第八章绕流运动

第八章绕流运动§8.1无旋流动§8.2平面无旋流动§8.3几种简单的平面无旋流动§8.4势流的叠加§8.5

绕流运动与附面层基本概念§8.6

边界层动量方程§8.7平板层流附面层的近似计算§8.8平板上紊流附面层的近似计算§8.9曲面附面层的分离现象与卡门涡街§8.10绕流阻力和升力§8.1无旋流动 无旋流动就是其流场中每个流体微团不发生旋转，角速度，即一速度势函数有势流动（无旋流动）流体微团角速度，或得到所以上式成立，意味着在流动空间构成一个函数，满足全微分的充分必要条件，用Φ(x,y,z,t)表示，该函数的全微分为：

(1)

全微分存在的充分必要条件：若u=f(x,y,z,t)的各偏导数都存在且连续，则有

Φ函数的全微分（2）

比较（1）和（2）式，得到

（3）定义函数Φ(x,y,z,t)称为势函数，由Φ可计算得到速度，根据伯努利方程得到流场中压强的分布。速度势函数的特性

1势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影2

存在势函数的流动一定是无旋流动3等势面与流线正交4

不可压缩流体中势函数是调和函数

特性1

空间曲线s上任取一点M(x,y,z)，M点处流体质点速度分量为vx、vy、vz，取速度势函数的方向导数其中：，，而，，则速度的分量vx、vy、vz分别在曲线s的切线上的投影之和等于速度矢量本身的投影vs。速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速度分量。特性2

设对某一流动，存在势函数Φ(x,y,z,t)，流动的角速度分量类似的推出可见，流场存在速度势函数则流动无旋，因此流动无旋的充分必要条件势流场有速度势函数存在。特性3

等势面：在任意瞬时t0，速度势函数取同一值的点构成流动空间一个连续曲面，Φ(x,y,z,t0)=常数。在等势面上取一点A，并在该面上过A任取一微元矢量，求与点A处速度的标量积。因为Φ(x,y,z,t0)=C，所以dΦ=0得到这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的，又因为速度矢量与流线方向一致，推出流线与等势面垂直。

特性4不可压缩流体的连续性方程为

对于有势流动，，

即，满足Laplace方程。而满足Laplace方程的函数就叫做调和函数§8.2平面无旋流动 平面流动是指对任一时刻，流场中各点的速度都平行于某一固定平面的流动，并且流场中物理量（如温度、速度、压力、密度等）在流动平面的垂直方向上没有变化。即所有决定运动的函数仅与两个坐标及时间有关。在实际流动中，并不存在严格意义上的平面流动，而只是一种近似。如果流动的物理量在某一个方向的变化相对其他方向上的变化可以忽略，而且在此方向上的速度很小时，就可简化为平面流动问题处理。（图1）二流函数在平面流动中，不可压缩流动的连续性方程为或写成（4）（4）是–vydx+vxdy成为某一函数Ψ（x，y，t）全微分的充分必要条件，即（5）Ψ的全微分为（6）比较（5）和（6），得到

，符合上式条件的函数Ψ（x，y，t）叫做二维不可压缩流场的流函数。

流函数的特性1.沿同一流线流函数值为常数2.平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流线上的流函数的差值3.在有势流动中流函数也是一调和函数特性1s为坐标系XOY的任意一条流线，在s上任取一点作速度矢量，与流线相切，该点的微元流线段在x、y轴上的投影为dx、dy，在x、y轴上的投影为vx、vy

或由，得到在流线s上，Ψ的增量dΨ为0，说明沿流线Ψ（x，y，t）为常数，而流函数的等值线，即Ψ（x，y，t）=C就是流线。因此，找到流函数后，可以知道流场中各点速度，还可以画出流线。特性2

设Ψ1、Ψ2是两条相邻流线，作其间一曲线AB，求通过AB两点间单位厚度的流量。(见下图）在AB上作微元线段,过微元线段处的速度为，

,单位厚度的流量dq应为通过dx的流量vydx和通过dy的流量vxdy之和，（vy<0）沿AB线段积分，由于沿流线流函数为常数，因此

特性3对平面势流有将，代入上式得到即，满足Laplace方程。所以在平面势流中流函数也是调和函数。三流函数和势函数的关系在平面势流中有，

，交叉相乘得说明等势线族Φ(x,y,z,t)=C1与流函数族Ψ(x,y,z,t)=C2相互正交。在平面势流中，流线族和等势线族组成正交网格，称为流网。

极坐标(r,θ)中，径向的微元线段是dr，圆周的微元线段是rdθ，速度势函数Φ(r,θ,t)与vr、vθ的关系是，速度流函数Ψ(r,θ,t)与vr、vθ的关系是，速度势函数和流函数的关系是

