解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法

解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法形成精准思维模式，快速解题♦类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线（或中线、角平分线）.如图，在AA^C中，AB=AC,AE±BE于点E,且/48£=ZABC.若BE=2,则BC.如图，在^ABC中，AB=AC,D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF.求证：DE=DF..如图，在AABC中，AC=2AB,AD平分/BAC交BC于点D,E是AD上一点，且EA=£。，连接EB.求证：EB±AB.二、构造等腰三角形

.如图，在448c中，BP平分/BAC,且AP±BP于点P，连接。。.若^PBC的面积为2,则4ABC的面积为（）A.3B.4 C.5 D.6.如图，已知4ABC是等腰直角三角形，/A=90°,BD平分/ABC交AC于点D,CE±BD,交BD的延长线于点E.求证：BD=2CE.♦类型二巧用等腰直角三角形构造全等.如图，在4ABC中，AC=BC,ZC=90°,D是AB的中点，DE±DF,点E,F分别在AC,BC上.求证：DE=DF.♦类型三等腰（边）三角形中截长补短或作平行线构造全等.如图，在"BC中，AB=AC,ZA=108°,BD平分/ABC交AC于点D.求证：BC

=AB+CD..如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE±AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD=DQ；(2)若4ABC的边长为1,求DE的长.【方法8】参考答案与解析.4.证明：连接AD.VAB=AC,D是BC的中点，「.NEAD=Z/AD.在^AED和^AFD'AE=AF,中，\ZEAD=ZFAD,.・.△AED^AAFD,.\DE=DF..AD=AD,.证明：过点E作EF±AC于点F.丁EA=EC,・AF=FC=2AC.VAC=2AB,・AF=AB.VAD平分/BAC,・ZBAE=ZFAE.又VAE=AE,・AABE^AAFE(SAS),AZABE=ZAFE=90°,・EB±AB..B.证明：如图，延长BA和CE交于点M.VCE±BD,・ZBEC=ZBEM=90°.VBD平分ZABC,AZMBE=ZCBE.又VBE=BE,AAMBE^ACBE,AEM=EC=2MC.VAABC是等腰直角三角形，AZBAC=ZMAC=90°,BA=AC,AZABD+ZBDA=90°.VZBEC=90°,AZACM+ZCDE=90°.VZBDA=ZEDC,AZABE=ZACM.又VAB=AC,AAABD义AACM(ASA),ADB=MC,ABD=2CE..证明：连接CD.VAC=BC,ZC=90°,D是AB的中点，ACD平分/ACB,CD±AB,AZCDB=90°,AZBCD=ZACD=45°,ZB=ZC=45°,AZACD=ZB=ZBCD,ACD=BD.VED±DF,AZEDF=ZEDC+ZCDF=90°.又VZCDF+ZBDF=90°,AZEDC=ZFDB,AAECD0AFBD,ADE=DF..证明：如图，在线段BC上截取BE=BA,连接DE.VBD平分/ABC,AZABD=ZEBD.又VBD=BD,AAABD义AEBD(SAS),AZBED=ZA=108°,AZCED=180°—ZBED=72°.又VAB=AC,ZA=108°,AZACB=ZABC=［义(180°—108°)=36°,AZCDE=180°—ZACB—ZCED=180°—36°—72°=72°.AZCDE=ZDEC,ACD=CE,ABC=BE+EC=AB+CD..(1)证明：过点P作PF〃BC交AC于点F,AZAFP=ZACB,ZFPD=ZQ,ZPFD=ZQCD.VAABC为等边三角形，AZA=ZACB=60°,AZAFP=60°,AAAPF是等边三角形，APF=PA=CQ,AAPFD义AQCD,APD=DQ.

(2)解：由(1)知△△尸尸是等边三角形，•••PELAC,^AE=

EF.由(1)知4PFDm△QCD，：.DF=CD，：.DE=EF^DF

=AF+1CF=2aC.又:AC=1,，DE=2.综合滚动练习:

