第八章阻抗和导纳

8.1正弦量的基本概念1.正弦量瞬时值表达式：i(t)=Imcos(wt+y)波形：tiO/T周期T(period)和频率f(frequency):频率f：每秒重复变更的次数。周期T：重复变更一次所需的时间。单位：Hz，赫(兹)单位：s，秒正弦量为周期函数

f(t)=f(

t+kT)正弦电流电路激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或沟通电路。（1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有特别重要的地位。探讨正弦电路的意义：1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数优点：2）正弦信号简洁产生、传送和运用。（2）正弦信号是一种基本信号，任何变更规律困难的信号可以分解为按正弦规律变更的重量。对正弦电路的分析探讨具有重要的理论价值和实际意义。幅值

(amplitude)

(振幅、最大值)Im(2)角频率(angularfrequency)ω2.正弦量的三要素tiO/T(3)初相位(initialphaseangle)yIm2t单位：rad/s

，弧度/秒反映正弦量变更幅度的大小。相位变更的速度，反映正弦量变更快慢。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。i(t)=Imcos(wt+y)同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。ti0一般规定：||。=0=/2=－/2例已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1ti010050t1解由于最大值发生在计时起点右侧3.相位差设u(t)=Umcos(wu

t+yu),i(t)=Imcos(w

i

t+yi)则相位差：j=(wu

t+yu)-(wi

t+yi)j>0，u超前ij

角，或i落后uj

角(u比i先到达最大值)；

j<0，

i超前

uj

角，或u滞后

ij

角,i比

u先到达最大值。tu,iu

iyuyijO同频率正弦量的相位差等于初相位之差规定：|

|(180°)j=yu-

yij＝0，同相：j=(180o)

，反相：特殊相位关系tu,iu

i0tu,iu

i0=p/2：u领先ip/2,不说u落后i3p/2；i落后up/2,不说

i领先u3p/2。tu,iu

i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。例计算下列两正弦量的相位差。解不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。4.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上接受有效值来表示。周期电流、电压有效值(effectivevalue)定义R直流IR交流i电流有效值定义为有效值也称均方根值(root-meen-square)物理意义同样，可定义电压有效值：正弦电流、电压的有效值设

i(t)=Imcos(t+)同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一沟通电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；U=380V，

Um537V。（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平常应按最大值考虑。（2）测量中，沟通测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。注8.2正弦量的相量表示1.问题的提出：电路方程是微分方程：两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。+_RuLCii1I1I2I3wwwi1+i2i3i2123角频率：有效值：初相位：因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，tu,ii1

i20i3正弦量复数实际是变换的思想复数A的表示形式AbReIma0A=a+jbAbReIma0|A|2.复数及运算两种表示法的关系：A=a+jbA=|A|ejq

=|A|q

直角坐标表示极坐标表示或复数运算则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——接受代数形式若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReIm0AbReIma0|A|图解法(2)乘除运算——接受极坐标形式若A1=|A1|1，A2=|A2|2除法：模相除，角相减。例1.乘法：模相乘，角相加。则:解下页上页返回例2.(3)旋转因子：复数

ejq

=cosq+jsinq=1∠qA•ejq

相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把ejq

称为旋转因子。解AReIm0A•ejq下页上页返回若两个复数实部相等，虚部数值相等，符号相反，称为共轭复数。故+j,–j,-1

都可以看成旋转因子。几种不同值时的旋转因子ReIm0下页上页返回造一个复函数对A(t)取实部：对于随意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数A(t)包含了三要素：I、、w，复常数包含了I

,

。A(t)还可以写成复常数无物理意义是一个正弦量有物理意义3.正弦量的相量表示下页上页返回称为正弦量i(t)

对应的相量。相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知例1试用相量表示i,u.解下页上页返回在复平面上用向量表示相量的图例2试写出电流的瞬时值表达式。解相量图q下页上页返回4.相量法的应用(1)同频率正弦量的加减故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。i1i2=i3可得其相量关系为：下页上页返回例也可借助相量图计算ReImReIm首尾相接下页上页返回2.正弦量的微分，积分运算微分运算:积分运算:下页上页返回例Ri(t)u(t)L+-C用相量运算：相量法的优点：（1）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3）可以把直流电路的分析方法干脆用于沟通电路；下页上页返回注①正弦量相量时域频域②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法用来分析正弦稳态电路。N线性N线性w1w2非线性w不适用正弦波形图相量图下页上页返回8.3元件和电路定理的相量形式1.电阻元件VCR的相量形式时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系相位关系R+-URu相量关系：UR=RIu=i下页上页返回瞬时功率：波形图及相量图：

itOuRpRu=iURI瞬时功率以2交变。始终大于零，表明电阻始终吸取功率同相位下页上页返回时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型jL+-相量关系：有效值关系：

U=wLI相位关系：u=i+90°

2.电感元件VCR的相量形式下页上页返回电流滞后电压90°

感抗的物理意义：(1)表示限制电流的实力；(2)感抗和频率成正比；wXL相量表达式:XL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)BL=1/L=1/2fL，

