（江苏专用）2023版高考数学专题复习专题8立体几何第50练平行的判定与性质练习文

PAGEPAGE5〔江苏专用〕2022版高考数学专题复习专题8立体几何第50练平行的判定与性质练习文训练目标会应用定理、性质证明直线与平面平行、平面与平面平行．训练题型证明空间几何体中直线与平面平行、平面与平面平行．解题策略(1)熟练掌握平行的有关定理、性质；(2)善于用分析法、逆推法寻找解题突破口，总结辅助线、辅助面的做法.1.(2022·徐州模拟)如图，四棱锥P－ABCD中，PD＝PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点．(1)求证：AM∥平面PBC；(2)求证：CD⊥PA.2.(2022·课标全国Ⅱ)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两局部体积的比值．3．(2022·辽宁五校协作体上学期期中)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝eq\r(2)，AA1＝2.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(3)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．4．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：MN∥AB；(2)求证：CE∥平面PAD.答案精析1．证明(1)因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点，所以AB∥CM，且AB＝CM，又AB⊥BC，所以四边形ABCM是矩形，所以AM∥BC，又因为BC⊂平面PBC，AM⊄平面PBC，故AM∥平面PBC.(2)连结PM，因为PD＝PC，点M是CD的中点，所以CD⊥PM，又因为四边形ABCM是矩形，所以CD⊥AM，因为PM⊂平面PAM，AM⊂平面PAM，PM∩MA＝M，所以CD⊥平面PAM.又因为PA⊂平面PAM，所以CD⊥PA.2．解(1)交线围成的正方形EHGF如下图．(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，那么AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为eq\f(9,7)(eq\f(7,9)也正确)．3．(1)证明∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1O⊥BD.∵A1O∩AC＝O，A1O⊂平面A1AC，AC⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC.∵AA1⊂平面A1AC，∴AA1⊥BD.(2)证明∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD.∵A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，同理A1B∥D1C，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B1，且A1B∩A1D＝A1，CD1∩B1C＝C，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(3)解∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．在正方形ABCD中，AB＝eq\r(2)，可得AC＝2.在Rt△A1OA中，AA1＝2，AO＝1，∴A1O＝eq\r(3)，∴V三棱柱ABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×eq\r(3)＝eq\r(3).∴三棱柱ABD－A1B1D1的体积为eq\r(3).4.证明(1)因为M，N为PD，PC的中点，所以MN∥DC，又因为DC∥AB，所以MN∥AB.(2)方法一如图，取PA的中点H，连结EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH綊eq\f(1,2)AB.又CD綊eq\f(1,2)AB，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.所以CE∥平面PAD.方法二如图，连结CF.因为F为AB的中点，所以AF＝eq\f(1,2)AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD，又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，所以CF∥平面P