学习概率论与数理统计lec146up

第四节的独立一、的相互独立二、独立试验序列概型

P(B|A)P(P(一般地，P(B|A)问：在任何情形下，式子P(B|AP(B)5个球(3绿2红)，每次取出一个，则 P(BA)3P(5

设A,B是两,如果满足等P(AB)P(A)P(则称A,B相互独立,简称A,B独立它表示A的发生并不影响B发生的可能性大小 注1º若P(A)0,这说明，在有些情形下，A的发生对PA0，

P(BA)P(B)P(AB)P(A)P(说 A与B相互独立,是指A的P(B P(AB)P(A)P(B) B发生的概率无关2º独立与互斥的关系

又如PA

1,P(B)

B 相互独立P(AB)P(A)P( 则P(AB) 互 AB P(A)P(B)1 例 若P(A)

1,P(B)1

PAB)PA)P PABP1

由此可见

PA0,PB0A与BA与B相容不互斥),或A与B互斥A与B不独立.若A与B独立PABPA)P故AB

BP(AB) A与B不互斥(相容必然及不可能与任何

若A与B相互独立,则以下三对相互独立证∵A=A,∴P(A)=P(A)=1•P(A)=P()

①A②A③A

注称此为二的独立性∵A=,∴P(A)=P()=0=P()

AAABBABP(A)P(AB)P(P(AB)P(A)P(又∵A与B相互独立 1P(AUP(AB)P(A)P(P(A)P(A)P(

1[P(A)P(B)P(P(A)[1P( 1[P(A)P(B)P(A)P(P(A)P(ABAU (对偶律

[1P(A)]P(B)[1P([1P(A)][1P(P(AB)P(AU 1P(AUP(A)P(B例1甲,乙两人同时向敌人击,已知甲敌的概率为0.6, 依题设 P(A) P(B)解设A={甲敌机C={敌不则C

P(C)P(AB)P((10.6)(10.40.5响乙敌机的可能性，所以与独立,因而A与B多个的独立定义设A,B,C是三个,如果满足等P(AB)P(P(BC)P(B)P(CP(AC)P(A)P(C

定义设A,B,C是三个,如果满足等P(AB)P(P(BC)P(B)P(CP(AC)P(A)P(CP(ABC)P(A)P(B)P(C则称A,B,C两两相互独立 则 A,B,C相互独立3n个的独立 A1,A2,…,An相互独定义若A，A，…，A中任意两 A1,A2,…,An两两相互独立. PAAPA)PA 共CnCn

i

(11)nC0 2n1n个式子 时染上红、白、黑三种颜色.现以A,B,C分定 设A1，A2，…，An为n 记投一次四面体出现红,白,黑颜色朝下 若对于任意k(2≤k≤n1≤i1i2···<i有PAAAPA)PA)PA

问, 由于在四面体中红白黑分别出现两面1i

因此PAP(BP(C A2…

又由题意知PABP(BC

P(AC)4PABPA)P(B1 （4）两个结论 1. A,A,·,A(n2)相互独立,故 P(BC)P(B)P(C)4 P(AC)P(A)P(C)1

其中任意k 也是相互独立·2.若n A,A ,A(n2)相互独立· A,B,C两两独立. 则将A1,A2,·,An中任意多个 换成它们的对立,所得的n个仍相互独立.(独立性关于由 P(ABC)11P(A)P(B)P(C 逆运算封闭 因此A、B、C不相互独立结论的应 n个独立和的概率 例3若每个 的概率为 A1,A2,…, 互立,

P(A1UA2

)1P(A1UA2U…UUU

{第i个人的含有肝炎1P(A1)P(A2)…P(An i1,·,A,A,…, B{100个人的混合中含有肝炎 则P(Ai)即n个独立至少有一个发生的概率等

依题设，A1A2·,A100相互独P(B)P(A1UA2U·U

的独立性在可靠性理论中的应用1P(

U

U·U

工作的概率1P(A1A2·例41P(A1)P(A2)·P(1[1P(A11(10.004)1001(0.996)100的可靠性为r如果一个系统由① …

系统

②

∵每条通路正常工作通 系统

而系统Ⅰ正常工作 Ai{第i个元件正常工作},PAi

i1,· ① …B1系统Ⅰ正常工作B2={系统Ⅱ正常工作

系统

②

P(C)P(A12·AnP(A)P(A)·P(A)

