六年级下册奥数试题简单消长工程浓度问题

第8讲简单消长、工程、浓度问题知识网络1．牛吃草问题有这样的问题，如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？这种问题称为“牛吃草”问题。2．盈亏问题盈亏问题的基本数目关系：（盈+亏）÷两次分得的差=份数（大盈-小盈）÷两次分得的差=份数（大亏-小亏）÷两次分得的差=份数3．工程问题波及工作量、工作时间和工作效率之间的数目关系的应用题，叫做工程问题。这种问题的特色是：问题给出一项工程或许一项任务时，并无给出详细的数目，常常给出某人或几个独自达成或共同完成该工程所需要的时间，要求解答的是达成必定工作任务所需要的时间或在一准时间内所达成的工作。解答这种问题时，经常将这项工程或任务看做整体“1”，也就是用“1”表示整个工作量，而后，抓住以下的基本关系式：工作效率×工作时间=工作量便可使问题顺利地获取解决。4．浓度问题一般地，我们把两种不同物体（此中起码有一种是液体）的混淆物称为溶液，此中的一种物体称为溶质（能够是固体，如盐、糖，也能够是液体，如酒精），另一种物体称为溶剂（液体，如水）。浓度是溶质质量与溶液质量的比值，即：1）因为溶液质量=溶质质量+溶剂质量，所以2）（1）、（2）两式是相关浓度问题的基本关系式。很多与浓度相关的应用题，都能够经过（（2）两式获取解决。

l）、5．鸡兔同笼问题鸡兔同笼的基本问题是：已知鸡、兔总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只？1）解决鸡兔同笼问题的方法往常是用假定法，解题思路是：先假定笼子里装的全部是鸡，依据鸡兔的总数就能够算出在假定下共有几个脚，把这样获取的脚数与题中给出的脚数之差除以2，就能够算出共有多少只兔。（2）解决鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）。兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）。应注意到，这两个公式不用都用，用此中一个算出兔数或鸡数，又知总数，就能够算另一个。3）鸡兔同笼问题的变型有两类：将鸡、兔的总头数和总脚数中的“两数之和”变为“两数之差”，这样获取三种状况：1）已知鸡、兔头数之差和总脚数，求鸡兔各有多少只；2）已知鸡、兔脚数之差和总头数，求鸡兔各有多少只；3）已知鸡、兔头数之差和脚数之差，求鸡兔各有多少只。将基本问题中同笼的是鸡、兔两种不同东西，还能够引申到同笼中不同东西是三种、四种等等。注意：鸡兔同笼问题的两种变型均可转变为基本问题解决（详见例题）。要点·难点（1）解决牛吃草问题的要点是认识相关牧场的草的状况，即原有草量及每日新增的草量，这时，题目给出的条件常常是上述两种状况，波及3个量，即牛数、草场面积、天数（时间），使用方法常常是比较的方法。注意，为比较方便，要使两种状况的草场面积一致。认识相关牧场草的状况以后，再研究牛的状况。一般能够从两个不同角度考虑：天数固定，草场的草的总量就知道；每日牧场新增添草量已知，就能够对牛的详细吃草状况分派。注意，也能够用追及问题的想法办理。（2）在解答盈亏问题时，无论所求的问题是什么，最主要的是先求出份数，而后再解决其余问题。学法指导解答这种问题，困难在于草的总量在变，它每日、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量由两部分构成：①某个时间限期前草场上原有的草量；②这个时间限期后草场每日（周）生长而新增的草量。所以，一定想法找出这两个量。经典例题［例1］小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，问小明解题的开端时间？小明解题共用了多少时间？思路解析要求小明解题共用了多少时间，一定先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻。（1）小明开始解题时的时刻：因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落伍时针60×（180÷360）=30（个格），而7点整时分针落伍时针5×7=35（个格），所以在这段时间内分针要比时针多走35-30=5（个格），则这一段时间为：（分）。所以小明开始解题时是

