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文档简介

第十五章

选讲内容

第一节几何证明选讲（选修4-1）

✎考纲解读

1.了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.

2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.

3.会证明并应用相交线定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线

定理.

4.了解平行投影的含义、通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平

面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.✎知识点精讲一、平行截割定理1.平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条（与这组平行线相交的）直线上截得的线段也相等.②推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰.

2.平行截割定理及其推论

①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例.

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例.

二、相似三角形

1.相似三角形的判定

①判定定理：

两角对应相等的两个三角形相似.

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

三边对应成比例的两个三角形相似.

②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.③直角三角形相似的特殊判定：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.

2.相似三角形的性质

相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

3.直角三角形射影定理

直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积.三、圆的切线1.切线的性质及判定①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.②切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.2.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等.四、相交弦定理

圆的两条相交弦，被交点分成的两段的积相等.

五、切割线定理

从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项.

六、圆内接四边形

1.圆内接四边形性质定理：圆内解四边形对角互补.

2.圆内接四边形判定定理：

①如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.

②若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆.✎题型归纳及思路提示题型158

相似三角形【例15.1】如图所示，已知

求证：【解析】证法一：因为

所以所以

故

又与同向，由等角定理知

由得

证法二：因为

所以

，故

所以

即

所以

故

即

所以图15-7

题型159相交弦定理、切割线定理及其应用

【例15.3（2）】如图所示，

于点，以为直

径的圆与交于点则【解析】（2）在

中，由射影定理得

由切割线定理得

所以

，故选图15-14题型160四点共圆

【例15.6】如图所示，

分别为的边

上的点，且不

与

的顶点重合.已知长为，长为，的长是

关于方程

的两个根.

证明：

四点共圆.

【解析】连接

，根据题意在和

中，

即

又

，

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