，例1例2例3流线是一族以x轴和y轴为渐近线的双曲线，等势线是以直角平分线为渐近线的双曲线族。将x轴看成是固壁，并且只观察上半平面，则流动沿y轴垂直的自上而下流向固壁，然后在原点处分开，流向两侧。§8.3几种简单的

平面无旋流动一均匀流二点源和点汇三点涡一均匀流图2均匀流示意图二点源和点汇

图3a点源

图3b点汇三点涡

定义：流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度大小与向径r成反比的流动。又被称为自由涡。将坐标原点置于点涡处，设点涡的强度为，则任一半径r处流体的速度可由stokes定理得到,那么而求点涡的速度势函数和流函数

对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到：等势线是的线，流线是以坐标原点为圆心的同心圆。点涡的复势是或

图4点涡示意图§8.4势流的叠加势流叠加原理有两个流动，它们的速度分布函数、速度势函数、流函数、复势函数分别为、Φ1、Ψ1

、W1和、Φ2

、Ψ2

、W2，由于和都满足线性Laplace方程，可以将和分别进行叠加。将两流动合起来的复合流动，其相应量分别为、Φ

、Ψ

、W，存在以下关系：因此流动变成n个，同样将n个流动叠加，复合流动的相应量定义：叠加多个流动时，所得合成流动的复势即为分流动的复势的代数和，此即势流的叠加原理。一螺旋流—点汇（源）+点涡

流动形式为流体自外沿圆周切向进入，又从中间不断流出。点汇的复势为点涡的复势为将两者叠加后得到的新流动的复势为得到新流动的速度势函数和流函数的表达式为

令上式等于常数，可以得到等势线方程流线方程等势线和流线为相互正交的对数螺旋线簇，称为螺旋流。点汇+点涡→阴螺旋流点源+点涡→阳螺旋流图5螺旋流示意图二偶极子流—点源+点汇

将源点设于A点（-a,0），汇点于B点（a,0），强度都为q，点源的复势为点汇的复势为将点源和点汇叠加后的新流动的复势为若源点和汇点无限接近，即,如果强度不变时，汇点将源中流出的流体全部吸掉而不发生任何流动。

若在2a逐渐缩小时，强度q逐渐增强，当2a减小到零时，q应增加到无穷大，以使保持一个有限值，即，在这一极限状态下的流动称为偶极子流，M是偶极矩，方向从点源到点汇。偶极子流的复势为或新流动的速度势函数和流函数分别为

求等势线方程和流线方程1．等势线方程由于，有得到整理后等势线方程为表示一族圆心在x轴上，并与y轴在原点相切的圆2．流线方程由于，有得到整理后得流线方程为表示一族圆心在y轴上，并与y轴在原点处相切的圆。图6偶极子流示意图圆柱体绕流

设有一速度为的均匀流，从与圆柱体垂直的方向绕过一半径为r0的无限长圆柱体，这样的流动看成是平面流动。均匀流绕过圆柱体时，由于受到圆柱的阻挡，绕过柱体附近的流体质点受到扰动，偏离原来的直线路径，而离柱体越远，扰动越小，在无穷远的地方，完全不受扰动，作均匀流动。圆柱体绕流可以分为两种情况。

一圆柱体无环量绕流二圆柱体有环量绕流

图7绕无穷长圆柱的流动一圆柱体无环量绕流由均匀流和偶极子流叠加而成的平面流动。

1.势函数和流函数均匀流和偶极子流的复势分别为根据势流叠加原理，均匀流和偶极子流叠加形成的新流动的复势为

那么速度势函数和流函数分别为

(1)

代入得到直角坐标下的速度势函数和流函数（2）令，即得到零流线方程为零流线是一个以坐标原点为圆心，半径的圆周和x轴，零流线到A处分成两股，沿上下两个半圆周流到B点，又重新汇合。将代入方程（1）中，那么均匀流绕过圆柱体无环量绕流的势函数和流函数可以写成

（）（3）图8均匀流绕过圆柱体无环量的流动12．速度分布流场中任意一点P（x，y）的速度分量为（4）在或处，，，这说明在无穷远处流动变成均匀流。在极坐标系中，速度分量为沿包围圆柱体的圆形周线的速度环量为均匀流绕过圆柱体的平面流动的速度环量等于零，故称为圆柱体无环量绕流。当时，在圆柱面上，速度分布为（5）