7点

分。（2）小明解题结束时的时刻：因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从

7点整到这一时刻分针要比时针多走5×7＝35（个格），所以这一段时间为：（分）。所小明解题结束时是7点分。这样小明解题所用的时间就能够求出了。解答先求小明开始解题的时刻：（分），所以小明开始解题时是7点分。再求小明结束解题的时刻：（分），所以小明结束解题时是7点分。最后求小明解题所用的时间：7点分-7点分=（分）答：小明解题共用了分。［例2］因为打字员的离职，一个企业积压下一批需要打印的资料，并且每日还要新增添固定数量需要打印的资料。假定资料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是页／天）。假如企业聘用5名打字员，24天就恰巧打完全部资料；假如企业聘用9名打字员，12天就恰巧打完全部资料。企业聘用了若干名打字员，工作8天以后，因为业务减少，每日新增的需要打印的资料少了一半，结果这些打字员共用40天才恰巧达成打字工作。问：企业聘用了多少名打字员？思路解析和解决牛吃草问题近似，需要认识打印资料的相关状况：积压下的资料数目和每日增添的资料数量。设每个打字员的打字速度为单位1／天（详细页数不知道，用单位1表示），比较“假如企业聘任5名打字员，24天就恰巧打完全部资料；假如企业聘用9名打字员，12天就恰巧打完全部资料。”能够获取：由“5名打字员，24天就恰巧打完全部资料”得资料总量为5×24＝120（单位1）由“9名打字员，12天就恰巧打完全部资料”，得资料总量为9×12＝108（单位1）比较这两个总量，能够获取资料每日的增添状况：120-108）÷（24-12）=l（单位1／天）进一步，能够获取原有资料的状况：120-24×1＝96（单位1）或许108-12×1＝96（单位1）最后，看一下所求问题中的总量，“工作8天以后，每日新增的资料少了一半，这些打字员共用天恰巧达成。”计算资料总量96+l×8+（40-8）×l÷2＝120（单位1）聘用的打字员人数为120÷40=3（人）这里，利用资料总量察看比较简洁，而从打字员的工作状况看，就需要一点技巧。不如先看看每日新增资料数目假如不变的状况下，人员的详细使用状况。因为资料增添的速度是1（单位1／天），所以聘用的打字员中能够安排1人特意打印这些新增资料。再留神一下资料增添的速度变化了，这个打字员的工作状况。实质上，在剩下的40-8=32天中，这个打字员只需要用一半的精力对付每日新增的资料，节余的一半精力做什么？帮助做原有的资料，并帮做了32×1÷2=16（单位1）其余特意打原有资料的打字员实质工作的总量不是原有的96（单位1），而是96-16=80（单位1）这些人（打原有资料）工作40天，需要80÷40＝2（人）再考虑专打新增资料的一个人，共有1+2=3（人）。解答设每个打字员的打字速度为单位1／天。由“5名打字员，24天就恰巧打完全部资料。”得资料总量为5×24=120（单位1）由“9名打字员，12天就恰巧打完全部资料。”得资料总量为9×12=108（单位1）资料每日增添120-108）÷（24-12）=1（单位1／天）原有资料120-24×1=96（单位1）或许108-12×1=96（单位1）实质资料总量96+l×8+（40-8）×l÷2=120（单位1）打字员人数为120÷40=3（人）答：企业聘用了3名打字员。[例3]修一条长2．7千米的公路，前6天修睦540米，照这样计算，修完这条公路还要多少天？思路解析此题有多种解法：l）要求出“修完这条公路还要多少天”，需要两个条件：①还剩下多少没有修；②每日修多少米。这两个条件固然题中没有给出，但我们能够经过已知条件求出。2）能够先求出修完这条公路一共需要多少天。而后用总天数减去已经修的天数便可获取此题的结果。要求一共需要多少天，需用总长度除以每日修多少米，即“单调量”。总长度是已知的，每日修多少米可用540÷6＝90（米）求得。（3）可先求总长度是已修完的多少倍，2700÷540＝5，那么，修完这条公路的总天数就应当是6天的多少倍。所以，用6×5＝30（天）就获取总天数，再用总天数减去已修的天数就获取此题的结果。4）可先求出没修的行程是已修行程的多少倍，（2700－540）÷540=4，那么，修完这条公路还要多少天就是已修天数的多少倍，6×4=24（天）。解答解法一：2.7千米=2700米2700－540）÷（540÷6）=24（天）☆解法二：2700÷（540÷6）－6＝24（天）☆解法三：6×（2700÷540）－6＝24（天）☆解法四：6×［（2700－540）÷540］＝24（天）答：修完这条公路还要24天。