福建省光泽县第二中学高考数学 第一章 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教学设计 新人教A版必修4

福省泽第中高数必4一教设：1.4.2正函、弦数性教学点难、点重：求函数y=Asin(

)，∈函数(

)，∈周期；难：期定义的理解；疑：期性是整个定义域内的函数的一个性质．教学程（一）新课引入自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等，数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，的边每转一周又会与原来的位置重合，故sinα,cos的值也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种周而复始的变化规律，今天我们来学习一个新的数学概念—函数的周期性．（二）新课1、周期函数的定义引导学生观察下列图表及正弦曲线x

-2

-

0222

2

sin

010-101-10y=sin,∈y-

73--22

-

57x-4

-3

-2

-

-1

2

3

4

正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．联想诱导公式sin(+2(∈Z)若令f)=sin则fx(由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当取定域内的每一个值时，都有(+Tf(x，那么函数fx叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期．如24-2-4是弦函数的周期．注：周期函数定义中，一是是数且不为零；1

二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．师：请同学们思考下列问题：1）对于函数y=sin，∈R有sin(周期．

+)=sin能说是弦函数y=sinx的4242生能

是正弦函数y=sin的期个等式虽成立不对定义域的一个值都使等式sin(+

2

)=sin成，所以不合周期函数的定义．2）(x

是周期函数吗？为什么？生是期函数有非零常xT)=((+T)=简Tx+T)＝０，T（非零T是常数满足非零常数不在，因而()不是周期函数．思考题：若T为()的期，则对于非零整数k，也是fx的周期．2、最小正周期的定义师：我们知道-4-2是正弦函数的周期可以证明2k(k

0且k∈Z)是f(x)=sinx的周期其中

是f(x)=sinx的小周期．一般地，对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的小正周期．今后若涉及到的周期，如果不另特别说明，一般都是指函数的最小正周期．依据定义，和y=cosx的小正周期为23、例题：例1求例函数的周期：1）y=3cosx,x∈；2）y=sin2x,x∈；3）y=2sin(

x-),x∈．分析：由周期函数的定义，即找非零常数T，f(x+T)=f(x)解）因为余弦函数的周期是2所自变量只要且至少要增加到余弦函数的值才能重复取得y=3cosx,∈R的也能重复取得函y=3cosx，x∈R的周是2即f(x)=3cosx=3cos(x+2，(2)令z=2x，那么x∈必并只需z∈，函数y=sinz，∈的周是

，就是说z变量只要并且至少要加到z+2

函数y=sinzz∈的值能重复取得，而所自变量只要并且至少要增加到x+函值就能重复取得，从而函数y=sin2x，x∈的期是即f(x)=sin2x=sin(2x+2)=sin2(x+∴T=

(3)令z=是2由

1x-，么x∈必并且只需zR，且函数y=2sinzz∈R的周期26

x-，以变量要并且至少要增加到，6函数值才能重复取得，即T=4

1是能使等式2sin[(x+T)-]=2sin(x-)立的最小正数，

从而函数y=2sin(x-)，x∈R周期是2

xx而f(x)=2sin(

x-)=2sin(x-+2)=2sin[(x+4]=f(x+46

)，T=4

师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量的数有关，其规律如何？你能否求出函数y=Asin(

)，∈及数(

)，∈（中A，

，为常数，且A0，0）的周期？(x+生：f(x)=Asin(∴T=

)+]=f(x+)同理可求得y=Acos(

)的期T=

．例2求：（）y=cos2x+sin2x的期为（）y=sinx+cosx的期为

；（）y=|sinx|+|cosx|的周期为

．分析：依据周期函数定义f(x+T)=f(T)明．证明）

)=cos2(x+

)+sin2(x+

)=cos(2x+2

)+sin(2x+2

)=cos2x+sin2x=f(x)∴f(x)的期为（）

)=sin(x+

)+cos(x+)=cos

x+sin

=f(x)∴的期为．（）

)=|sin(x+)|+|cos(x+)|22=|cosx|+|sinx|=f(x)∴的期为

．例3先化简，再求函数的周期①

ysinxx②

y

2

xcosxx

2

x③证明函数

f()sin|x

的一个周期为

，并求函数的值域；例4求下列三角函数的周期：1)2y=cos2xy=3sin(+)2解：1令z=x+而sin(2即：((z)3

f

[(x+2)

]=(x+)∴周期T=22z=2x∴()=cos2x=cosz=cos(z+2即：(+(x)∴T=3+则(x)=3sinz=3sin(z+2++252=3sin(

)=f(+4∴T=4小结：形如y=Asin(ωx+ω,为常,x周T=y=Acos(ωx+φ)可同法求之、小1）周期函数定义及最小正周期定义．

2（）

函数

)，x∈及数(

)，x∈的期都为T=

课练：2、，课作：3同步练习：求下列函数的周期：1。y=sin(2x+

)+2cos(3x-

)

2。y=|sinx|3。y=2sinxc