第十章利用离散傅立叶变换的信号傅立叶分析课件

第十章利用离散傅立叶变换的信号傅立叶分析FourierAnalysisofSignalsUsingtheDiscreteFourierTransform10.0引言傅立叶变换应用的三个主要方面：〔1〕在理论上，作为一个数学工具 例〔2〕对系统，系统特性的表征和分析 例：系统的频率响应 表示系统对不同频率信号的响应〔输出〕

〔3〕对信号，信号的分析和特征〔提取〕信号的傅立叶分析------信号的频谱分析，分析信号中的频率成分信号中的频率成分------直接与信号的实际物理参数相关

如：语音信号的频率成分-----发声的物理器官，声腔的谐振〔识别与建模〕 机器设备振动信号的频率分析-----产生各种振动的部件，转子、轴承、齿轮、箱体的振动与谐振〔故障诊断〕 Doppler雷达系统的频率分析------频移表示目标的速度

〔3〕对信号，信号的分析和特征〔提取〕 例：语音信号〔3〕对信号，信号的分析和特征〔提取〕 例：语音信号表现语音的根本物理参数： 基音频率 共振峰频率语言的特征矢量Mel频率：假设干个特征频率段能量DFT------傅立叶变换的实际应用形式 信号分析的根底和核心讨论在具体实际应用中的一些问题〔注意〕：〔1〕离散〔时域、频域〕在DFT分析中的影响〔2〕实际的无限长信号的截断〔加窗〕〔3〕采样频率、数据长度、频域分辨率等参数选取〔4〕泄露误差、补零效应10.1用DFT的信号傅立叶分析回忆连续时间信号的离散傅立叶分析的处理步骤：w[n]------截断用的窗函数V[k]sc(t)?即：分析sc(t)，xc(t),x[n],v[n],w[n]之间的关系 以及它们各自的傅里叶变换之间的关系相应的频域表示：滤波后的连续信号与离散后的序列，频域的关系：由于实际的连续抗混叠低通滤波器Haa(jΩ)不可能是理想的，上式的周期叠加中有非零重叠-----混叠实际中采用：连续抗混叠低通滤波+过采样+数字低通滤波+降采样无限长有限长--------截断加窗

v[n]=w[n]x[n] 在频域表示卷积矩形窗截断的频域表示，时域加窗的频域效应-----平滑〔卷积效应〕加窗序列v[n]=w[n]x[n]的DFT表示：与序列的傅立叶变换V(ejω)之间的关系〔窗长=DFT长度〕：必须清楚两个关系问题： 〔1〕Xc(jΩ)，X(ejω)，V(ejω)，V[k]之间的关系 〔2〕频率变量Ω，ω，k之间的关系第一个问题其实：时域离散、时域加窗、频域离散第二个问题：Ω与ω------ω=ΩT ------频率归一化ω与k------ω=(2π/N)k ------频率离散化 Ω与k------------离散频率与原连续频率例10.1利用DFT作傅立叶分析连续带限信号：xc(t),其傅立叶变换Xc(jΩ)=0，当|Ω|≥2π〔2500〕假定Haa(jΩ)理想，采样频率为1/T=5000样本每秒〔即fs=5000Hz〕要求V[k]等于Xc(jΩ)的样本，且相邻样本间隔最多为2π〔10〕亦即，相邻k之间的频率间隔为10Hz------称频率分辨率ΔΩ，Δf问DFT的样本数N为多少？即，v[n]的长度=x[n]截取的长度 ΔΩ=Ωk–Ωk-1=2π/NT≤2π(10)有 N≥500取N=512-----Δf=9.77Hz考虑：采样频率、数据长度、频率分辨率之间的关系 〔在不产生混叠情况下〕

例10.2DFT值之间的关系采样频率:fs=1/T=5000Hz; 采样点数:N=512xc(t)为实数，假设V[11]=2000(1+j)，求其它的V[k]或Xc(jΩ)根据DFT的对称性，可知 V[N-k]=V*[k]可得k=11,501对应的连续频率其Xc(jΩ)的值注意近似表示的含义10.2正弦信号的DFT分析讨论加窗截断的影响，泄漏等误差10.2.1加窗的影响两个不同频率的连续正弦信号之和假定理想采样，没有混叠，得到的离散时间信号式中ω0=Ω0T，ω1=Ω1T加窗后的序列用复指数表示由频移特性，得加窗序列的傅立叶变换表示：在频率±ω0和±ω1处窗函数的傅立叶变换例10.3加窗对正弦信号傅立叶分析的影响采样频率fs=1/T=10kHz，矩形窗w[n]长度为64两个正弦信号的幅度和相位为 A0=1,A1=0.75;θ0=θ1=0为了说明根本特性，有意只给出傅立叶变换的幅度窗函数的傅立叶变换两个频率为的傅立叶变换幅度