点津由此题的解法一、解法二可知，正确地求出单调量的数值是解答归一应用题的要点；弄清题中“照这样计算”等句子的含义，注意抓准题中的数目的对应关系是解答归一应用题的基础。像本例题这种归一应用题能够采纳同类数目之间进行倍数比较的方法解答，这种方法叫“倍比法”。如此题的解法三、解法四。［例4］托儿所小朋友分杏，若每人分2个就多出30个；假如每人分4个，杏正好分完。阿姨买多少个杏？思路解析经过读题能够知道，在两种分杏的方案中，第二种方案中每人分得的4个杏比第一种方案中每人分得的2个多了4-2=2（个），也就是第二次分杏时，相当于在实行第一种方案的基础上每人又分到2个杏，而每人分的2个杏，又是从实行第一种方案后剩的30个杏中拿走的。归纳地说，就是每人分2个杏，一共分了30份。依据这个解析能够求出这个托儿所小朋友的人数，再依据小朋友的人数便可以求出阿姨买杏的个数。解答小朋友人数：30÷（4-2）=30÷2=15（人）杏的个数：4×15=60（个）答：阿姨买60个杏。也能够列综合算式：30÷（4－2）×4=30÷2×4=60（个）答：阿姨买了60个杏。点津本例题中的两种分派方案中只有盈没有亏，能够理解为盈利30个，缺乏0个，而后用盈亏问题的数目关系式。在列式计算时，要依据自己的能力决定能否用综合算式。假如能力比较强，能充分理解题意，熟习题目中的数目关系，建议列综合算式计算。[例5]甲、乙两个科研小组共同获取一笔奖金，这笔奖金若只给甲组，则均匀每人50000元还余40000元；若只给乙组，则每人110000元还缺10000元。甲组人数是乙组人数的2倍。这笔奖金一共有多少？思路解析经过读题能发现，若是没有“甲组人数是乙组人数的2倍”这个已知条件，此题就是一道基本的盈亏问题，很简单解答；若是能使两组的人数相同多，此题也能变换成一道基本的盈亏问题。依据题中的已知条件，有两种方法能使两组人数相同多，第一种方法，乙组再一份与它相同多的人数，这时两组人数相同多，奖金如何分呢？只能1人奖金2人均分了，每人得110000÷2＝55000（元），这样分的过程与节余奖金没关；第二种方法，甲组的人数均匀分红2份，调走1份，这时甲组人数就与乙组人数相同多，调走的人把奖金留下，这样留下的人每人得了2份奖金，每人就得50000×2＝100000（元），这样分的过程相同与节余奖金没关。上述两种方法都能够把复杂的盈亏问题变换成基本盈亏问题，而后依据基本盈亏的解题思路就能够解析解答了。解答☆解法一：假定乙组人数与甲组人数相同多。甲组人数：（40000+10000）÷（110000÷2-50000）=50000÷5000=10（人）奖金总数：50000×10+40000=500000+40000=540000（元）答：这笔奖金一共有540000元。☆解法二：假定甲级人数与乙组人数相同多。乙组人数：（40000+10000）÷（11000-50000×2）=50000÷10000=5（人）奖金总数：110000×5-10000=550000-10000=540000（元）注：两种不同的解法还能够相互考证题答案的正确与否。[例6]1刘老师准备把一些课外书散发给某班的同学们。若发给每位同学3本，还余11本；发给每位同学5本，还差3本，问王老师一共有多少本课外书？该班有多少位同学？解答该班同学的人数：（11+3）÷（5－3）＝7（人）☆解法一：此题是一盈一亏问题。按两种不同分派方案发书，结果书的本数相差为（11+3）本。产生差别的原由是每人多分了（5-3）本书，由此可算出人数。书的本数3×7+11=32或5×7-3=32☆解法二：设该班有位同学，这样王老师一共有（3+11）本书，或许（5-3）本书。依据王老师所拥有的课外书数目是一不变量，可列方程3+11=5-3移项11+3=5-3即2=14所以=73+11=32或5-3=32答：王老师一共有课外书32本，该班有7位同学。点津这是此题的算术解法，利用的是：该班同学的人数等于两次发书的结果的差除以每人两次分派书数的差，即两次结果差÷两次分派数差=人数［例7］少先队员去植树，假如每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；假如此中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰巧挖完全部树坑，求共有少先队员几人？一共要挖多少个树坑?思路解析此题第二次的任务分派：“假如此中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰巧挖完”，这里全部少先队员挖的树坑数不一致，可将其改为“假如每人挖6个树坑，还少4个树坑”。这样，问题就变为典型的一盈（多3个树坑）、一亏（少4个树坑）问题了。解答☆解法一：算术解法。l）共有少先队员3+4）÷（6-5）=（3+4）÷1=7（人）☆解法二：代数解法。设有少先队员人，则总树坑数可表示为