系统Ⅱ正常工作 的每对 PD)PAn1An2·A2n B2系统Ⅱ正常工作P(An1)P(An2·P(A2n) (AU )(AU ·AUA ∴系统Ⅰ正常工作的概率:P(B1)P(CU

:P(AiUAni)P(Ai)P(Ani)P(AiAniP(Ai)P(Ani)P(Ai)P(AniP(C)P(D)P(C)P( r(2r).(i1,·,rnrnrnrn2rn

…

P(B2)P(A1UAn1)P(A2UAn2)·P(AnUA2n[r(2r)]nrn(2r)n(2)

二、独立试验序定义(独立试验序列设{Ei}(i=1,2,…)是一列随机试验Ei的样本空间为i,设Ak是Ek中的任一,Akk,若Ak发fxxn(n2)，:0r f(x)n(n1)xn20(x2rn2rn故曲线yfx)是凹的，从f(2r)f(r)f((2r)r)f(1)P(B2)P(B1 (2r)nrn1亦即(2r)n22的概率都不依赖于其它各次试验Ei(ik)的结果则称{Ei是相互独立的随机试验序列,简称独立试验序列例5从1,2,10个数字中任取一个，取后还原，解令Am表示此k个数字中最大者不大于m m P(Am)10 显然，AmAm1BmAmAm1，则PBm)PAmPAm1mkm1k

每次试验的可能结果只有两个A或PApPA)1(10 10 实例1抛一枚硬币观察得到正面或.若将硬币抛n次,就是n重试验.实例3球在盒中的分配问题

解易知，PA1PA11 设En:观察n个球是否投进某一指定的盒中,n P(B)Cm[P(A)]m[P(An设有n个球，N个盒子 Cm(1)m(11)nm n (Cmpm(1p)nmCmpmqnm B某指定盒中恰有m

推导如下若X表示n重试验中A发生的次数定理如果在试验中，A发生的 则X所有可能取的值为概率为p(0<p<1),则在n次试验中， 0,1,2,·,n.P(k)Ckpk(1p)nkCkpkqnk

Xk(0kn时即An次试验中发生了k次

A

AA·A(k0,1,2,·,n;q1n

k nk Pn(k)k

AA·k1

AA· AAnk1

Ck种 例6设某考卷上有10道选择题，每道选择题有4n

可供选择的答案，其中一个为正确答案，今有一考生仅会做6道题，有4道题不会做于是随意填因此A在n次试验中发生 写，试问能碰对m(m=01234道题的概率Ckpk(1p)nk记q1 Ck 解设Bm表示4道题中碰对m道题这一事实, m1m3 P(Bm)C4()( (m0,1,2,3, .记为X~B(n, P(B)0103 C4(4)(4 同理PB10.422PB2P(B3)0.048，P(B4) 例7一个人开门，他共有n把，其中仅有若X表示试验中A首次发生的次数,则X1,2,·当Xk,即A首次在第k次出现

则试验总共进行了k次,前k1次均是A发生,第 解令Bk表示第k次打开门, 次A发生.BkA1A2·Ak1Ak 若以B记这 ,以A(i1,,·,k P(B)(1)k k1, 第i次试验中发生,

P(B)P(A)·P(A)P(A)(1p)k1 k 内容小1.A,BPAB)PA)P3.设A1,A2,·,An相互独立,P(AUAU·UA)1P(AUAU…UAB,C12n12nP(AB)P(P(BC)P(B)P(CPAC)PA)P(C 4.

1P(A1)P(A2)…P(AnnCknP(ABC)P(A)P(B)P(C2.重要AB相互独立ABABAB相互独立5.几何分布(1p)k1 习例1‐1设A,B相互独立，且两个仅A发生的概

例1‐2假设PA0.4PALB0.7在以下情况下求PB): (1)A,B不相容；(2)A,B相互独立;(3)A 由A,B独立，知A,B独立，A,B独立 P(AB)P(A)P(B)1/P(AB)P(B)P(A)1/