平行四边形的性质与判定时间：45分钟分数：100分得分：一、选择题(每小题4分，共32分).在口ABCD中，若/A+ZC=120°，则/A的度数是( )A.100°B.120°C.80°D.60°.如图，在口ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，下列结论错误的是()A.AB//CDB.AB=CDAC=AC=BDOA=OC第2题图 第5题图TOC\o"1-5"\h\z.在平行四边形ABCD中，/A:/B:/C:/D的值可以是( )A.4：3：3：4B.7：5：5：7C.4：3：2：1D.7：5：7：54.平面直角坐标系中，已知ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,-1),C(一m，一n)，则点D的坐标是( )A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-1,-2)D.(-1,2)5.如图，口ABCD中，点E,F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE/△CDF，则添加的条件不能为( )A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.Z1=Z2.如图，在口ABCD中，BF平分/ABC交AD于点F,CE平分/BCD交AD于点E.若AB=6,EF=2,则BC的长为( )A.8B.10C.12D.14第6题图第7第6题图第7题图.如图，在口ABCD中，/B=80°,AE平分/BAD交BC于E,CF//AE交AD于F,则/BCF等于（ ）A.40°B.50°C.60°D.80°.（2017・龙东中考）在平行四边形ABCD中，/A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是（）A.22B.20C.22或20D.18二、填空题（每小题4分，共24分）.已知AB/CD,添加一个条件，使得四边形ABCD为平行四边形..如图，在口ABCD中，NC=40°,过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则/BEF的度数为.第10题图第第10题图第11题图.如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在Dj折痕为EF.若/BAE=55°，则/D./D=..如果平行四边形的一条边长是8,一条对角线长为6,那么它的另一条对角线长m的取值范围是 ..如图，在四边形ABCD中，AD/BC,点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点.已知AB=4,ZF=ZCDE，则BF的长为.第13题图 第14题图.★如图，口ABCD中，ZABC=60°,点E,F分别在CD和BC的延长线上，AE/BD,EF±BC,EF=有，则AB的长是.三、解答题（共44分）.（7分）如图，在四边形ABCD中，ZB=ZD,Z1=Z2,求证：四边形ABCD是平行四边形．

.(8分)如图，口ABCD中/BAD的平分线交BC于点E,且AE=BE，求口ABCD各内角的度数..(9分)(2017・湘潭中考)如图，在口ABCD中，DE=CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE/△FCE；(2)若AB=2BC,ZF=36°，求/B的度数..(10分)如图，口ABCD中，BD±AD,ZA=45°,点E,F分别是AB,CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于点O.(1)求证：BO=DO；(2)若EF±AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时，.（10分）★如图，AD为^ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F,且AE=FE.求证：BF=AC.［提示：延长AD到N,使DN=AD,构造平行四边形进行证明］参考答案与解析1.D2.C3.D4.A5.C6.B7.BC解析：设AE平分/A交BC于点E,在平行四边形ABCD中，AD//BC,则/DAE=ZAEB.VAE平分/BAD,.\ZBAE=/DAE,.\ZBAE=ZBEA,.\AB=BE.①当BE=3,EC=4时，AB=3,BC=7,.二平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2X(3+7)=20.②当BE=4,EC=3时，AB=4,BC=7,・••平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2X(4+7)=22.故选C.AB=CD(答案不唯一)

50°11.55°12,10<m<2213.41解析：由题可知/ECF=ZABC=60°,则NCEF=30°.设CF=x，则CE=2CF=2x.在RtACEF中，CF2+EF=CE2,即x2+3=（2x）2,解得x=1,则CE=2.VAE//BD,AB/DE，二四边形ABDE为平行四边形，,AB=DE.又：AB=CD,AAB=CE=1.证明：•・•/1+ZB+ZACB=180°,Z2+ZD+ZCAD=180°,/B=ZD,Z1=Z2,AAB/CD,/DAC=/ACB，,AD/BC.（5分）二四边形ABCD是平行四边形.（7分）解：•四边形ABCD是平行四边形，...AD/BC,/B=/D,AZAEB=/DAE.（2分）•「AE是ZBAD的平分线，AZBAE=ZDAE,AZBAE=ZAEB,AAB=BE.（4分）•「AE=BE，二△ABE是等边三角形，AZD=ZB=60°.（6分）;/B+ZC=180°,AZC=120°.AABCD各内角的度数分别是ZB=ZD=60°,ZBAD=ZC=120°.（8分）（1）证明：二•四边形ABCD是平行四边形，AAD/BC,AD=BC,AZD=ZECF.（2ZD=ZECF分）分）在^ADE和^FCE中・•・△ADE/△FCE（ASA）.（5分）〔ZAED=ZFEC（2）解：•・•△ADE/△FCE,AAD=FC.VAD=BC,AB=2BC,AAB=FB.（7分）AZBAF=ZF=36°,AZB=180°—2X36°=108°.（9分）（1）证明：V四边形ABCD是平行四边形，ADC/AB,AZODF=ZOBE.（2分）在ZODF=ZOBE△ODF与^OBE中，1ZDOF=ZBOE,/.△ODF/△OBE,（4分）ABO=DO.（5分）（2）解：VBD±AD,AZADB=ZGDO=90°.VZA=45°,AZDBA=ZA=45°.VEF±AB,AZG=ZA=45°,ZDOG=45°,AOD=DG.（7分）VAB/CD,EF±AB,ADF±OG,AOF=FG,△DFG是等腰直角