北师大版八年级数学下册 等腰三角形(提高)知识讲解 含答案解析

等腰三角形提高）知识解责编：杜少【习标1.了解腰三角形等边三角的有关概念,掌等腰三角的轴对称；2.掌握等三角形、边三角形性质，会利用这些性质进行简单的理、证明计算和作图．3.理并掌握等腰三角形三形的判定方法及其证明过.通定的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能.4.理解证法并能反证法推证明简单几何题.【点理要一等三形定腰角形有两条边相的三角形叫做等腰角形，其中相等的两条边叫做腰，一边叫做，两腰所夹的角做顶角，边与腰的角叫做底角.如图所示，△ABC，AB＝AC，△ABC等腰三形，其中AB、AC为腰BC为底,∠A是顶角，∠B、∠C是底角腰角形作已知线段a,b(如图).用直和圆规作腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.别以为圆心以b为半径弧，两弧相交于点A;3.接AB,AC.△ABC为所作的等腰角形腰角形对性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD，AD为底上的中线.1

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°为边上的高.结论等腰三角形是轴对称图形角分线底边上的高线或中)所的直线是它的对称轴边角形三条边都相的三角形做等边三形.也为正三角形.等三角形是类特殊的等腰三角形，有三对称轴，个角的平线(底上的高线中线所在的直就是它的称轴.要诠：（1）等腰角形的底只能为锐，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）∠A－2∠B，∠B＝∠C＝

.（2等边三角与等腰三形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形，腰三角形一定是等边三形【清堂389301等腰三形性及定知要】要二等三形性腰角的质性质1：等腰三形的两个底角相等，简“在同一三角形中等边对等角”．推论：等边角形的三内角都相，并且每个内角都等于60°.性质2等腰三形的顶角平分线、底边中线和高互相重合.称“等三角形三线合一”．腰角中要段的质等腰三角形两底角的分线（两上的高、两腰上的中线）相等.要诠：条性质，还可以推广到以下结论：（1）等腰三角形底边上的高上一点到两腰的距离相等。（2）等腰三角形两底边上的中到两腰的距离相（3）等腰三角形两底角平分线两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相.（4）等腰三角形顶点到两腰上高、中线、角平分线的距离相.要三等三形判定理1.等三形判定如果一个三角形有两个角相等么这个三角形是等腰三角.可以简单的说成一个三角形中，等角对等边要诠：要弄清判定定理的条件和结论不与性质定理混淆定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关.（2）不能说“一个三角形两底相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．2.等三形判定三个角相等的三角形是等边三角.有一个角是60°等腰三角形是等边三角.有30°的直三形定理：在直三角形中如果一个角等于30°，么它所对直角边等于斜边的一半.2

要四、证在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念基事实以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证.要诠：证法也称归谬法是种间接证明的方法一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：（1）假命题的结论不成立；（2）从个假设和其他已知条出发过理论证出与学过的概念本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；（3）由矛盾的结果，判定假设成立，从而说明命题的结论是正确.类一等三形的类论【清堂389301等腰三形性及定例2（11、等腰三角形一腰上的高与另腰的夹角为30°则顶角的度数()．ABC或150°D．60°120°【答案】；【解析】由等腰三角形的性质与角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意角的度数为60°(2)顶角为直角，一腰上的高是一腰，夹角为0°不符合题意；(3)顶角为钝角如图②，则顶角数为120°故此题应选．【总结升华题要考查了等三角形的性质记角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．举反：【清堂389301等腰三形性及定例2（2【变式】已知等腰三角形的周长为，一边长为3，求其余各边．【答案】解：(1)3为长时，则另一腰也为3底边长＝13－3－3＝7；为边长时，则两个腰长和13－3＝10则一腰长

．这样得两组：①3，3，7②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知3＋3＜7故不能组成三角形，应舍去．∴等三角形的周长为13，边长为3其余各边长为，5【变式】在△中，∠A=40°，当∠B=