解1）因为A，BP(B)P(ALB)P(A)0.70.4(2)AB相互独立P(A)P(A)P(B)P(A)P( P( P(ALB)P( P(A)P(PB)PB)P(A)PB)P( 0.70.40.4P 得PB)P(A) PB), (3)因为AB，所以BALB,由此得由PA)PA)PB)PA)P(A))214P(A)P(B)1/

P(B)P(ALB)例2‐1设一个口袋里装有四张形状相同的卡片.在 证(1)P(A)21P(A)P(A 41 P(AA) P(A)P(A 1 Ai取到的卡片第i位上的数字为i=1,2,证明1A1A2A3两两相

P(AA)1P(A)P(A1 1P(A2A3)4P(A2)P(A3 A1,A2,A3两两相互独立(2)A1,A2,A3不相互独立 2:PAAA00P(A)P(A)P(A)112 A1,A2,A3不相互独立例2‐2若有一个均匀正八面体，其,,,41染红色，1,2,3,5面染白色，1,6,7,8面染上黑色,以A，B，C表示投掷一次正八面体出现红,白,黑色的，则41P(A)P(B)P(C)

例3‐1设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是P(ABC)1

P(A)P(B)P(C 但P(AB)31P(A)P( 两两独 相互独

解 Ai为"第i名射手击落飞机B为“击落飞机”,iBA1LA2LLA10P(B)P(AUAU…UA 1P(A1UA2U…UA101P(A1)P(A2)…P(A101(0.8)10若某种获头奖这一A的概率为ε=10-8,试证当次数n→∞时A迟早会出现的概率 则PA1UA2UUAn1P(A1)P(A2)…P(An1(1ε)n (n例3‐3甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人而被击落的概率为0.2,被两人而被击落的概率为0.6,若三人都飞机必被击落, 解设Ai表示有i个人敌机, 敌机P(A0.4,P(B0.5,P(C由于A1ABCABCABCP(A1)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)0.40.50.30.60.50.30.60.5因为A2ABCABCABC得PA2PABCABCABCP(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)例3‐4要验收一批(100件)乐器.验收方案如下:自 设以Hi(i0,1,2,3)表示A3ABC,得PA3PABCP(A)P(B)P(C0.40.50.7P0.20.360.60.411 H,H,H,H是S的一个划分 而PH033以A表 "这批乐器被接收".已知一件音 P(H)4 , 123 概率为0.05,并且三件乐器的测试是相互独立的 P(H)4 ,

P(H) . 213 33P(AH)(0.99)3,P(AH1)(0.99)20

3 P(A)P(H)P(AH

P(AH2)0.99(0.05)2 P(AH3)(0.05)3

i0.85740.005500例4‐1设电路由ABC三个元件组成，若元件AB,C发生故障的概率分别为0.3,0.2,0.2，且各元件独解设A,B,C分别表示元件A,B,C发生故障

P(ALBLC)1P(A)P(B)P(C10.70.80.8P(ABC)P(A)P(B)P(C0.30.20.2P(ALBC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C0.30.20.20.30.20.2例4‐2某系统如图所示,各继电器接点闭合的概率11

解将系统分为子系统，子系统又分为并联与串接通的概率用逆概率求，为 1(1p)(1p2)pp2p34 4 Pp( p2p3) p3p4第一个子系统中1,2是并联，12与3是串联，所以[1(1p)(1p)]pp2(2

例5‐1在一批N个产品中有M个次品，每次任取一件，观察后放回，求：解因为是放回抽样，可以认为各次抽取相互独立，于是，系统是通路的概率为P1[1p2(2p)](1p)(1p2

则PAi1MN(1)P1P(A1A2…An)P(A1)P(A2)…P(An(1MN)n(2)PP(ALAL…LA)1P(A)P(A)…P(Ap3p24p3p43p5p6

1

N)例5‐2设4次独立试验中A发生的概率相等，

解令An{第n次试验中A发生},n=1,,, 在未来一年中在些者里面P(A)P2PA1LA2LA3LA4

1P(A)P(A)P(A)P(A

解(1)设A表示40个人,

P(A)C (0.005)40(0.995)99601(1p)4

设B表示人数不超过70,P(A) P(B)

CkC

(0.005)k(0.995)10000kk 例6‐2一批产品有20％的次品，进行重复抽样检件次品的概率,(2)至多有3件次品的概率.

例6‐3甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p,p≥1/2,问对甲