从一道课本例题说起

从一道课本例题“证明”说起云浮市邓发纪念中学：丁胜锋摘要：本文从人教版《数学》（选修2-2）课本中的例题“证明：”为基础，讲述了怎样用构造函数来证明不等式问题以及对于函数不等式，我们怎么构造函数来证明函数不等式.关键词：不等式，函数最值、导数人教版《数学》（选修2-2）第87页“直接证明与间接证明---分析法”内容中有这样一道题目：求证.这是一道比较简单的不等式的证明，教材的意图是想通过这道题目来说明直接证明不容易，根据不等式的特点，寻求成立的充分条件，从而让学生掌握分析法证明的基本思想和操作方法.我们很多老师在实际教学中也就是按照课本上的方式处理问题，然而，学生或多或少会产生疑问，这道题除了分析方法外，难道就没有其它的方法？笔者从函数的观点来证明不等式问题.函数思想是高中数学课程的主线之一，其关键是将问题化为函数或函数图像的语言进行描述，然后用函数性质加以解决.而高中阶段函数性质有单调性、奇偶性、周期性、最值和极值等.对这些性质的研究可以用导数这个工具.为了证明上述不等式，我们可以将其转化为的证明，由其特征和数量关系，构造函数（），则转化证明.因为，因此函数在区间单调递减，所以右边显然成立，即问题得证.另外，从函数的凹凸性的角度来看，由于函数（如图1）是凸函数，根据不等式有.我们取，得到不等式的证明.例：若,且（其中为自然对数），证明.分析，要证明，由上述等价不等式的结构，要证明不等式我们可以考虑构造函数（），通过研究函数的性质来证明.而，当，，因此函数在单调递减，又因为，所以有，即，因此有.另，本证明题通过构造函数后可以通过中值定理来证明.思路如下：，故在区间上有，其中，因为，故，从而，于是有，因此有.推广：若，，且，则例：对任意正实数，有，当且仅当等号成立.分析：因为要证明只要证.因此可以构造函数，求导可得.很显然当时，函数有最小值，即对任意，都有，此时若另代入整理后即有成立.推广：若()，证明当且仅当时等号成立.上述的例子中都是通过构造函数来解决不等式的问题，但如何恰当的构造函数，这需要根据题目本身的结构来构造，有时候我只需根据题目的原型结构来构造，有时候需要适当的变形，但具体选择那种方式来构造，这需要根据题目本身来决定.下面我们通过一个例子来多角度的说明怎样构造函数.（2022年课标全国乙卷理科21题）设函数，曲线在点处切线的方程为（1）求值;(2)证明：试题分析：试题（1）问不难，主要是考察导数的几何意义，函数在一点处的切线方程，若学生对切线概念充分理解的基础上，只要能准确求导，可以解决第(1)问.但第(2)问中函数不等式对大多数学生设置了门槛，这个门槛主要是导函数的零点不好求，因此需要对函数不等式做适当的变形后再构造函数来处理.方法一：由(1)知，从而等价于①分析不等号两边，发现不等式两边都是关于的函数，因此我们构造两个函数，分别求出这两个函数的最大值与最小值进行比较来证明.现令，，显然函数在有最小值，因此对任意，都有.同理构造函数（），可以证明函数当时有最大值，即对任意，，因此很显然有.方法二:由(1)知，从而等价于.------------------------②由的展开式，可知，当且仅当时等号成立.因此，由，令，，----------------------------------------------------------------------③当且仅当时等号成立.将③化简整理得所以当时，，即方法三：由(1)知，从而等价于因此，由，令，，当且仅当时等号成立.将③化简整理得，当且仅当时取等号.所以当时，，即以上三种证明方法我们发现方法1，要证明不等式，实际上基于的最小值为和（）最大值为而设计的,因此这让我们老师在教学过程需要替学生归纳幂函数与指数的组合函数、幂函数与的组合函数，如：，、,,等等.方法二、三要证明不等式是基于不等式来考虑的，当然的证明我们可以通过构造函数来证明，也可以用《数学分析》中的展开式来证明.其实也让我们理解到它的一些变形式，如：、等等.变式：已知函数，若与在同一点处有相同的极值，求实数的值.若对一切，有不等式恒成立，求实数的取值范围；记，求证：.因此关于不等式还是函数不等式的证明，我们可以通过题目本身的结构特点来构造函数，通过研究函数性质来加以证明.为我们提供了解决不等式的一个有力的工具.但我们在构造函数时，又会出现构造的函数“好”“坏”直接影响解题成败，一般来说，应尽可能的构造较为简捷且很容易求出导函数零点的函数，要做到这一点，需要我们熟悉初等函数之间的组合.参考文献[1]中学数学证明方法【M】吴振奎辽宁人民出版社，1985.[2]数学分析，【M】,华中师范大学数学系，高等教育出版社，2022[3]一道课本例题的多视角探究，王健，中学数