2021年1月中学生标准学术能力测试THUSSAT数学试题含答案

第第#贞共8贞22.解:(1)f\x)=a2严-点，则/(l)=«2etf-|=e-|……2分当x=l时，/(l)=^-l=e-l.所以切点坐标为(1上一1)，则切线方程为y=(x-l)+e-l,即尸x~4分记g(x)二2於辰7,・・・a>o,・・g(x)在(0,+00)单调递增，iBp(x)=ex-ex,p(x)=ex-e=0=>x=l,当x>l时，p(x)>0,p(x)单调递增:当OSxv1时，p(x)<O,p(x)单调递减，.•.p(x)>p(l)=e'-e=O,有ex>ex.故有eM>eax……6分>0,3:.g(x)>2a2^(eax)-\=leax2-1*町得&>0,乂・・・g(O)=-lvO,.・g(x),存在唯一正根/,使得:g“)=0,且在(0,/)上g(x)vO,在(/,2)上g(x)>0,在xw(O,/)时，/(x)<0,在XG(血+8)时，/(x)>0・且/(r)=0,即/'(X)存在唯一正根儿故/（x）定有极小值点Xo=/•……8分由g（x（））=0,町知0（兀）=2矿庙严“_1=0,.・.4严=—^j=又v/(x)=ae<w-7x存在零点XpX^Xj<x2),••・0=2氏2严一1>131冷亠血•启I，可得0s＜换•9分&&第*页共第*页共8页22.解:(I)/⑴二"，严-点，则/0)=«2^-|=^-|……2分当x=l时./(1)二必“一1之一1,所以切点坐标为(Le-1),则切线方程为y=[e则切线方程为y=[e-\\/丿一(x-l)+e-L即尸e——2idg(x)=2/依严一1,va>O;g(x)在(0,+oo)单调递增,iBp(x)=ex-ex9p(x)=ex-e=0=>x=l9当x>l时，p(x)>09p(x)单调递澈当OSxv1时，p(x)<09p(x)单调递减.•••p(x)np(l)=d-0=0.有ex>ex•故有^>eax……6分>0,3>0,.-g(x)>2a2^(eax)-\=2ea'x2-\9乂vg(O)=-l<O,.\g(x),存在唯一正根匚使飪g(/)=0.IL在(0丿)卜・g(x)vO.在仏+oo)卜.g(x)>0・在xw(Oj)时,/(x)<0,在xw(/,+8)时，/(x)>0,且/(r)=0,即/(X)存在唯-正根故/(X)定有极小值点Xo=/•……8分由g(xo)=O,uj■知g(xo)=20庙严“_1二0,.・.4严=di真又•••/(x)=a严-仮存在零点X],x2(x,<x2),/(x0)=a严-氏加-氏=J彩v°，即％>*，••・0=2氏2••・0=2氏2严一1>冷亠血・E，可得0・<换9分山题可得a严=丘'/严二寸石，将两式相除可得=2aifir(x)=ex-x-1,令r(x)=eJ-l=O=>x=lf当x>0时，r(x)>O,r(x)单调递增：当xvO时.r(x)<O,r(x)单调递减.则r(x)>r(O)=e(>-O-l=0,即/>x+l10分eult,rJ=2ajx&>I+<7(X|-X。)>y/2ea+a(x)-x0)••••a>0,.・.l/2e+(xl-x0)<2&傀,e>2>磊2w>¥=>>/2e+-x0)<V2e+(斗一x°)v2&、心,*.*2Jx[Xo—2X|+—+(X]—x0)<2x)+,即有：2X|+3.Vq>312分第第7贞共8页22.解：(1)f'(x)=a2严-走，则/(l)=«2etf--=e--2分当X=1时.f(\)=ael,-\=e-\9所以切点坐标为(Le-1),则切线方程为e——(x-l)+e-l•则切线方程为e——(x-l)+e-l•即V=记g(x)=2/J7严一1,va>0,.・・g(x)在(0,+oo)单调递增，idp(x)=ex-extp(x)=ex-e=0=>x=l,当x>l时，p'(x)>0,p(x)单调递增:当OSxv1时，p(x)<O,p(x)单调递减，.•./?(x)>p(l)=e'-e=O,有ex>ex»故eat>eax……6分3(4}:.g(x)>la~4x(eax)-1=2eax2-I*町得&\[2e^a2>°*乂・・・g(O)=-lvO,.・g(x),存在唯一正根/,使得：g(/)=0.IL在(0,/)上g(x)<0,在(/,+oo)f:g(x)>0・在xw(O,f)时，/(x)<0,在xw(f,+8)时，f(x)>0,且/(r)=0,即/'(x)存在唯一止根f,故/(X)定有极小值点X