2003考研数三真题及解析

2003年入学统一考试数学三试6424分，请将答案写在答题纸指定位置上f(xf(x)

x

若x若x

其导函数在x0处连续，则的取值范围 已知曲线yx33a2xb与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2 设a0f(x)g(x)a若0x1D If(x)g(yx)dxdy= .D设n维向量a,0,,0a)Ta0E为nAETBE1T，其中A的逆矩阵为B，则a a设随量X和Y的相关系数为0.9,若ZX0.4，则Y与Z的相关系数.X2的指数分布，X1X2,XnXn时

1ini

X2依概率收敛 6424分，下列每小题给出的四个选项中，只有f(xf(0g(x)

f x在x0处左极限不存在 (B)有跳跃间断点x0(C)在x0处右极限不存在 (D)有可去间断点x0设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是 f(x0,y)在yy0处的导数等于零 (B)f(x0,y)在yy0处的导数大于零

f(x0,y)在yy0处的导数小于零

f(x0yyy0处的导数不存在anan

，qn

，n1,2,，则下列命题正确的是 anan 若an条件收敛，则pn与qn都收敛

若an绝对收敛，则pn与qn都收敛

ab(C)若an条件收敛，则pn与qn敛散性都不定

(D)若an绝对收敛，则pn与qn敛散性都不定

设三阶矩阵A

b，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 aba2b0aba2b0(C)aba2b0aba2b0设1,2,,s均为n维向量，下列结论不正确的是 若对于任意一组不全为零的数k1k2,ksk11k22kss01,2,,s线性无关若1,2,,s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1k2,ksk11k22kss1,2,,s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为1,2,,s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关将一枚硬币独立地掷两次，引进：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、各出现一次}，A4={正面出现两次}，则(

A1,A2,A3相互独立

A2A3A4相互独立

A1,A2,A3两两独立

A2A3A4两两独立[(8分[设f(x)1

,x[1,1)试补充定义f(1)使得f(x)在 sin续

(1 (8分f(uv

2

2

1

g(x,y)f

12

y

)]2求

2y2(8分)

Ie(x2y2)sin(x2y2DDxy)x2y2n六、(9n求幂级数1

x1f(x及其极值七、(9分F(x)f(x)g(x),f(xg(x在(,)f(x)g(x)，g(x)

f(xf(0)0

f(x)g(x)2exF(xF(x的表达式.八、(8分)f(x在[0，3]上连续，在(0，3)f(0f(1f(23,f(31试证：必存在0,3f()九、(13分(a1b)x1a2x2a3x3anxnax(ab)xaxax1

3 na1x1a2x2(a3b)x3anxn a1x1a2x2a3x3(anb)xnnn其中ai

a1a2an和b方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系十、(13分设二次型f(xxx)XTAXax22x22x22bx

(b0) 1ab十一、(13分设随量X的概率密度 若xf(x)

x2 F(X)是X的分布函数.求随量YF(X)的分布函数十二、(13分设随量X与Y独立，其中X的概率分布 2X~ 而Y的概率密度为f(y)，求随量UXY的概率密度g(u)2003年入学统一考试数学三试题解【答案】【详解】xf(xxcosf(0)limf(x)f(0) xlimx1cos10

x

要使该式成立，必须limx10，即1.当x(, (0,)时f(x)x1cos1x2sin f(x)0x0limf(x)limx1cos1x2sin1f(x)

x0

x 由该式得出2.f(xx0处右连续的充要条件是2【答案】4a【详解】设曲线与x轴相切的切点为(x,0)，则 0.而y3x23a2，有3x2 y0(x轴上)x33a2xb0 bx33a2xx(x23a2) 所 b2x2(3a2x2)2a24a44a6 【答案】a【详解】本题积分区域为全平面，但只有当0x1,0yx1 If(x)g(yx)dxdy a2dxdy=a2 dya2[(x1)x]dx 0y

【详解】这里Tn阶矩阵，而T2a2ABE进行计算并注意利AB(ET)(E1T)=ET1T1TT ET1T1(T)T=ET1T E(12a1)TEa于是有12a10a

