第四章节直线和平面两平面相对位置

第四章节直线和平面两平面相对位置

第四章

直线与平面、两平面的相对位置§4-1直线与平面平行•两平面平行§4-2直线与平面的交点•两平面的交线§4-3直线与平面垂直•两平面垂直

内容提要§4-4点、线、面综合题举例本章重点讨论的三个问题：1、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的平行问题。2、如果直线与平面及两平面不平行，在投影图上如何求其交点或交线。3、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的垂直问题。返回ABCEFabcefDd§4-1直线与平面平行•两平面平行

一、直线与平面平行

若一直线平行于某平面上的任一直线，则该直线与平面平行。

据此可以解决:1.作直线平行于已知平面2.作平面平行于已知直线3.判断直线是否于平面平行例题4.1试过点N作水平线MN平行于ΔABC平面分析作图b’abcna’c’n’XO1.在ΔABC平面上任作一水平线BD2.过点N作直线MN平行与直线BDdmm’d’直线MN即为所求例题4.2试过点A作平面ΔABC平行于直线MN分析作图1.作直线AC∥MN2.过点A任作直线ABΔABC即为所求b’cc’bmm’a’n’naXO例题4.3试判断直线EF是否平行于平面ΔABCb’abcea’c’e’XO分析作图在ΔABC平面上任作一辅助线CD,且使c’d’∥e’f’(或cd∥ef)2.求出ΔABC上的CD直线的另一投影cd(或c’d’)

因ef不平行cd故EF不平行与ΔABCff’d’dABCMNEFmnabce(f)

当直线与投影面垂直面平行时,则该直线必有一个投影与平面具有积聚性的那个投影平行,且在平面有积聚性的那个投影面上反映直线与平面间的真实距离。

当直线与平面同时垂直与同一投影面时,该直线必与该平面平行,且在它们垂直的那个投影面上反映它们之间的真实距离。线面平行的特殊情况mnabce(f)m’n’a’b’c’e’f’XO二、平面与平面平行

若一平面内两相交直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则这两平面相互平行。据此可以解决:1.作平面平行于已知平面2.判断两是否平面平行§4-1直线与平面平行•两平面平行

一、直线与平面平行ABCA1B1C1PQ例题4.4试作ΔEFG∥ΔABC平面e’b’abcea’c’XOff’g分析作图在ΔABC内作直线AM∥EF,MN∥FG(am∥ef,mn∥fg)2.求出AM,MN的正面投影mnm’n’3.过f’作e’f’∥a’m’、f’g’∥m’n’,则ΔEFG即为所求g’例题4.5判断ΔEFG与ΔABC平面是否平行gfabceg’b’c’e’f’a’XOb’c’平行g’f’但bc不平行gf例题4.5判断ΔEFG与ΔABC平面是否平行gfabceg’b’c’e’f’a’XOb’a’平行g’e’但ba不平行geb’c’平行g’f’但bc不平行gf因此，ΔEFG与ΔABC平面不平行例题4.6判断两平面是否平行dfgecbaa’f’g’d’b’c’e’h’h例题4.7判断两平面是否平行dfecbaa’f’d’b’c’e’a’c’平行d’f’但ac不平行df例题4.7判断两平面是否平行dfecbaa’f’d’b’c’e’a’c’平行d’f’但ac不平行dfb’c’平行d’e’但bc不平行de因此两平面不平行ABCGHEFefacbh

若两平行平面同时垂直于同一投影面,则它们在该平面上的积聚性投影必然相互平行,且反映两平行平面之间的真实距离。面面平行的特殊情况efacbhgh’f’g’e’b’a’c’§4-2直线与平面相交•两平面相交

直线与平面相交,必有一个交点,它是直线与平面的共有点。

平面与平面相交,必有一个交线,它是两平面的共有线。

求解交线的方法:1.作出交线上的两个共有点2.作出交线上的一个共有点及交线的方向求作交点或交线的过程:1.求出交点或交线的投影2.判别可见性§4-2直线与平面相交•两平面相交

一、利用积聚性求交点和交线1.一般位置直线与特殊位置平面相交ABCabcFEKfekb’a’c’bace’f’efb’a’c’bace’f’efkk’

作图步骤1.利用积聚性求出K点水平投影k2.利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k’3.判别可见性121’(2’)y1＞y2,即点Ⅰ在点Ⅱ前方，EK正面投影可见121’(2’)a’

b’c’bace’f’efkk’

作图步骤1.利用积聚性求出K点水平投影k2.利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k’3.判别可见性y1＞y2,即点Ⅰ在点Ⅱ前方，EK正面投影可见§4-2直线与平面相交•两平面相交

