专题09二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题(解析版)

P是/AOB内一点,P是/AOB内一点,2.垂线段最短;专题09二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题最短路径思路点拨:1.两点之间，线段最短;(1)单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置.如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值.作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P'、P','连接P'P'与动点所在直线的交作图方法：作已知点点M、N即为所求.PAPBPAPB3.若A、B是平面直角坐标系内两定点， P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时,最大，最大值为线段AB的长(如下图所示)；

P'P'「 I ■O x•面积存在性问题利用三角形面积计算方法(铅垂高水平宽法或底乘高法或割补法等)列出方程求解•平行四边形存在性问题图形条件结论匕iDXABCD为平行四边形A(xa,yA)、B(xb,yB)、C(xc,yc)、D(xd,yD)xa+xc=xb+xdyA+yc=yB+yDifC题型一、单动点周长最短及面积存在性问题(2019•四川凉山州中考)如图，抛物线 y=ax2+bx+c的图象过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P,使得APAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及APAC的周长；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点 M(不与C点重合)，使得Szpam=S/ipac?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.TOC\o"1-5"\h\z【解析】解：(1)二.抛物线y=ax，bx+c的图象过点A(-1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3),abc0 a1c3 ,解得：b29a3bc0 c3•.抛物线解析式为y=-x2+2x+3.(2)如图，连接PB、BC•・•点P在抛物线对称轴直线x=1上，点A、B关于对称轴对称，PA=PB,CzPAc=AC+PC+FA=AC+PC+PB・•・当C、P、B在同一直线上时，PC+PB=CB最小，由勾股定理得：AC=M,BC=372,Czpac的最小值为：1AC+3右,设直线BC解析式为y=kx+3把点B代入得：3k+3=0,解得：k=-1直线BC的解析式为：y=-x+3,-yp=-1+3=2••点P(1,2)使APAC的周长最小，最小值为祈0+372.(3)存在满足条件的点M,使得S>ap\m=Sapac.,Sap\m=Safac••点C和点M到直线PA距离相等CM//FA,,.A(-1,0),P(1,2),可得直线AP的解析式为：y=x+1,

，可得过点M与直线AP平行的直线解析式为：y=x+3或y=x—1,（即点x1C),（即点x1C),联立 2yx2x点M坐标为（1,4),y或联立yx1x22x1 17点M坐标为（1,4),y或联立yx1x22x1 1721 172（在x轴下方，舍去），1 17F,1712综上所述，点M的坐标为：（1,4)或1 1722.（2019四川达州中考）如图,抛物线y=-x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.①抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点;②若点M(-2,yi)、「 1 、」点N一,y2、点p2（2,y3）在该函数图象上，则yi<y2Vy3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为 y=-（x+1）2+m；④点A关于直线x=1的对称点为C,点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长其中正确判断的序号是【答案】①③④.【解析】解：①把y=m+2代入y=-x2+2x+m+1中，得x2-2x+1=0,=△=4—4=0,此方程两个相等的实数根，则抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点，所以①正确;②;抛物线的对称轴为x=1,

••点P(2,y3)关于x=1的对称点为P'(0,y3),a=—1<0,•・当x<1时，y随x增大而减小，2<0<1,点M(-2,yi)、点N(-,y2)、点P'(0,V3)在该函数图象上,2 2y2<y3<yi,所以②错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为:y=-(x+2)2+2(x+2)x+m+1—2,即y=—(x+1)2+m,所以③正确;④当m=1时，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+2,・•.A(0,2),C(2,2),B(1,3),作点B关于y轴的对称点B'(-1,3),作C点关于x轴的对称D、E点，如图,点C'(2,-2),连接B'C',与xD、E点，如图,CJCJ则BE+ED+CD+BC=B'E+ED+C'D+BC=BCBC,根据两点之间线段最短，知 BC最短，而BC的长度一定,，此时，四边形BCDE周长=B'C'BC最小，为：JB'M2—C'M2JbM2—CM2^34所以④正确；故答案为：①③④.(2019山东潍坊中考)如图，直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点，点P是y轴上的一个动点，当年B的周长最小时，S/1PAB=.

【解析】解：联立yx12yx4x5-x1,x4解得，或，y2y5【解析】解：联立yx12yx4x5-x1,x4解得，或，y2y5.・•点A的坐标为（1,2）,点B的坐标为（4,5）,•.AB=3s/2,作点A关于y轴的对称点A',连接AB与y轴的交于P,则此时APAB的周长最小,点A的坐标为（-1,2）,点B的坐标为（4,5）,设直线AB的函数解析式为y=kx+b,4kb35135直线AB的函数解析式为y=35135一，13当x=0时，y=一,513即点P的坐标为（0,—）

