2021-2022学年新教材人教A版选择性必修第一册 抛物线的简单几何性质 教案

第三章圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质教学设计一、教学目标掌握抛物线的简单几何性质，能利用简单性质求抛物线方程.理解抛物线简单几何性质的推导过程，体会数形结合的思想.能用抛物线的简单几何性质分析解决一些简单的问题.二、教学重难点1、教学重点抛物线的几何性质.2、教学难点抛物线的几何性质及其应用.三、教学过程1、新课导入前面我们已经学习了椭圆与双曲线，根据它们的标准方程，得到了椭圆与双曲线的简单几何性质.在上节课，我们已经学习了抛物线的定义和标准方程，那么类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程与方法，本节课就根据标准方程来探索抛物线的几何性质.2、探索新知1.范围因为p>0,由方程y2=2px可知，对于抛物线上的点M(x,y),x>0,ygR,当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时，丨yI的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.对称性以-y代y,方程y2=2px(p>0)不变，所以抛物线关于x轴对称.抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2=2px(p>0)中，当x=0时，y=0，因此抛物线的顶点就是原点.

4.离心率抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比罟，叫做抛物线的离心率，用e表示.由抛物线的定义可知，e=1.抛物线标准方程的四种形式及相关性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形M—rpF焦占八\、八、、仔,0)(-f,0)(0,f)(0,-彳)准线x=-p2x=22y=-—2y=—2顶点O(0,0)开口方向右左上下对称轴x轴y轴x的取值范围x>0x<0Ry的取值范围Ry>0y<0离心率e=1例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2,-2*2)，求它的标准方程.解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2,-2込),所以可设它的标准方程为y2=2px(p>0).因为点M在抛物线上，所以(-2运)2=2px2，解得p=2.因此，所求抛物线的标准方程是y2=4x.例2斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.解：由题意可知，p=2,2=i，焦点f的坐标为(1,0)，准线方程为x=-1.如图，设A(x,y),B(x,y),A,B两点到准线的距离分别为d,d.1122ABy+A』O\—X/X由抛物线的定义，可知IAF1=d=x+1，IBF1=d=x+1，A1B2于是IABI=IAFI+IBFI=x+x+2.12因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1,0)，所以直线l的方程为y=x-1•①将①代入方程y2=4x，得(x—1)2=4x，化简得x2—6x+1=0.所以x+x=6，IABI=x+x+2=8•1212所以线段AB的长是8.例3经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.解：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系xOy.1$10D/yk设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，①/、点A的坐标为与,y(y丰0)(2p0丿0则直线OA的方程为y=—^-x，②yo抛物线的准线方程是x=-彳•③联立②③，可得点D的纵坐标为因为焦点F的坐标是因为焦点F的坐标是］-,0}当y2丰p2时，直线AF的方程为y二旦每•④联立①④，消去X,可得yy2-(y2-p2)y一yp2=0，即(y一y)(yy+p2)=0，00000可得点B可得点B的纵坐标为，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于X轴.当y2=p2时，易知结论成立.所以，直线DB平行于抛物线的对称轴.例4如图，已知定点B(a,-h)，BC丄X轴于点C,M是线段OB上任意一点，MD丄x轴于点D，ME丄BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程.解：设点P(x,y)，M(x,m),其中0<x<a，则点E的坐标为(a,m).由题意，直线OB的方程为y=-hx，①ah因为点M在OB上，将点M的坐标代入①，得m=--x，②a所以点P的横坐标x满足②.直线OE的方程为y=mx，③a因为点P在OE上，所以点P的坐标(x,y)满足③.将②代入③，消去m，得x2=-巴y(0<x<a)，即点P的轨迹方程.-3、课堂练习

1.已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的标准方程是()A.y2=-11xB.y2=11xC.y2=-22xD.y2=22x答案：C解析：在方程2x-4y+11=0中，令y=0，得x=-—，•.抛物线的焦点为F-11,。，2I2丿抛物线的标准方程是y2=-22x，故选C.2•抛物线x2=4y上一点P到焦点的距离为3,则点P到y轴的距离为()A.2、2B.1C.2D.3答案：A解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y=-1.根据抛物线定义，得yp+1=3，解得yp=2，代入抛物线方程可得x#=±2/2,.•.点P到y轴的距离为^2.故选A.3.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为.解析：由y2=解析：由y2=4xy=x-3消去y得x2-10x+9=0，得x=1或9,即J"=1或Jx=9，所以Iy=-2Iy=6IAP1=10，IBQ1=2或IBQ1=10，IAP1=2，IPQ1=8，所以梯形APQB的面积10+10+2248.4•已知焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上有一点A(m,2*Q)，若以A为圆心，|AF|为半径的圆A被y轴截得的弦长为2送，则m=答案：2解析：T点A(n,2<2)在抛物线y2=2px上，.2pm=8，.p=m.抛物线的焦点F.抛物线的焦点F上，0［，即F"由抛物线定义知1AF-m+2=m+Z,2m2即圆A的半径r=m+-，:点A到y轴的距离d=mm(2、2即m+—一m2=5，解得m=2(m=-2舍去).Im丿4、小结作业小结：本节课学习了抛物线的简单几何性质及其应用.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计3.3.2抛物线的简单几何性质范围：因为p>0，由方程y2=2px可知，对于抛物线上的点M(x,y),x>0,ygR，当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时，丨yI的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.对称性：以-y代y，方程y2=2px(p>0)不变，所以抛物线关于x轴