高中数学函数的和差积商的导数第2课时旧人教高中选修本(理)

函数的和、差、积、商的导数第2课时一、教课目的：1．掌握两个函数的商的求导法例．2．能正确运用已学过的导数公式和导数四则运算法例，求某些简单函数的导数．3．能运用导数的几何意义与物理意义，解决相关的曲线、直线问题及物体运动问题．二、教课要点：掌握商的求导法例，灵巧运用求导的四则运算法例；教课难点：商的求导法例与积的求导法例联系与区其他理解．三、教课器具：投影仪四、教课过程1．复习引入（1）复习两个函数的和（差）的求导法例：（2）学生练习：求函数yx2sinx的导数．（4）学生练习：求函数yx2sinx的导数．（5）问题：怎样求函数x2y的导数？sinx2．新授1．法例3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．回首导数定义：f(x)limylimf(xx)f(x)x0xx0x证明：设yf(x)u(x),v(x)0.v(x)则u(xx)u(x)u(xx)v(x)u(x)v(xx)yx)v(x)v(xx)v(x)v(xu(xx)u(x)v(x)u(x)v(xx)v(x)∴yxxxv(xx)v(x)由于v(x)在点x处可导，所以v(x)在点x处连续．于是当x0时，v(xx)v(x).进而limyu(x)v(x)u(x)v(x)．即yuuvuv.x0xv(x)2vv2说明：①uu.vv②类比：(uv)uvuv，uuvuvvv2③uuvuv.vv2④若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的状况下分母不为0）必可导．若两个函数必不行导，则它们的和、差、积、商不必定可导．比如，设f(x)sinx1、g(x)cosx1，则f(x)、g(x)在xxx0处均不行导，但它们的和f(x)g(x)sinxcosx在x0处可导．2．典范①判断以下求导能否正确，假如不正确，加以更正．答案：不正确．应为1cosxxsinx2cosx2x2x3注：uuvuv.vv2②求yx2sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.sin2xsin2x③求yx3在点x3处的导数．x23解：y1(x23)(x3)2xx26x3.(x23)2(x23)2④求ytanx的导数．解：ytanxsinx,ysinx(sinx)cosxsinx(cosx)1cosxcosxcos2xcos2x∴ysec2x.变式练习：求ycotx的导数．（答案：ycsc2x.）⑤求y1sin2x的导数．sin2x解：将函数变形为：1sin2xsin2xcos2xsin2x1cotx.y2sinxcosxtanxsin2x2∴y(tanx)1(cotx)sec2x1csc2x.22⑥求y3x2xx5x9的导数．x31解：y3x2x59x23113∴y3(x2)x59(x2)33x2109(1)x222注：有的函数固然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，而后进行求导．有时能够防止使用商的求导法例，减少运算量．3．应用①求曲线2x在点（1，1）处的切线方程．x21y回首导数的几何意义：函数yf(x)在x0处的导数就是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．解：yx2x,y2(x21)2x2x22x221(x21)2(x21)2220.即曲线在点（1，1）处的切线斜率k0.yx14所以曲线y2x在点（1，1）处的切线方程为y1.x21②曲线运动方程为st12t2，求t3时的速度．t2回首导数的物理意义：刹时速度是位移函数s(t)对时间t的导数：v(x)s(x).解：运动物体在t3时的速度即是函数s(t)在t3时的导数．s1214t.st312121126.∴t2t392727即运动物体在t3时的速度为1126.27（三）小结（归入知识系统）1．综合上节与本节可知：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算获得的简单的函数均可利用求导法例与