2a2a10a1a2

a0a【答案】DXa)DX，CovX,Ya)CovX,Y)ZXZ与Y的协方差也不会变，因此相关系数也不Cov(Y,Z)Cov(Y,X0.4)E[(Y(X0.4)]E(Y)E(XE(XY)0.4E(Y)E(Y)E(X)0.4E(YDZDX

E(XY)E(Y)E(X)Cov(X,Y)又Cov(YZ)CovX,YDYDZDYDZDXDY

Cov(X,Y

1【答案】2【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随X1X2,Xn1 p1n

i

EXi(nX2X2X2 iiEX2ii

)2=14

21 因此根据大数定律有

1

X21

EX21niin n nii【答案】【详解】1f(xf(00g(x)

f(x)g(xxx0x0g(xg(xg(xx0limg(xlimf(xlimf(xf(0导数的定f(0存在

xx02f(xxg(x=x1,x0可排除A)(B)(C 0,x【答案】f(x,y在点(x0y0f(x,y在点(x0y0都存在，又由二元函数极值的必要条件即得f(x,y)在点(x0y0)处的两个偏导数都等于零．从而有dfdf(x0,y)y

(x,y)(x0,y选项Aan【答案】anpn

，qn

，知0anan

，0

若an绝对收敛，则an收敛.pn与qn

与qn仅差一个系数，故qn也收敛，选 【分析】A1A2，由此可确定ab【详解】方法1：根据A与其伴随矩阵A秩之间的关 rA

rAn0rAn0( A b(a (a2b)(ab)2a2b0或ab．ab时， b211 A

显然秩A12，故必有ab且a2b0．应选 rA方法2：根据A与其伴随矩阵A秩之间的关系rA*00

rAn1rAnrA*1rA2.A作初等行 b211 A

babA的秩为1，与秩A2，不合题意(排除(A)、(B))ab，这时 a2b0，且ab时，秩(A)=2(A):若对于任意一组不全为零的数k1k2,ks则1,2,,s必线性无关.

k11k22kss0，因为若1,2,,s线性相关，则存在一组不全为零的数k1k2,ksk11k22kss0 (A):1,2,,s线性相关，则存在一组(而不是对任意一组不全为零的)k1k2,ks，都有k11k22kss

1,2,,s线性无关，则此向量组的秩为s；反过来，若向量组1,2,,s秩为s，则1,2,,s线性无关，因此(C)成立1,2,,s线性无其任一部分组线性无关则其中任意两个向量线性无关【评注】原命题与其逆否命题是等价的．例如，原命题：若存在一组不全为零的数k1k2,ks，使得k11k22kss0成立，则1,2,,sk1k2,ksk11k22kss0，则1,2,,s【分析】

A,B 相互独立的充要条件：PABPAA,B,C三相互独立的充要条件ABC两两相互独立；(ii)PABCPAPB【详解】1：PA1PA1PA1PA1 PAA1，PAA1，PAA1，PAA1，PAAA01

1

2

2

12PA1A2PA1PA2，PA1A3PA1PA3，PA2A3PA1A2A3PA1PA2PA3，PA2A4PA2PA4A1A2A3A2A3A4不两两独立更不相互独立，应选(C)．方法2：由三相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立．可见(A)不正确，因为如果正确，则(C)(B)也不正确.因此只要检查(C)和PAAAP0PAPAPA1123

f(x在1,1f(xx1

f(x)2

limf(x)lim[1

x1

sin

1

]1lim(1x)sin

sin

(1x)sin令u1xx1u0limf(x)1limusin(1

usin(11

usin(1

1limusin(1 u0u(sincosucossin

usin1limusin(1u)1limcos(1

1

22

=10= f(1)1，从而有limf(x1f(1f(xx1f(x在1f(x在2

四zf[(xy),(xy1(x2y2)