两个频率为的傅立叶变换幅度两个频率为的傅立叶变换幅度两个频率为的傅立叶变换幅度加窗前序列 --------在频率±ω0和±ω1处的脉冲〔单一频率〕加窗后序列---------在频率±ω0和±ω1处窗函数的傅立叶变换结果：造成频谱之间的相互影响----泄漏〔leakage〕----泄漏误差泄漏也造成频率分辨率的降低原因：加窗截断泄漏大小：取决于窗函数分辨率窗函数W(ejω)的主瓣宽度窗的长度L泄漏窗函数W(ejω)的主瓣和旁瓣的相对幅度窗的形状矩形窗主瓣最窄，但旁瓣幅度最大Kaiser窗参数β和L可以调整主瓣宽度与旁瓣幅度根本特性：相对旁瓣幅度与窗长无关，只取决于β定义：主瓣幅度与最大旁瓣幅度之比〔dB〕=Asl有主瓣宽度与窗的长度成反比，主瓣宽度、相对旁瓣幅度和窗长之间的近似关系：10.2.2谱采样的影响等效于Xc(jΩ)在频率的样本〔采样〕例10.4谱采样影响的例如以上例两个不同频率的正弦信号之和为信号，其幅度、频率和相位分别为：A0=1,A1=0.75;ω0=2π/14,ω1=4π/15;θ0=θ1=0窗为矩形窗，长度L为64加窗后信号可表示为：DFT的实部、虚部、幅度和相位离散时间傅立叶变换的幅度k=32ω=πΩ=π/T最高分析频率

k:0～31Ω:0～π/T

k:32-64Ω:-π/T～0ω1=4π/15=2π/(8.533)/64

k=8～9ω0=2π/14=2π/(4.571)/64

k=4～5谱峰位于样本之间DFT的峰值并不一定对应于真实谱峰例10.5用与DFT频率一致的频率进行谱采样研究序列：窗仍为长度为64的矩形窗不同：正弦信号的频率与DFT的频率〔谱线频率k〕完全重合即， ω1=2π/8=2π8/64k=8 ω0=2π/16=2π4/64k=4谱采样的假象即除谱峰外，其它频率点均在零点上，而非零值只是没有采到而已。也称为栅栏效应该现象的另一称呼：整周期采样即信号是周期为N=64的周期信号考虑用补零的方法将v[n]扩展为一个128点的序列，对应的128点DFT为：此时，原来没有显示出来的谱值就显示出来了这种情况，加窗信号就不是周期为128的周期信号〔正弦信号〕补零真实意义的了解！例10.6加Kaiser窗时对正弦信号的DFT分析同例10.3的信号，用Kaiser窗截断，有选择窗参数β=5.48，对应的相对旁瓣幅度Asl=-40dB窗的长度L=64，时间波形为与加矩形窗的比较矩形窗Kaiser窗DFT幅值矩形窗Kaiser窗两个频率之差：ω1-ω0=2π/7.5-2π/14=0.389Kaiser窗的主瓣宽度〔β=5.48，L=64〕Δml=0.401两个主瓣〔在ω1和ω0〕仅有很少的重叠，可以清楚分辨。假设取窗长为L=32那么主瓣宽度将增加一倍，Δml=0.815，主瓣完全重叠，两个频率无法分辨32点的DFT讨论频率离散前面例子，DFT的长度N均等于窗的长度L，考虑不相等的情况对v[n]补零，表示窗长度不变，增加DFT长度但补零不能真正提高分辨率，分辨率只取决于窗的长度和形状例10.7用32点Kaiser窗和补零时的DFT分析用上题的窗，即L=32,β=5.48，并分别用不补零〔N=L〕，和补零〔N=64，128，1024〕的DFTN=L=32N=64N=128N=1024各种情况的包络都相同，即V(ejω)不提高实际分辨率补零尽管不能提高实际的分辨率，但它能减少频率样本的间距，使原来的包络能够完整地表示出来，尤其是对峰值的显示。例10.8对于频率估计的过采样和线性内插用Kaiser窗，

β=5