说明，流体沿圆柱表面只有切向速度，没有径向速度，符合流体既不穿入又不脱离圆柱面的实际情况。在圆柱面上速度是按照正弦曲线分布的，在（B点）和（A点）处，，A、B二点是分流点，也称为驻点。在处，达到最大值，，即等于无穷远处来流速度的2倍。3.压力分布圆柱面上任意点的压力，可以由Bernoulli方程计算将圆柱表面的速度分布(5)代入上式得到

(6)如采用压力系数来表示，根据Bernoulli方程定义将ｐ代入上式，得到用Ｃｐ表示流体作用于物体表面上的压力是无量纲量，与圆柱体半径、均匀流速度无关，只与表面位置有关。图9压强系数沿圆柱面的分布4.合力从压力分布看出，在圆柱面上压力对称于ｘ轴、ｙ轴，那么柱面上合力等于０。流体作用在圆柱体上的总压力分解成ｘ、ｙ方向上的分力Ｆｘ、Ｆｙ，分别为与来流平行和垂直的作用力，称为流体作用在柱体上的阻力Ｄ和升力Ｌ。有（７）理想流体的均匀流绕过圆柱体的无环量绕流中，圆柱体不受阻力和升力作用。事实上，实际流体由于粘性作用，绕过圆柱产生摩擦力，而且在圆柱绕流后面部分形成脱流和尾迹，流动图形和理想流体绕流截然不同。就是说，在实际流体绕流圆柱体中，会产生阻力。二圆柱体有环量绕流在前面无环量绕流基础上，让圆柱体以等角速度绕其轴心旋转，形成有环量绕流。

1.势函数和流函数设定圆柱顺时针旋转。有环量绕流是由均匀流、偶极子流、点涡叠加而成，其复势分别为

(8)叠加后的复势为其速度势函数和流函数分别为

(9)

2.速度分布流场中任一点P(r,θ)处的速度为

(10)当时，，即的圆周是一条流线，圆柱面上速度分布为

(11)

这说明流体与圆柱体没有分离现象，只有沿着圆周切线方向的速度。当时，，，说明在远离圆柱体处流体为均匀流。

当点涡的强度时，在圆柱体的上部环流的速度方向与均匀流的速度方向相同，而在下部则相反。叠加的结果在上部速度增高，而在下部速度降低，这样就破坏了流线关于x轴的对称性，使驻点A和B离开了x轴，向下移动。为了确定驻点的位置，令(11)中，得到驻点的位置角为

(12)若，则，圆柱面上的两个驻点左右对称，并位于第三和第四象限内，且A、B两驻点随值的增加而向下移动，并互相靠拢。若，则，圆柱面上不存在驻点，驻点脱离圆柱面沿y轴向下移到某一位置。令(10)中的和，得到两个位于y轴上的驻点，一个在圆柱体内，另一个在圆柱体外。事实上，只有一个在圆柱体外的自由驻点A，全流场由经过驻点A的闭合流线划分为内、外两个区域，外部区域是均匀流绕过圆柱体有环量的流动，在闭合流线和圆柱面之间的内部区域自成闭合环流，但流线不是圆形的。如果叠加的点涡强度，驻点的位置与上面讨论的情况正好相差180°。由此可见，驻点的位置不简单取决于，而取决于。图10均匀流绕过圆柱体有环量的流动3.压力分布将圆柱面上的速度分布(11)代入Bernoulli方程，得到

(13)4.合力圆柱体上取一微元线段，单位长度上圆柱体所受到的力，力沿x和y轴方向上的分量为

沿整个圆柱面进行积分得到

(14)将圆柱面压强(13)代入上式，得到说明圆柱有环量绕流的阻力为零。

（15）

这就是库塔-儒可夫斯基升力公式。从上面的分析可以看出理想流体有环量圆柱绕流时，作用于单位长度圆柱体上的合力垂直于均匀来流，大小等于流体密度、来流速度和速度环量三者的乘积。升力的方向由来流速度的方向沿环量的反方向旋转90°确定。

图11升力的方向§8.5

绕流运动与附面层

基本概念

用N-S方程可以得到小雷诺数流动条件下的近似解，工程上涉及到大雷诺数流动，要寻求新的近似方法。在实际流体绕流固体时，固体边界上的流速为0，在固体边界的外法线方向上的流体速度从0迅速增大，在边界附近的流区存在相当大的速度梯度，在这个流区内粘性作用不能忽略，边界附近的流区称为边界层（或附面层），边界层外流区，粘性作用可以忽略，当作理想流体来处理。如图，平板前方均匀来流的速度v∞，从平板前缘开始形成边界层，其厚度沿流增加。在边界层外缘附近流速渐近于当地外流速度。认为边界层厚度是沿表面法线方向从到的一段距离。边界层定义：绕流物体表面上一层厚度很小且其中的流动具有很大法向速度梯度的流动区域。注意：对于平板绕流，边界层外缘，对于弯曲固壁，边界层外缘。

