（北京专用）2023年高考数学总复习专题14推理与证明、新定义分项练习（含解析）理

PAGE1-专题14推理与证明、新定义1.【2022高考北京理第8题】以下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某顶峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如下图，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数〔假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等〕，那么20，30；35，30；55，50〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C2.【2022高考北京理第8题】点在直线上，假设存在过的直线交抛物线于两点，且，那么称点为“点〞，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．直线上的所有点都是“点〞B．直线上仅有有限个点是“点〞C．直线上的所有点都不是“点〞D．直线上有无穷多个点〔点不是所有的点〕是“点〞【答案】A【解析】试题分析：此题采作数形结合法易于求解，如图，设，那么，∵，∴消去n,整理得关于x的方程〔1〕∵恒成立，∴方程〔1〕恒有实数解，∴应选A.考点：创新题型.3.【2022高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀〞“合格〞“不合格〞.假设学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，那么称“学生甲比学生乙成绩好〞.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有〔〕A．2人B．3人C．4人D．5人【答案】B考点：合情推理，中等题.4.【2022高考北京理第8题】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.那么以下各数中与最接近的是〔参考数据：lg3≈0.48〕〔A〕1033〔B〕1053

〔C〕1073〔D〕1093【答案】D【考点】对数运算【名师点睛】此题考查了转化与化归能力，此题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.5.【2022高考北京，理8】汽车的“燃油效率〞是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.以下表达中正确的选项是〔〕