时eq\o\ac(△,，)是等腰三角形．3

【答案】、70°或100°提示：分为两种情况：（1）当A是底角，①AB=BC根据等腰三角形的性质求出∠A=∠C=40°根三角形的内和定理即可求出∠B②AC=BC根等腰三角形的性质得到∠A=∠B=40°）当∠A是角时AB=AC根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠．类二等三形操题2、如图，请将下列两个三角形成两个等腰三角形标出每个等腰三角形的内角度数）【思路点拨等三角形的判定定理在左图中的边BC上取点DBD=AD即；在右图△中边AC上一D，使BD=CD即可．【答案与解析】解示BC上取点ADB=110°∠BAD=35°，如图（）示：在AC上取点D，使∠ABD=32°，∠CBD=16°，∠ADB=32°，∠BDC=148°．【总结升华本题考查了等腰三形的性质和判定角形的内角和定理等知识点关键是根据题意画出图形，注意应先确定等腰三角形的各个角的度数，再根据度数画出图形．举反：【变式•温州模拟）如图有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．4

【答案】解：如图1：直线把75°角分成25°角和的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；如图2，直线把120°的角分成80°40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．类型三、等腰三角形性质与判定的综合应用3春威期末中⊥BC为GEDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点，F（1）求证：是边三角；（2）求证：BE=AF．【思路点拨】（1）连BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=

×120°=60°再由，可出结论；（2）由△ABD是边三角形，出，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由证明△BDE≌ADF得BE=AF．【答案与解析】（1）证明：连接BD，∵AB=AC⊥BC∴∠DAC=∠BAC，∵∠BAC=120°，5

∴∠DAC=×120°=60°，∵AD=AB，∴△ABD是边三角形；（2）证明：∵△ABD是边三角形，∴∠ADB=60°，BD=AD∵∠EDF=60°，∴∠ADF，在△与△中，∴△BDE≌△ADF（ASA∴BE=AF．【总结升华本题考查了等腰三形的性质等三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．举反：【变式图在Rt△ABC中∠ACB=90°∠B=30°AD是BAC的分线DE于E，连接CE，则图中的等腰三角形有个．【答案】；提示：根据等腰三角形的判定，由已知可证BAD=∠CAD=∠B=30°，即证ADB是等三角形；又证，证CDE，△AEC是等腰三角形；再证ECB=∠B=30°，即证△BEC是腰三角形．即图中的腰三角形共有4个4、如图，Rt△ABC中∠ACB=90°，CD，垂足为D平分∠CAB，于点E，交于点F，求证：．6

【思路点拨根据三角形的内角定理得出∠CAF+∠CFA=90°∠FAD+∠AED=90°根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE根据等腰三角形的判定推出即可．【答案与解析】证明：∵∠ACB=90°⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∵AF平分CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF∴CE=CF．【总结升华题查了直角三形性质三角形的性质和判定角的内角和定理，关键是推出∠CEF=．举反：【变式图由9个边三角拼成的六边形已知中间最小的等边三角形的边长是a，则围成的六边形的周长为（）A.30aB.32aC.34aD.无计算【答案】；提示设右下角第二个小的等边角形的边长是剩下的个等三角形的边长是x；x；x+a；x+a；x+2a；x+3a根据题意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，即可求出围成的六边形的周长．类四含30°角的角角5、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°然后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆的高．【思路点拨根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠，再根据等角对等边的性质可得AD=CD后根据直角三角形30°角所对的直角边7

等于斜边的一半解答即可．【答案与解析】解：∵∠°∠，∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°，即△CAD为等腰三角形，∴AD=CD=13，在△ADB中，∵AB⊥DB，∠ADB=30°∴AB=

AD=．【总结升华题考查了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．举反：【变式】已知：如图，在Rt△ABC中∠C=90°∠BAD=

∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分，求证：CD=

DB．【答案】解：∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°∵DE是∠的平分线，∴∠3=∠4，又∵DE=DE，∴△BED≌△AED（），∴AD=BD，∠2=∠B，∵∠BAD=∠2=

∠BAC，∴∠1=∠2=∠B，∴AD=BD，又∵∠1+∠2+∠B=90°∴∠B=∠1=∠2=30°，在直角三角形ACD中，∠°，∴CD=

1AD=BD．2类五反法6、