正多边形和圆的关系

关于正多边形和圆的关系第1页，共33页，2023年，2月20日，星期四正多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

AB=BC=CD=DE=EA∠A=∠B=∠C=∠D=∠E如正五边形满足的条件是第2页，共33页，2023年，2月20日，星期四正n边形：

如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。第3页，共33页，2023年，2月20日，星期四想一想：菱形是正多边形吗？矩形和正方形呢?为什么？第4页，共33页，2023年，2月20日，星期四3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n

条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。几种常见正多边形的性质及对称性4.它们是中心对称图形吗？

1、正多边形的各边相等2、正多边形的各角相等3、它们有几条对称轴？第5页，共33页，2023年，2月20日，星期四你知道正多边形和圆有什么关系吗？正多边形和圆第6页，共33页，2023年，2月20日，星期四··第7页，共33页，2023年，2月20日，星期四·正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.定义OABDEFG说出图中正多边形的中心，半径，中心角，边心距，COG正多边形的边心距就是内切圆半径。中心０既是外接圆的圆心也是内切圆的圆心。思考：正多边形的半径是外接圆半径。那么，正多边形的内切圆半径是（用图中线段表示）第8页，共33页，2023年，2月20日，星期四给你一个圆，怎样就能作出一个正多边形？圆中依次出现几段相等的弧正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.第9页，共33页，2023年，2月20日，星期四如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.∴∠A=∠B.

·ABCDEO同理∠B=∠C=∠D=∠E.又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,∴五边形ABCD是⊙O的内接正五边形,⊙O是五边形ABCD的外接圆.1：我们以圆内接正五边形为例证明.第10页，共33页，2023年，2月20日，星期四⌒⌒⌒123ABCDE4⌒⌒5如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形

弦相等（多边形的边相等）弧相等—

圆周角相等（多边形的角相等）多边形是正多边形第11页，共33页，2023年，2月20日，星期四2.各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形.·A1A２A３A４A５A６A７AnO先说A1第12页，共33页，2023年，2月20日，星期四我们在以前学过了那些正多边形？请同学们找出它们的中心，画出它们的半径，边心距和中心角！（等边三角形，正方形等）第13页，共33页，2023年，2月20日，星期四EFCD..O中心角ABG边心距把△AOB分成2个全等的直角三角形设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.Ra第14页，共33页，2023年，2月20日，星期四例有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).解:如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此,亭子地基的周长l=4×6=24(m).在Rt△OPC中,OC=4,PC=利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积OABCDEFRPr第15页，共33页，2023年，2月20日，星期四请同学们完成下表中有关正多边形的计算正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积

3

4

6160°90°120°120°90°60°242212821第16页，共33页，2023年，2月20日，星期四抢答题：1、O是正圆与

圆的圆心。△ABC的中心，它是△ABC的2、OB叫正△ABC的

，它是正△ABC的

圆的半径。

3、OD叫作正△ABC的，它是正△ABC的圆的半径。ABC

.OD外接内切半径外接边心距内切第17页，共33页，2023年，2月20日，星期四4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的

;5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的

.ABCD.OE中心边心距第18页，共33页，2023年，2月20日，星期四6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的，它是正五边形ABCDE的圆的半径。7、∠AOB叫做正五边形ABCDE的角，它的度数是DEABC.OF边心距内切中心72°第19页，共33页，2023年，2月20日，星期四8、图中正六边形ABCDEF的中心角是它的度数是9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？

BAEFCD.O∠AOB60°第20页，共33页，2023年，2月20日，星期四3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D连接OB，则OB=R在Rt△OBD中∠OBD=30°,边心距＝OD=·ABCDO\BC=2

BD=3R在Rt△OBD中由勾股定理得：BD=OB2-BD2=R2-

()2=32RS△ABC

=－BC×AD=

－

×3R×－

R=R23.34322121第21页，共33页，2023年，2月20日，星期四解：连接OB，OC

作OE⊥BC垂足为E，∠OEB=90°∠OBE=∠BOE=45°在Rt△OBE中为等腰直角三角形·ABCDOE第22页，共33页，2023年，2月20日，星期四

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。

120°①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．AOCB活动1怎样画一个正多边形呢？问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.第23页，共33页，2023年，2月20日，星期四活动2你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？·ABCDO·ABCDEOOABCDEF·90°72°60°第24页，共33页，2023年，2月20日，星期四活动3你能尺规作出正四边形、正八边形吗？·ABCDO只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……第25页，共33页，2023年，2月20日，星期四FADE.︶︶︶︶︶︶60o将圆六等分，即作一60度的圆心角，连接等分点得一正六边形。怎样将圆六等分？想一想：怎样画一正六边形？活动4第26页，共33页，2023年，2月20日，星期四活动5你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？OABCEF·D

以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.

先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………第27页，共33页，2023年，2月20日，星期四活动6

说说作正多边形的方法有哪些?归纳（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．第28页，共33页，2023年，2月20日，星期四达标检测：1、判断题。①各边都相等的多边形是正多边形。（）②一个圆有且只有一个内接正多边形。（）2、证明题。求证：顺次连结正六边形各边中点所得的多边形是正六边形。ABCDEF××第29页，共33页，2023年，2月20日，星期四正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。第30页，共33页，