5+3

或2×4+（-2）×6，列方程5+3=2×4+（-2）×6解此方程，得

=7（人）一共有树坑：5+3=38（个）或2×4+(-2)×6=38（个）答：共有少先队员7个，一共要挖38个树坑。点津经过上述例题，我们不难发现，两种解法中，代数解法的思路更具一般性。设某字母表示一个未知数，而后让未知数直接参加题目中某一个不变量的表示，利用两次分派的结果，表示出两种形式，因其相等，所以可列方程，而后解方程，就能够求出未知数的值了。［例8］某工厂的一个车间，组装一批电脑。当每个工人在自己的岗位上工作时，9个小时可达成这项任务；假如互换工人A与B的工作岗位，其余工人生产效率不变时，可提早1小时达成这项任务；假如互换工人C与D的工作岗位，其余工人生产效率不变时，也可提早1小时达成这项任务。问：假如同时互换A与B及C与D的工作岗位，其余工人生产效率不变，能够提早多少时间达成这项任务？思路解析工作效率问题的基本关系式，即工作效率×工作时间=工作量固然很简单，可是实质的生产问题要复杂得多。这是因为实质生产中一项任务的达成要波及诸多环节，某一环节的工作效率发生变化后，其余环节的工作效率也相应地随之发生改变。在本例题中，我们不行由已知“A与B互换工作岗位后，可提早1小时达成任务；C与D互换工作岗位后，也可提早1小时达成任务”，简单地得出，同时互换A与B及C与D的工作岗位，可提前1＋l=2（小时）达成这项任务。事实上，A与B互换工作岗位后，还有一个条件是“其余工人的生产效率不变”，也就是说，互换岗位的工人们是两两相互影响对方的，而对其余工人的效率不发生影响；C与D互换岗位的情况也相同。同时互换A与B及C与D的工作岗位后，其整个生产计划与分别只互换A与B，或许只互换C与D的情况是不相同的。下边我们给出此题的三种解法。解答☆解法一：（1）设总工作量为1，原全车间每小时达成。（2）A与B互换后，8小时达成。全车间每小时达成。因为其余工人工作效率不变，所以，A与B每小时多了；同时，C与D互换后，每小时也多干了。（3）A与B、C与D同时互换后，这四人每小时多干，全车间每小时达成，所以，达成这项任务需要（小时）比原提早（小时）☆解法二：题目中8和

