2022-2023学年内蒙古自治区包头市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)

2022-2023学年内蒙古自治区包头市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.

3.下列函数中，在x=0处可导的是（）

A.y=|x|

B.

C.y=x3

D.y=lnx

4.A.A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判定敛散性5.A.1B.0C.2D.1/2

6.

7.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

8.摆动导杆机构如图所示，已知φ=ωt(ω为常数)，O点到滑竿CD间的距离为l，则关于滑竿上销钉A的运动参数计算有误的是()。

A.运动方程为x=ltan∮=ltanωt

B.速度方程为

C.加速度方程

D.加速度方程

9.当x一0时，与3x2+2x3等价的无穷小量是()．

A.2x3

B.3x2

C.x2

D.x3

10.

11.（）。A.

B.

C.

D.

12.A.0B.2C.2f(-1)D.2f(1)

13.下列命题不正确的是()。

A.两个无穷大量之和仍为无穷大量

B.上万个无穷小量之和仍为无穷小量

C.两个无穷大量之积仍为无穷大量

D.两个有界变量之和仍为有界变量

14.（）。A.-2B.-1C.0D.2

15.

16.

17.设k＞0，则级数为()．A.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性与k有关18.设y=x＋sinx，则y=（）A.A.sinx

B.x

C.x＋cosx

D.1＋cosx

19.

20.

二、填空题(20题)21.y″+5y′=0的特征方程为——．

22.

23.24.设y=sinx2，则dy=______．25.函数f(x)=在[1，2]上符合拉格朗日中值定理的ξ=________。26.27.

28.

29.

30.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]的最大值为2，最小值为-29，又知a＞0,则a，b的取值为______.

31.

32.

33.

34.

35.设是收敛的，则后的取值范围为______．

36.

37.

38.39.

40.

三、计算题(20题)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

42.43.证明：

44.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

45.求曲线在点(1，3)处的切线方程．46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

47.

48.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则49.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．50.51.求微分方程的通解．52.

53.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．54.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

55.

56.

57.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

58.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．59.60.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．四、解答题(10题)61.求直线y=2x+1与直线x=0，x=1和y=0所围平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

62.设

63.求∫xcosx2dx。

64.

65.

66.设区域D为：67.

68.求∫sin(x+2)dx。

69.70.五、高等数学(0题)71.函数f(x)=lnz在区间[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D

2.A

3.C选项A中，y=|x|，在x=0处有尖点，即y=|x|在x=0处不可导；选项B中，在x=0处不存在，即在x=0处不可导；选项C中，y=x3，y'=3x2处处存在，即y=x3处处可导，也就在x=0处可导；选项D中，y=lnx，在x=0处不存在，y=lnx在x=0处不可导（事实上，在x=0点就没定义）.

4.C

5.C

6.C解析：

7.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

8.C

9.B由于当x一0时，3x2为x的二阶无穷小量，2x3为戈的三阶无穷小量．因此，3x2+2x3为x的二阶无穷小量．又由，可知应选B．

10.B

11.D由所给二次积分可知区域D可以表示为0≤y≤l，y≤x≤1。其图形如右图中阴影部分．又可以表示为0≤x≤1，0≤y≤x。因此选D。

12.C本题考查了定积分的性质的知识点。

13.A∵f(x)→∞；g(x)→∞∴f(x)+g(x)是不定型，不一定是无穷大。

14.A

15.D

16.A

17.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．

由于为莱布尼茨级数，为条件收敛．而为莱布尼茨级数乘以数-k，可知应选A．

18.D

19.D

20.B21.由特征方程的定义可知，所给方程的特征方程为

22.(12)23.024.2xcosx2dx本题考查的知识点为一元函数的微分．

由于y=sinx2，y'=cosx2·(x2)'=2xcosx2，故dy=y'dx=2xcosx2dx．

25.由拉格朗日中值定理有=f"(ξ)，解得ξ2=2，ξ=其中。

26.

本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程的求解．

27.本题考查的知识点为不定积分的换元积分法。

28.1/2

29.

本题考查的知识点为函数商的求导运算．

考生只需熟记导数运算的法则

30.

f'(x)=3ax2-12ax，f'(x)=0,则x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]中，故舍去.f''(x)=6ax-12a，f''(0)=-12a，因为a＞0，所以，f''(0)＜0，所以x=0是极值点.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因为a＞0,故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小.所以b-16a=-29，即16a=2+29=31，故a=.

31.

32.

33.1/21/2解析：

34.-ln(3-x)+C-ln(3-x)+C解析：35.k＞1本题考查的知识点为广义积分的收敛性．

由于存在，可知k＞1．

36.

37.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

38.0

39.本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

40.

41.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

42.

43.

44.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％45.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

46.

47.48.由等价无穷小量的定义可知

49.

50.

51.

52.

则

53.函数的定义域为

注意

54.

列表：

说明

55.

56.由一阶线性微分方程通解公式有

57.

58.由二重积分物理意义知

59.

60.

61.解：设所围图形面积为A，则

62.

63.

64.

65.66.利用极坐标，区域D可以表示为0≤θ≤π,0≤r≤2本题考查的知识点为二重积分的计算(极坐标系)．

如果积分区域为圆域或圆的一部分，被积函数为f(x2+y2)的二重积分，通常利用极坐标计算较方便．

使