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文档简介

1第五节对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的计算方法两类曲面积分之间的关系复习2定义三个积分的和常记为：记作为封闭曲面,

若3则如果为分片光滑有向曲面,1.若则有表示与相反侧的曲面,2.用性质具有与对坐标的曲线积分相类似地性质，如4设有向曲面对坐标的曲面积分的计算方法则上侧取正,类似,前侧取正,右侧取正,定理影区域为在上连续，由方程给出,在面上的投下侧取负.后侧取负.左侧取负.5两类曲面积分之间的关系其中为上指定侧的法向量的方向余弦.由有所以6第六节高斯公式*通量与散度一、高斯公式二、通量与散度7一、高斯公式或定理由分片光滑的闭曲面所围成，在上具有一阶连续偏导，则设空间闭区域其中是取外侧，的方向余弦.处法向量函数8例1

计算其中为曲面所围区域的整个边界曲面的外侧.xyzo

由高斯公式得解解由高斯公式xyz例2

计算是平面z=0，z=3及柱面的整个边界曲面的外侧.所围区域P2391(4)9例3

其中是上半球面的下侧.xyz解添加曲面取上侧.注：应用高斯公式，曲面不满足封闭时，可添加辅助面，构成封闭曲面。一般添加的是有向的平行于相应坐标面的平面。10解添加辅助面取上侧.例4

计算,其中为锥面的下侧,是在点处法向量的方向余弦.xyzo利用对称性11xyzo而12设为曲面取上侧,求解作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标例513在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式:其中是整个边界面的外侧.注意:高斯公式例6

设函数14注意:高斯公式证令由高斯公式得移项即得所证公式.15具有一阶连续偏导，面叫做向量场处的单位法向量，是场内的一片有向曲面，是二、通量与散度即设某向量场由给出，上点其中通过曲向着指定侧的通量或流量则16称为向量场的散度.记作即显然，高斯公式可写成例7

求向量场穿过曲面流向指定侧的流量.其中的球面，流向外侧.是以点为球心,半径解17间内流过圆柱面例8

已知流体的速度场为,试求单位时介于平面之间的部分的外侧的流量(流体的密度为1)。解添加辅助面取上侧.取下侧.xyz1S18解

记穿过曲面流向上侧的通量,其中为柱面被平面截下的有限部分

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