边界层的外边界线与流线不重合，外流区域中的流体质点可以连续地穿过边界层的外缘进入边界层内。§8.6

边界层动量方程

流体绕流中作用在物体上的力可以分为垂直于来流方向的升力和平行于来流方向的阻力，绕流阻力可以分成摩擦阻力与形状阻力，都与边界层有关。绕流阻力作用表现在于边界层内流速的降低，引起动量的变化。通过建立边界层的动量方程来研究摩擦阻力。沿物体的曲面取x轴，沿物体表面法线取y轴，在物体表面取边界层微元段ABCD，把它放大，x轴便成为直线，线段BD长为dx，AC为边界层外边界，AB、CD垂直于物体表面。假设：①

不计质量力②

流动为定常流动③

dx无限小，BD、AC可看成直线由动量方程（1）MCD、MAB、MAC分别为单位时间内通过CD、AB、AC面的流体动量在x轴上的分量，∑Fx为作用在微元面积段上所有外力合力在x轴上的投影。由控制面AB沿x方向流入动量（2）由控制面CD沿x方向流出动量（3）由控制面AC沿x方向流入动量（4）

因为，所以边界层内边界就是物体表面，其流速为0，其压强等于边界层外边界的压强，即沿物体表面的法线y方向压强不变，p与y无关，可用全微分代替偏微分，上式可写作（5）将（2）、（3）、（4）、（5）代入（1）得到（6）方程（6）就是边界层积分方程，由冯·卡门首先推导出来的，称作卡门动量积分方程。§8.7平板层流附面层的近似计算

边界层动量方程当时，有5个未知量，其中的v∞用前面的势流理论求解，p由伯努利方程计算，还剩下、、3个未知量，补充2个方程，一是边界层内流速分布的关系式，二是切应力与边界层厚度的关系式。后者根据流速分布的关系式求解得到。通常在计算边界层动量积分方程时，先假定流速分布。这里将就如何应用动量积分方程求解平板绕流作介绍。在二维定常均速流场中，在流动方向上放置一极薄的光滑平板，平板前端取作坐标原点，平板表面为x轴，来流速度v∞平行于平板。由于平板极薄，边界层外部的流动不受平板的影响，因此边界层外边界上流速处处相等，等于来流速度v∞。由于流速不变，边界层外边界上压强p也处处相等，。对于不可压缩流体，平板绕流边界层动量方程可写成：（1）该方程适用于层流和紊流边界层。设定平板上为层流边界层，首先补充边界层流速分布关系式，假定层流边界层内的流速分布与管流中的层流速度分布相同，即应用于层流边界层，流速分布为或（2）补充第二个关系式，由牛顿内摩擦定律，求平板上的切应力

上式中负号表示切应力和x轴的方向相反，用其绝对值（3）把（2）、（3）代入（1）对于某固定断面是定值可提到积分号之外，v∞沿x方向不变，可以提到对x的全导数之外，最后得到沿x方向的变化关系式当，时，，因此上式化简为（4）方程（4）是平板边界层厚度沿s方向的变化关系式。把（4）代入（3）（5）（5）为平板层流边界层的切应力沿x方向的变化关系式。作用在平板一面上的总摩擦阻力Df为（6）b为平板宽度，L为平板厚度。求平板两面的总摩擦阻力只需乘以2。通常将绕流摩擦阻力计算公式写成下列形式（7）Cf—无因次摩擦阻力系数；A—平板面积。将（6）和（7）对照得到即（8）ReL是以板长L为特征长度的Re数，（8）适用范围3×105<ReL<106。§8.8平板上紊流

附面层的近似计算

假定整个平板上都是紊流边界层，首先补充边界层流速分布关系式，紊流边界层内的流速分布用圆管中紊流光滑区的速度分布，即应用到紊流边界层，速度分布为（9）切应力借用圆管关系式（10）将（9）和（10）代入（1），积分得到当，时，，因此（11）把（11）代入（10）得到（12）平板一面的摩擦阻力为用表示，得到（13）注意：实验表明，将上式中的0.072改成0.074效果要好些与层流边界层相比，Re增加时，紊流的Cf减小得要慢些，（13）适用范围3×1