)，…，(6)>0，f∴当≤时，b；当≥时，b>a.nnn记数列{}前n项和为T，nn2－则＝.n当n≤6时，a－b＋a－＋…＋－|112n＝a＋a＋…＋)－b＋＋…＋)112n2－＝nn＋1)－；当n≥7时，a－b＋a－＋…＋－|112n＝a＋a＋…＋)－b＋＋…＋)＋1126

n3n3n3*nnnnn21112nn112n23nn3n3n3*nnnnn21112nn112n23nn1nn1n*nnb＋…＋)－(＋…a)77＝T－＋2－Tnn62－＝－nn＋＋42.综上，a－b＋a－b|＋…＋a－b1nn＝

2－n，≤，2－－n＋，≥7.5．已知各均不相等的等差数列{}前项和为14，且a，a，a恰为n13等比数列{}前3项．n分别求数列{}{}前项和S，T；n设K为数列{}前项和，若不等式≥K＋对一切∈N恒成立，求实数λ的最小值．解：设数列{}公差为，n14则da＋6d解得d＝1或d＝舍去)，a＝，1n所以a＝＋1，＝.nb＝，＝2－2.nn由题意得K＝×2＋3×2＋…＋(＋1)×2，①n则2＝×＋32＋…＋×＋(n＋1)×2，②n①－②得－K＝×＋n

2

＋2

3

＋…＋2

－n＋1)2

，K＝2＋n

.要使λST≥＋对一切∈N恒成立，

nnSTnnnnn222ngn1n22222244maxnnSTnnnnn222ngn1n22222244max42*2n－nnn1222*2K＋＋1即λ≥＝恒成立，n2＋1设gn)＝，g－－因为＝＝11－－<1，－55所以()随的增加而减小，所以gn)＝(1)＝，所以当λ≥时不等式5恒成立，因此λ的最小值为.36．已知在{}，a＝，a＝a2a＋2，n∈，其前n项和为Sn1n1n求证：1<aa<2；n1求证：

2

62＋≤a≤；－＋2－＋求证：n<S<n＋2.n证明：先用数学归纳法证明1<a<2.n3①当n＝1时，a＝，1②假设当n＝k，ak当n＝k＋1时，a＝a－2＋＝(－1)＋，k＋1kk又a∈，所以∈(1,2)．kk由①②知1<a<2，nN恒成立．na－＝－＋＝(a－1)(a－2)<0，n＋1nnn所以1<a<a<2成立．n＋1

24211n21nnn22＋1＋2－a2－nn2－an－1*nnnn1n1*2＋12＋11n1n6nnn24211n21nnn22＋1＋2－a2－nn2－an－1*nnnn1n1*2＋12＋11n1n6nnnn2＋2nnnn得<12n2n2n23a＝＝1

6，a＝>3＋2

6，当n≥3时，<1，又1<a<2，3＋22＋36所以a≥2＋3由a＝－2a＋得2－a＝a－a，n＋1nn＋1n1111即＝2－a11所以－2－an＋1