9的最小公倍数是

72，所以把这项任务分红

72份，原每小时全车间达成72÷9＝8（份），每份需要60÷8=7．5（分钟）A与

B互换后，每小时达成

72÷8=9（份），比原多干了

1份，因为其余工人工作效率不变，所以这一份是

A、B两人干的。同理，C与D互换后，这两人每小时也多干了1份任务。同时互换后，A与B、C与D每小时都多干1份任务，故全车间工人每小时干了8+l+1＝10（份）任务，每份任务只需60÷10=6（分钟）即可达成。所以，每干1份任务，可提早7．5-6=1．5（分钟），72份任务一共可提早72×1．5＝108（分钟）（小时）。☆解法三：A与B互换后，全车间在8小时内达成原9小时的工作。因为其余工人工作效率不变，所以A、B二人在8小时中多干了原全车间1小时的工作；同时，C与D互换后，这二人在8小时中也多干了原全车间1小时的工作。A与B、C与D同时互换后，他们四人就在4小时内多干了原全车间1小时的工作。这就是说，A与B、C与D同时互换后，全车间在4小时内干了原全车间在5小时内干的工作，缩散工作时间。原9小时的工作，在A与B、C与D同时互换后，就能够缩短（小时）答：能够提早小时达成这项任务。发散思想训练1．22头牛吃33亩草地上的草，54天能够吃完。17头牛吃28亩相同草地上的草，84天能够吃完。问：相同的牧草40亩可供多少头牛食用24天（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）？2．在6点和7点之间，两针什么时刻重合？3．现有一瓶浓度为38％的橘子汁水800克，问这瓶橘子汁水中含橘子汁和水各多少克？4．在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只？5．一个牧场，草每日匀速生长，每头牛每日吃的草量相同，

17头牛

30天能够将草吃完，

19头牛只需要24天就能够将草吃完，现有一群牛，吃了

6天后，卖掉

4头牛，余下的牛再吃

2天就将草吃完。问没有卖掉4头牛以前，这一群牛共有多少头？参照答案发散思想训练1．解：一亩草地一天重生长草量可供多少头牛吃一天？（17×84÷28－22×54÷33）÷（84－54）=0．5（头）。40亩草地原有草量可供多少头牛吃一天？40×（17×84－84×0．5×28）÷28=360（头）。40亩牧草可供多少头牛食用24天？0.5×40+360÷24=35（头）。答：40亩草地可供35头牛食用24天。2．解：在6点整时，分针落伍时针5×6=30（个）格，到分针与时针重合时，分针要比时针多走30个格，而每分钟分钟比时针多走（）个格，所以抵达这一时刻所用的时间为：（分）。所以所求的时刻为6点分。答：在6点分时分针与时针重合。3．解：由已知浓度和溶液质量，要求的橘子汁质量为800×38％=304（克）水的质量=溶液质量一溶质质量=800－304=496（克）答：含橘子汁304克，水496克。4．解：题目中给出了鸡、兔共有40只，假如把兔子的两只前脚用绳索捆起，看做是一只脚，两只后脚也捆起，也当作是一只脚，那么兔子就成了2只脚（即把兔子都当作两只脚的鸡）。鸡兔总的脚数是40×2=80（只）比题中所说的130只需少。130－80=50（只）此刻松开一只兔子脚上的绳索，总的脚数就会增添2，即80+2=82。再松开一只兔子脚上的绳索，总的脚数又增添2，即82+2=84，，向来持续下去，直至增添到50。所以，兔子数是50÷2=25（只）实质上，这就是基本关系式（130－40×2）÷（4－2）=（130－