将x=0代入直线y=x+1中，得y=1,••.直线y=x+1与y轴的夹角是45°,点P到直线AB的距离是：(13-1)Xsin45°=4^2,

5 5・•.△PAB的面积是：-372空2=12,2 5 5故答案为：12.5题型二、利用特殊角将线段转化求解最短路径4.(2019天津中考)已知抛物线4.(2019天津中考)已知抛物线yx2bxc(b、c为常数，b>0)经过点A(—1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动点.(1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；(2)点D(b,yD)在抛物线上，当AM=AD,m=5时，求b的值;(3)点- 1 Q(b—,yQ)在抛物线上,2(3)点- 1 Q(b—,yQ)在抛物线上,24【答案】见解析.【解析】解：2(1)「yxbxc经过点A(-1,0),1+b+c=0,即yx2bxb1b=2,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 .\o"CurrentDocument"yx2x3=x1 4即抛物线顶点坐标为(1,—4).⑵•・•点D(b,yD)在抛物线yx2bxb1上,••yD=-b—1,由b>0,知一b-1<0, b・・•点D在第四象限，且在对称轴x=-的右侧，2过D作DE^x轴于E,E(b,0),，AE=b+1,BE=b+1,即AE=BE,ADE=/DAE=45°,•.AD二衣AE,由AM=AD,m=5,得：5-(-1)=72(b+1),解得：b=3\2—1.(3)二.点Qb(3)二.点QbyQ 2r- 1即Qb,2(b—,yQ)在抛物线yxbxc上,234，b3一一，24•••b>0, Q点在第四象限,2AM2QM2 2AMQM2所以只要构造出—AMQM即可得到J2AM2QM的最小值2取N(1,0),连接AN,过M作MG±AN于G,连接QM,如图所示，AAGM为等腰直角三角形,GMm/aM,即当G、M、Q三点共线时，GM+MQ取最小值，即J2AM2QM取最小值,此时4MQH为等腰直角三角形, bQM=2QH=、2-3,GM=^AM=^m bQM=2QH=、2-3,GM=^AM=^m•••2AM2QM2 2AMQM=2 222•••QH=MH,••联立①②得:b27m=—43,1 …b—=b—m,解得：m=—4 2 2,b=4.即当..2AM2QM的最小值为丝二时，b=4.4题型三、最短路径与平行四边形存在性问题5.(2019湖北荆州中考)如图，在平面直角坐标系中,5.(2019湖北荆州中考)如图，在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A,C的坐标分别为(6,0),(4,3),经过B,C两点的抛物线与 x轴的一个交点D的坐标为(1,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)若/AOC的平分线交BC于点E,交抛物线的对称轴于点F,点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标;⑶在(2)的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H,点M,N分别为抛物线及其对称轴上的动点,是否存在这样的点M,N,使得以点M,N,H,E为顶点的四边形为平行边形？若存在，直接写出点坐标，若不存在，说明理由875a875a【答案】见解析.【解析】解：(1)二.平行四边形OABC中，A(6,0),C(4,3)bc=oa=6,BC//x轴

・•.xb=xc+6=10,yB=yc=3,即B(10,3)设抛物线y=ax2+bx+c经过点B、C、D(1,0)1491314913916a4bc3,解得:abc0.•・抛物线解析式为y=1x2+14x13.9 9 9(2)如图，作点E关于x轴的对称点E',连接E'F交x轴于点P,(2)如图，作点C(4,3)由勾股定理得：OC=5,•••BC//OAOEC=ZAOEOE平分/AOCAOE=ZCOEOEC=ZCOE,-.CE=OC=5••Xe=xc+5=9,即E(9,3)「•直线OE解析式为y=-x3,•,直线OE交抛物线对称轴于点F,对称轴为直线：x=7,••F(7,7)3•・•点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上E'(9,—3),PE=PE'

，当点F、P、E'在同一直线上时， PE+PF=PE'+PF=FE'最小设直线E'F解析式为y=mx+n,，直线E'F:8〜y=-x+213832198当一x+21=3。时，解得:63x=8・・・当PE+PF的值最小时，点，直线E'F:8〜y=-x+213832198当一x+21=3。时，解得:63x=8・・・当PE+PF的值最小时，点N,使得以点M,N,H,E为顶点的四边形为平行四边形.(3)存在满足条件的点 M,AGO=90°AG2+OG2=OA2(6-t)2+(-t)2+t2+(-t)3 32=62，解得：tl=0(舍去),t2=27设直线AG解析式为y=dx+e可得：直线AG:y=-3x+18,当y=3时，-3x+18=3,解得:x=5H(5,3),E(9,3)设M(x,v),N(7,s),①当四边形HEMN为平行四边形时,

有：5+x=9+7,… 20解得：x=11,y=一；9②当四边形HENM为平行四边形时,有：5+7=9+x,20解得：x=3,y=——；9③当四边形HNEM为平行四边形时,有：5+9=x+7,解得：x=7,y=4,20 20综上所述，点M的坐标为：(11,——)，(3,—)，(7,4).题型四、面积最值问题及周长最值问题6.(2019山东东营中考)已知抛物线 y=ax2+bx—4经过点A(2,0),B(—4,0)与y轴交于点C,(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂直为D,M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G,△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由 .图1 图2【答案】见解析【解析】解：(【解析】解：(1)将A、B两点坐标代入y=ax2+bx-4得:4a2b416a4b412，抛物线的解析式为： y-x2x4.2(2)连接BC,过点P作PD，x轴交BC于点D,如图,由题意知，AB=6,OC=4,设直线BC的解析式为y=kx+m,得:m4 m44k得:m4 m4即直线BC的解析式为：y=—x—4,12设P(n,-nn4),则D(n,—n-4),S四边形ABPC=SaABC+SaBCP=1XABXOC+1XPDXOBTOC\o"