第一讲 等腰三角形2

第一讲

等腰三角知点一认三形、三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边邻边公共端点叫做三角形的顶点邻边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角分。（2）在三角形中，连接个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形中。（3）从三角形一个顶点它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形高线、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形

底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐三形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。、三角形的三边关系定理及推论（1三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。、三角形的内角和定理及推论三形内和理三角形三个内角和等180。推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注在同一个三角形中：等角对等；等边对等角；大角对大边；大边对大角。、三角形的面积：三角形的面=二等三形关识、腰角的质

×底×高

（1等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论腰角形顶角平线平分底边并且垂直于底边腰角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于°。（2等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角角可为钝角（或直角③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b则

<a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为∠∠，则∠°—∠B∠∠C=

180、腰角的定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边个定定理常用于证同一个三角形中的边相等。推论：三个角都相等的三角形是等边三角形推论：有一个角是°的等腰三角形是等边三角形。推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边一半。等腰三角形的性质与判定中线

等腰三角形性质等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；等三角形两腰的中线相等并且它们的交点与底边两端点距离相等。

等腰三角形判定边中线相等的三角形是等腰三角形；果个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角那么这个三角形是等腰三角形角平

腰三角形顶角平分线垂直平分底1果角形的顶角平分线垂直于分线

边；等三角形两底平分线相等并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

这个角的对边（平分对边么这个三角形是等腰三角形；、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线

、等腰三角形底边上的高平分顶角、果个三角形一上的高平分平分底边；

这条边（平分这条边的对角等三角形两腰的高相等并且那么这个三角形是等腰三角形；它们的交点和底边两端点距离相两高相等的三角形是等腰三角边

等。等边对等角底的一<长周长的一半

角形。等角对等边两边相等的三角形是等腰三角形、角中中线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等经例讲知识点一等腰三角形的性质—等边对等角例1如图△中＝AC在ACBDBCAD∠等）A．B．40C．45．（）△中，AB＝AC，①∠＝70°，则B°，C＝°②若∠＝40°，则A＝°（知等腰三角形的一个内角为50个等腰三角形的顶角）Ａ．50°Ｂ．80°Ｃ50或80°Ｄ40或65°知识点二：等腰三角形的性质——三线合一

A例21如图，eq\o\ac(△,在)中，＝，＝，求＝（）△中，AB＝AC，为BC的点，B70°BC＝10㎝则BD＝，BAD＝°知识点三：等腰三角形的判定——等角对等边例31如图，知BD是∠ABC的角平分线，DE∥交AB于E，求证：BED是等三角形．

B

DFEAEDBC

C（）△ABC中∠＝°，∠＝80°BC10㎝则AB知识点四：等边三角形的性质与判定

㎝例4:（1如图，为线AB上一，ACD△是等边三角形，

AE与CD交点M，与CE交点N，AE交BD于．求证：⑴AE＝BD⑵AOB＝120°⑶CMN是边三角形

D

M

O

（）△是等边三角形，的中点，则DBC＝°（）列三角形：①有两个角等于60°三角形②有一个角为60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角均相等的三角④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形中可以确定是等边三角形的是。知点：30°的角角的质

A例5（1如图，有一块形状为等边ABC的空DE、地块中的两条路，且D为AB的点⊥AC∥已AE＝5m能求出地eq\o\ac(△,块)EFC的长吗？

EDB（）eq\o\ac(△,Rt)ABC中CD是斜AB的高，若A＝30°BC2㎝，则＝

㎝，AD＝

㎝等三形题习11．等边三角形中D为AC的中，延长BC到E使＝CD，若AB＝，BE＝

BA

AADD

C

B

第1题图

CE

O

第2题图

B

B

F

第6题图

C2．如图，已知OC平分∠，CDOB，若OD3㎝，则＝

㎝3．等腰三角形的一个外角为°，则这个三角形的顶角为°4．等腰三角形的两边长分别为9和4它的周长为．5．△ABC中∠∶B∶∠＝∶∶3，＝，则BC

㎝．6eq\o\ac(△,，)中AC，∠B＝30°垂直平分AB如CF＝BF＝．

A7．如图７，在eq\o\ac(△,Rt)中，90，=＝，E为AC的点，点F在

E底边BC上，且BEA．16B．18C．

，则△66

的面积是（）D．76

B

图７

F

C8．腰三角形一腰上的高与另腰的夹角为30º，长为4cm，其腰上的高为

cm.9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝ADDC,∠＝60º.(1)求证：AB⊥AC；

AD(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面

B

C第9题10.已知：如图，平分∠BACBCAF垂为，点D与点A关点E对，分与线段CF，相于P，．

(1)求证：=；(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断与∠MCD的数量关系，并说明由．

PEDMF等三形题习21．如图，已知是边三角形AD∥，⊥，则ACD＝，＝㎝，则△ABC的周长为

㎝A

D

BA第题图2．等腰三角形一腰上的高与底所成的角等于（）

D第题图

BA．顶角B．顶角的一半．顶角的两倍．底角的一半3．如图，在△ABC中，∠＝°∠ABC60°BD平分ABC，若AD＝，则CD＝4．若等腰三角形的一个内角为50，则其底角为5．方程x

x

的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．B．12或15．15D．不能确定6．在等腰△ABCABAC中线将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）

A．7．11C．或7

A7．如图，在等边

△

中，

D、

分别是

、AC

的中点，

，则

△ABC

的D

E周长是（）A．6B．9C．18．24

B

C8．图所示，

△ABC

是等边三角形，D

点是

的中点，延长

到E

，使

ACD

，

D（）用规作图的方法，过点作DMBE，足是M（不写作法，保留作图痕迹

B

C

E（）证：EM

．

第9．已知：在△中，＝．(1)