1(x2y2)

u 2g

2

2

2

2 xx

yu2yuvxvxuvyv2y2xyy2xy2g22fxfy22 x

2

22

x

y

uv

22 2

22

v2 2 2

(x2y2

2

2y2

2

2

2

2

)=

2y2

xrcos,yrsin，有Ie(x2y2)sin(x2y2)dxdyee(x2y2)sin(x2y222 22e

sinr2rdr

d

sin

t

etsin Aetsintdt0

2 Aetsintdtetdcostetcostetcostdt e1etdsinte1etsintetsintdt=

1因 A

2

)，I

2

(1e)

(1e).六【分析】(1)和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即(2)

xn1xx2xn1

n

(1x【详解】先对和函数f(x)1 求 f(x)(1)nx2n1x(1)nx2n2x(1)n x(x2)nx x0x

1

1xf(t)dtx dtf(x)f(0)1ln(1x2 01t f(0)1，得f(x)11ln(1x2 (x2f(xf(x)1

x21f(x)0x0．由于

1f(x)

1，

f(0)1(1x2f(xx0f(0)F(xF【详解】(1)1F(x)f(x)g(xF(x)f(x)g(x)f(x)g(x)=g2(x)f2[f(x)g(x)]22f(x)g(x)=(2ex)22FF(xF(x)2F(x)4e2xF(0)f(0)g(0)02F(x)f(x)g(x)F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)=[f(x)]2[f(x)g(x)]22ff(xg(x)2ex

f(xg(x2exf(x)g(xg(x)

f(xF(x)4e2x2f(x)g(x)4e2xF(xF(x)2F(x)4e2xF(0)f(0)g(0)dyP(xyQ(xyeP(x)dx

Q(x)eP(x)dxdxC 所 F(x)e2dx[4e2xe2dxdxC]=e2x[4e4xdx

=e2xCe2xF(0)0代入上式，得01CC1所 F(x)e2xe2x)在一点c[03f(c)1条件f(0f(1f(23等价

f(3)，然后在[c,3]上应用定理即可f(0)f(1f(2)11f(x3【详解】1：f(x在[0，3]f(x在[0，2]上连续，则在[0，2]上必有M和最小值m(连续函数的最大值最小值定理)，于是mf(0)M，m

f(1)M，m

f(2)M三式相 3mf(0)f(1)f(2)3M从 m

f(0)f(1)f(2)1M3由介值定理知，至少存在一点c[0,2f(c)f(0)f(1)f(2)3因为f(c)f(3)1，且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，由定理知，必存在c,3)(0,3，使f()0.方法2：f(0f(1f(23f(0),f(1),f(2)中至少有一个等于1f(2)1，则在区间[2,3]上对f(x)使用定理知，存在(0,2)(0,3)f()

f(0),f(1),f(211111，由连续函数的介值定理知，在区间(0,2)内至少存在一点使f()1．在区间[,3]对f(x)用定理知，存303f()0a1a2A a3annbnbbbnna2 na3bnan(bai111a211a3an(b

nn

n= (b= (ba10b0000b0000bniA0，即b0且bai0时，秩An当b0A0a1x1a2x2anxnnn由

0可知，ai(i1,2,n不全为零．不妨设a1012(a2,1,0,,0)T12

(a3,0,1,,0)T

(an,0,0,,1)Tan1annn当baiA0.这时b0naa n n aa n

n nA

a3

nn

anai naa n 0nn a a 0nnnai nin

00ainain annaann从第2行到第n行 in同乘以1倍n

0 0 1 将第i行的(ai)倍1 i2, ,

. x2x1x3x1，xnx1．可求出abA的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(1)fA

b 0

A的特征值为i(i12,3123a11a22a33a2(2)

4a2b2 解得a1b2(2)A EA

(2)2(3)0 A的特征值1223 对于

解齐次线性方程组(2EA)x0，系数矩阵为 0， 4 (2,0,1)T，(0,1,0)T

对于3解齐次线性方程组(3EA)x0系数矩阵为 0得

3(1,0,2)T3

由于1,2,3已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将1,2,3单位化25151251515252323

1

)T

(0,1,0)T，

)T2515 2515

0 255则QXQY QTAQ

0