（浙江专版）2023高考数学一轮复习第9章计数原理、概率、随机变量及其分布第8节离散型随机变量的均值与方差课时分层训练

PAGEPAGE1课时分层训练(五十九)离散型随机变量的均值与方差A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，那么a的值为()X4a9P0.50.1bA.5 B．6C．7 D．8C[由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4，∴E(X)＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.]2．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，假设yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，那么y1，y2，…，y10的均值和方差分别为()A．1＋a,4 B．1＋a,4＋aC．1,4 D．1,4＋aA[E(y)＝E(x)＋a＝1＋a，D(y)＝D(x)＝4.]3．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,4)))，那么E(2X＋1)＝()【导学号：51062374】A.eq\f(5,4) B.eq\f(5,2)C．3 D.eq\f(7,2)D[因为X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,4)))，所以E(X)＝eq\f(5,4)，那么E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×eq\f(5,4)＋1＝eq\f(7,2).]4．随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，那么二项分布的参数n，p的值为()A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1B[由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.]5．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，那么X的方差D(X)的值为()A.eq\f(12,5) B.eq\f(24,25)C.eq\f(8,5) D.eq\f(2\r(6),5)B[因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为eq\f(3,5)，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，那么X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,5)))，∴D(X)＝4×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(24,25).]二、填空题6．随机变量X服从二项分布B(n，p)．假设E(X)＝30，D(X)＝20，那么p＝________.【导学号：51062375】eq\f(1,3)[由E(X)＝30，D(X)＝20，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np1－p＝20，))解得p＝eq\f(1,3).]7．(2022·舟山调研)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，假设用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，那么随机变量ξ的均值E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．eq\f(4,7)[随机变量ξ只能取0,1,2三个数，因为P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,21).故E(ξ)＝1×eq\f(10,21)＋2×eq\f(1,21)＝eq\f(4,7).]8．设X为随机变量，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，假设随机变量X的均值E(X)＝2，那么P(X＝2)等于________．eq\f(80,243)[由X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，E(X)＝2，得np＝eq\f(1,3)n＝2，∴n＝6，那么P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))4＝eq\f(80,243).]三、解答题9．(2022·温州模拟)某商店方案每天购进某商品假设干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．当供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；假设供不应求，那么从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．(1)假设商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，n∈N*)的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件，n∈N*)，列表如下：日需求量(件)89101112频数(天)91115105假设商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X的分布列及均值.【导学号：51062376】[解](1)当1≤n≤10时，y＝50n＋(10－n)×(－10)＝60n－100；2分当n>10时，y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60n－100，1≤n≤10，n∈N*，,30n＋200，n>10，n∈N*.))7分(2)由(1)知日需求量为8件、9件、10件、11件、12件的利润分别为380元、440元、500元、530元、560元.9分∴利润X的分布列为X380440500530560Peq\f(9,50)eq\f(11,50)eq\f(3,10)eq\f(1,5)eq\f(1,10)12分利润X的均值为E(X)＝380×eq\f(9,50)＋440×eq\f(11,50)＋500×eq\f(3,10)＋530×eq\f(1,5)＋560×eq\f(1,10)＝eq\f(2386,5)(元).15分10．(2022·嘉兴质检)某校高二年级开设a，b，c，d，e五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选a课程，不选b课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．(1)求甲同学选中c课程且乙同学未选中c课程的概率；(2)用X表示甲、乙、丙选中c课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．[解](1)设“甲同学选中c课程〞为事件A，“乙同学选中c课程〞为事件B，依题意P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).3分因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中c课程且乙同学未选中c课程的概率为P(Aeq\o(B,\s\up8(－)))＝P(A)P(eq\o(B,\s\up8(－)))＝P(A)[1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15).6分(2)设事件C为“丙同学选中c课程〞．那么P(C)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).7分X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝P(eq\o(A,\s\up8(－))eq\o(B,\s\up8(－))eq\o(C,\s\up8(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,75)，P(X＝1)＝P(Aeq\o(B,\s\up8(－))eq\o(C,\s\up8(－)))＋P(eq\o(A,\s\up8(－))Beq\o(C,\s\up8(－)))＋P(eq\o(A,\s\up8(－))eq\o(B,\s\up8(－))C)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(20,75)＝eq\f(4,15)，P(X＝2)＝P(ABeq\o(C,\s\up8(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up8(－))C)＋P(eq\o(A,\s\up8(－))BC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(33,75)＝eq\f(11,25)，P(X＝3)＝P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,75)＝eq\f(6,25)，12分随机变量X的分布列为X0123Peq\f(4,75)eq\f(4,15)eq\f(11,25)eq\f(6,25)所以E(X)＝0×eq\f(4,75)＋1×eq\f(4,15)＋2×eq\f(11,25)＋3×eq\f(6,25)＝eq\f(28,15).15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，E(X)＝3，那么D(X)＝()A.eq\f(8,5) B.eq\f(6,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(2,5)B[由题意，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,m＋3))).又E(X)＝eq\f(5×3,m＋3)＝3，∴m＝2.那么X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,5)))，故D(X)＝5×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(6,5).]2．随机变量ξ的取值为0,1,2.假设P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，那么D(ξ)＝________.eq\f(2,5)[设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)×0＋eq\f(1,5)×1＝eq\f(2,5).]3．(2022·浙江名校模拟)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为eq\f(2,3)，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为eq\f(2,5)，中奖可以获得3分；未中奖那么不得分．每人有且只有一次抽奖时机，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)假设小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)假设小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【导学号：51062377】[解](1)由得，小明中奖的概率为eq\f(2,3)，小红中奖的概率为eq\f(2,5)，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3〞为事件A，那么事件A的对立事件为“X＝5〞.3分因为P(X＝5)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝eq\f(11,15)，即这2人的累计得分X≤3的概率为eq\f(11,15).6分(2)法一：设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，得分为Y1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，累计得分为Y2，那么Y1＝2X1，Y2＝3X2.由可得，X1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))，X2～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,5)))，9分所以E(X1)＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，E(X2)＝2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,5)，因此E(Y1)＝2E(X1)＝eq\f(8,3)，E(Y2)＝3E(X2)＝eq\f(12,5).12分因为E(2X1)＞E(3X2)，即E(Y1)>E(Y2)，所以他们都选择方案甲