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D考点：此题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率〞的理解和对函数图象的理解.6.【2022高考北京理第14题】n次式项式.如果在一种算法中，计算的值需要k－1次乘法，计算P3〔x0〕的值共需要9次运算〔6次乘法，3次加法〕，那么计算P10〔x0〕的值共需要次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法：P0〔x〕=a0，Pk+1〔x〕=xPk〔x〕+ak+1〔k=0，1，2，…，n－1〕.利用该算法，计算P3〔x0〕的值共需要6次运算，计算P10〔x0〕的值共需要次运算.【答案】【解析】试题分析： 由题意知道的值需要次运算,即进行次的乘法运算可得到的结果对于这里进行了3次运算,进行了2次运算,进行1次运算,最后之间的加法运算进行了3次这样总共进行了次运算对于总共进行了次乘法运算及次加法运算所总共进行了次由改良算法可知：,,运算次数从后往前算和为：次考点：信息题。7.【2022高考北京理第13题】能够说明“设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，那么a+b＞c〞是假命题的一组整数a，b，c的值依次为___________.【答案】−1，−2，−3〔答案不唯一〕【考点】不等式的性质【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答此题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．8.【2022高考北京理第20题】〔本小题共13分〕集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．假设对于任意的，总有，那么称集合具有性质．〔Ⅰ〕检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；〔Ⅱ〕对任何具有性质的集合，证明：；〔Ⅲ〕判断和的大小关系，并证明你的结论．【解析】试题解析：〔Ⅰ〕集合不具有性质，集合具有性质，其相应的集合和是.〔Ⅱ〕证明：首先，由A中元素构成的有序数对共有个，应为，所以，又因为当时，，所以当时，.从而，集合中元素的个数最多为，即〔Ⅲ〕，，证明如下：〔1〕对于，根据定义，，且，从而.如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立，故与也是的不同元素，可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即.〔2〕对于，根据定义，，且，从而，如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与与也是的不同元素,可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，有〔1〕〔2〕可知，【备考提示】数学考试大纲提出：“创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现.〞命题时要设计“研究型，探索型或开放型的题目，让学生独立思考，自我探索，发挥主观能动性〞，新题型即创新型有较好的信度和效度，从而有较好的区分度，能充分考察学生的“创新能力和创造能力〞，因此，在近年高考题中经常出现，此题属于新定义型信息迁移题，解这类题的策略是：仔细阅读分析材料，捕捉相关信息，紧扣定义，围绕定义和条件，结合所学的数学知识和方法，通过归纳，探索，推理，发现解题方法，然后解决问题.9.【2022高考北京理第20题】〔本小题共13分〕对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列．对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．〔Ⅰ〕如果数列为5，3，2，写出数列；〔Ⅱ〕对于每项均是正整数的有穷数列，证明；〔Ⅲ〕证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．【答案】〔Ⅰ〕解：，，；，．，故．〔Ⅲ〕证明：设是每项均为非负整数的数列．当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，那么．当存在，使得时，假设记数列为，那么．所以．从而对于任意给定的数列，由可知．又由〔Ⅱ〕可知，所以．即对于，要么有，要么有．因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．即存在正整数，当时，10.【2022高考北京理第20题】(13分)集合Sn＝{X|X＝(x1，x2，…，xn)，xi∈{0,1}，i＝1,2，…，n}(n≥2)．对于A＝(a1，a2，…，an)，B＝(b1，b2，…，bn)∈Sn，定义A与B的差为A－B＝(|a1－b1|，|a2－b2|，…，|an－bn|)；A与B之间的距离为d(A，B)＝(1)证明：A，B，C∈Sn，有A－B∈Sn，且d(A－C，B－C)＝d(A，B)；(2)证明：A，B，C∈Sn，d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三个数中至少有一个是偶数；(3)设PSn，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P)，证明：.由题意知ai，bi，ci∈{0,1}(i＝1,2，…，n)．当ci＝0时，||ai－ci|－|bi－ci||＝|ai－bi|；当ci＝1时，||ai－ci|－|bi－ci||＝|(1－ai)－(1－bi)|＝|ai－bi|.所以d(A－C，B－C)＝＝d(A，B)．(2设A＝(a1，a2，…，an)，B＝(b1，b2，…，bn)，C＝(c1，c2，…，cn)∈Sn，d(A，B)＝k，d(A，C)＝l，d(B，C)＝h.记O＝(0,0，…，0)∈Sn，由(1)可知d(A，B)＝d(A－A，B－A)＝d(O，B－A)＝k，d(A，C)＝d(A－A，C－A)＝d(O，C－A)＝l，d(B，C)＝d(B－A，C－A)＝h.所以|bi－ai|(i＝1,2，…，n)中1的个数为k，|ci－ai|(i＝1,2，…，n)中1的个数为l.设t是使|bi－ai|＝|ci－ai|＝1成立的i的个数，那么h＝l＋k－2t，由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，即d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三个数中至少有一个是偶数．(3)d(A，B)，其中d(A，B)表示P中所有两个元素间距离的总和．设P中所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1，m－ti个0，那么d(A，B)＝．由于ti(m－ti)≤(i＝1,2，…，n)，所以d(A，B)≤.从而d(A，B)≤.11.【2022高考北京理第20题】假设数列：，，…，满足〔，2，…，〕，那么称为E数列。记.〔1〕写出一个满足，且的E数列；〔2〕假设，，证明：E数列是递增数列的充要条件是；〔3〕对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。是递增数列.综上，结论得证。〔Ⅲ〕令，那么，因为，所以因为，所以为偶数所以是偶数，所以要使必须使为偶数，即4整除，亦即或当时，E数列的项满足，有时，有，当时，E数列的项满足，当或时，不能被4整除，此时不存在E数列，使得12.【2022高考北京理第20题】〔本小题共13分〕设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零.记为所有这样的数表组成的集合.对于，记为的第行各数之和〔〕，为的第列各数之和〔〕；记为，，…，，，，…，中的最小值.〔1〕对如下数表，求的值；〔2〕设数表形如求的最大值；〔3〕给定正整数，对于所有的，求的最大值.那么，∴同理可知，∴由题目所有数和为即∴与题目条件矛盾∴．易知当时，存在∴的最大值为1〔3〕的最大值为.首先构造满足的：，.经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，.下面证明是最大值.假设不然，那么存在一个数表，使得.由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，那么.另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1〔即每个正数均不超过1〕，每个负数的绝对值不小于〔即每个负数均不超过〕.因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾.因此的最大值为。〔lbylfx〕13.【2022高考北京理第20题】〔本小题总分值13分〕对于数对序列，记，，其中表示和两个数中最大的数.〔1〕对于数对序列，求的值；〔2〕记为，，，四个数中最小的数，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和两种情况比拟和的大小；〔3〕在由五个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.(只需写出结论).【答案】〔1〕7,8；〔2〕无论还是，都有成立；〔3〕，，，，.试题解析：依题意，，.〔2〕，，当时，，因为，且，所以，当时，，因为，且，所以，所以无论还是，都有成立.〔3〕数对序列：〔4,6〕，〔11,11〕，〔16,11〕，〔11,8〕，〔5,2〕的值最小.，，，，.考点：新定义题型.14.【2022高考北京，理20】数列满足：，，且．记集合．〔Ⅰ〕假设，写出集合的所有元素；〔Ⅱ〕假设集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；〔Ⅲ〕求集合的元素个数的最大值．【答案】〔1〕，〔2〕证明见解析，〔3〕8〔Ⅱ〕因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，那么M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.〔Ⅲ〕由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知，和除以9的余数一样，①假设中有3的倍数，由〔2〕知：所有的都是3的倍数，所以都是3的倍数，所以除以9的余数为为3，6，3，6，,或6，3，6，3，或0，0，0，,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，那么M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项.②中没有3的倍数，那么都不是3的倍数，对于除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从起，除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，,不断