一、利用积聚性求交点和交线1.一般位置直线与特殊位置平面相交2.特殊位置直线与一般位置平面相交a’b’c’bace’(f’)efkk’d’d

分析EF在正面的投影有积聚性，故交点K的正面投影必与EF的正面投影重合，利用面上取点的方法可求出交点K的水平投影

作图a’b’c’ace’(f’)efkk’d’d§4-2直线与平面相交•两平面相交

一、利用积聚性求交点和交线1.一般位置直线与特殊位置平面相交2.特殊位置直线与一般位置平面相交3.特殊位置平面与一般位置平面相交kla’b’c’bace’f’efdd’k’l’VXOABCEDFcabefd

作图步骤1.利用积聚性求出KL的水平投影kl2.利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k’，l’3.判别可见性klKL121’(2’)kla’b’c’bace’f’efdd’k’l’§4-2直线与平面相交•两平面相交

一、利用积聚性求交点和交线1.一般位置直线与特殊位置平面相交2.特殊位置直线与一般位置平面相交3.特殊位置平面与一般位置平面相交二、利用辅助平面求交点和交线

一般位置直线与一般位置平面相交FEDMNdd’abfeb’a’e’f’BAMmnn’m’k’k作图判别可见性11’Z1＞ZM,AK的水平投影ak可见2’(3’)2YⅡ＞YⅢ,AK的正面投影a’k’不可见3dd’abfeb’a’e’f’FEDMNBAMmnn’m’k’k作图判别可见性11’Z1＞ZM,AK的水平投影ak可见2’(3’)2YⅡ＞YⅢ,AK的正面投影a’k’不可见3§4-2直线与平面相交•两平面相交

一、利用积聚性求交点和交线1.一般位置直线与特殊位置平面相交2.特殊位置直线与一般位置平面相交3.特殊位置平面与一般位置平面相交二、利用辅助平面求交点和交线

一般位置直线与一般位置平面相交

一般位置平面与一般位置平面相交三、利用辅助投影求交点和交线a’b’c’bace’f’efd’dd1’f1’e1’a1’b1’c1’n1’l1’lnn’l’作图步骤1.将△ABC变换为铅垂面2.求出交线的辅助投影l1’n1’3.求出交线的正面投影和水平投影4.判别可见性a’b’c’bace’f’efd’dd1’f1’e1’a1’b1’c1’n1’l1’lnn’l’1’(2’)123(4)3’4’1.YⅠ＞YⅡ,AB的正面投影可见2.ZⅢ＞ZⅣ,DF的水平投影可见n’a’b’c’bace’f’efd’dd1’f1’e1’a1’b1’c1’n1’k1’knn’k’1’(2’)123(4)3’4’k’dfgecbaa’f’g’d’b’c’e’1’2’23’3h’h例一求作两平面的交线并判断可见性nmcbaa’b’c’m’n’1’2’例二求作两平面的交线并判断可见性§4-3直线与平面垂直•两平面垂直

一、直线与平面垂直

若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。

据此可以解决:1.作直线垂直平面或平面垂直直线2.判断线面是否垂直作图举例:

若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。k’l’kl

若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。ha’cac’例题1：平面由Δ

BDF给定，试过定点K作平面的法线。h’返回KCFDBA在△BDF上作正平线DC和水平线AB2.作k’h’⊥d’c’;kh⊥abH例题2：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。e’f’efDC为正平线,判断m’n’是否垂直d’c’2.在平面内作水平线EF,判断mn是否垂直ef

直线MN不垂直给定平面例题3：试过定点S作一平面垂直于已知直线EF。e’s’OXeff’sSFENM

过S点分别作正平线SN、水平线SM,使水平SN⊥EFSM⊥EFn’nmm’§4-3直线与平面垂直•两平面垂直

一、直线与平面垂直二、平面与平面垂直

若一直线垂直于定平面则包含该直线的所有平面都垂直于该平面。据此可以解决:1.作平面垂直平面2.判断面面是否垂直实质问题是作面垂直例题4：平面由Δ

BDF给定，试过定点K作平面垂直Δ

BDF。ha’cah’c’m’m例题5：判断Δ

DEF、ΔGHK是否与Δ

ABC垂直。ghcabfdek’h’g’f’e’d’c’b’a’m’hmΔ

DEF⊥Δ

ABCΔ

GHK⊥Δ

ABC

§4-4点线面综合题举例

画法几何问题，归纳起来大体分为定位问题和度量问题两大类。（2）空间分析

轨迹分析法逆推法（4）解答分析（3）投影作图（1）题意分析

分析有哪些几何条件，有无几何元素在空间处于特殊位置，明确求解的几何元素或几何量。EF例题1

过点K作直线KS平行于三角形ABC并与直线EF相交。e’c’b’a’k