感纳，单位为S感抗和感纳:下页上页返回功率：t

iOuLpL2瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好相互抵消，表明电感不消耗功率。i波形图及相量图：电压超前电流900下页上页返回时域形式：相量形式：相量模型iC(t)u(t)C+-+-有效值关系：

IC=wCU相位关系：i=u+90°

相量关系：3.电容元件VCR的相量形式下页上页返回电流超前电压90°

XC=1/wC，

称为容抗，单位为

(欧姆)BC=wC，

称为容纳，单位为S

频率和容抗成反比,0，|XC|

直流开路(隔直)w，|XC|0高频短路(旁路作用)w|XC|容抗与容纳：相量表达式:下页上页返回功率：t

iCOupC2瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好相互抵消，表明电容不消耗功率。u波形图及相量图：电流超前电压900下页上页返回4.基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的全部正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路全部支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。下页上页返回例1试推断下列表达式的正、误：L下页上页返回8.4阻抗和导纳1.阻抗正弦稳态状况下Z+-无源线性+-单位：阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式当无源网络内为单个元件时有：R+-Z可以是实数，也可以是虚数C+-L+-2.RLC串联电路由KVL：LCRuuLuCi+-+-+-+-uRjLR+-+-+-+-Z—复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；|Z|—复阻抗的模；z

—阻抗角。转换关系：或R=|Z|coszX=|Z|sinz阻抗三角形|Z|RXjz分析R、L、C串联电路得出：（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jz为复数，故称复阻抗（2）wL>1/wC，X>0，j

z>0，电路为感性，电压领先电流；相量图：选电流为参考向量，三角形UR、UX、U称为电压三角形，它和阻抗三角形相像。即zUXjL’R+-+-+-等效电路wL<1/wC，

X<0，jz<0，电路为容性，电压落后电流；wL=1/wC，X=0，j

z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。zUXR+-+-+-等效电路R+-+-等效电路例已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解其相量模型为：LCRuuLuCi+-+-+-+-uRjLR+-+-+-+-则UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。-3.4°相量图注3.导纳正弦稳态状况下Y+-无源线性+-单位：S导纳模导纳角对同一二端网络:当无源网络内为单个元件时有：R+-C+-L+-Y可以是实数，也可以是虚数4.RLC并联电路由KCL：iLCRuiLiC+-iLjLR+-Y—复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；

|Y|—复导纳的模；y—导纳角。转换关系：或G=|Y|cosyB=|Y|siny导纳三角形|Y|GBy（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠jy数，故称复导纳；（2）wC>1/wL，B>0，y>0，电路为容性，电流超前电压相量图：选电压为参考向量，y分析R、L、C并联电路得出：三角形IR、IB、I称为电流三角形，它和导纳三角形相像。即RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象IBwC<1/wL，B<0，y<0，电路为感性，电流落后电压；y等效电路R+-wC=1/wL，B=0，jy=0，电路为电阻性，电流与电压同相等效电路jL’R+-等效电路R+-5.复阻抗和复导纳的等效互换一般状况G1/RB1/X。若Z为感性，X>0，则B<0，即仍为感性。注GjBYZRjX同样，若由Y变为Z，则有：GjBYZRjX例RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并联电路。解RL串联电路的阻抗为：0.06mH50L’R’例A1A2A0Z1Z2已知电流表读数：A1＝8AA2＝6AA0＝?A0＝I0max=?A0＝I0min=?解A0＝A1A2＝?下页上页返回例+_15Wu4H0.02Fi解相量模型j20W-j10W+_15W下页上页返回例+_5WuS0.2Fi解相量模型+_5W-j5W下页上页返回例j40WjXL30WCBA解下页上页返回例图示电路I1=I2=5A，U＝50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。-jXC+_R-jXLUC+-解也可以画相量图计算令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下页上页返回-jXC+_R-jXLUC+-下页上页返回例图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与电源电压/3，问R、C应如何选择。解1也可以画相量图计算-jXC+_R+-下页上页返回8.5阻抗（导纳）的串联和并联Z+-分压公式Z1+Z2Zn－1.阻抗的串联分流公式2.导纳的并联Y1+Y2Yn－Y+-两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：例求图示电路的等效阻抗，＝105rad/s

。解感抗和容抗为：1mH301000.1FR1R2例图示电路对外呈现感性还是容性？。解1等效阻抗为：33－j6j45解2用相量图求解，取电流2为参考相量：33－j6j45＋＋＋－－－例图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条件及-jXC－R－＋＋Ruou1-jXC解设：Z1=R－jXC,Z2=R//jXC8.6正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：可见，二者依据的电路定律是相像的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。结论1.引入相量法，把求正弦稳态电路微分方程的特解问题转化为求解复数代数方程问题。2.引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而干脆列写相量形式的代数方程。3.引入阻抗以后，可将全部网络定理和方法都应用于沟通，直流（f=0)是一个特例。例1:R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2R2+_R1画出电路的相量模型求:各支路电流。已知：解Z1Z2R2+_R1列写电路的回路电流方程和节点电压方程例2.解+_LR1R2R3R4C+_R1R2R3R4回路法:节点法:+_R1R2R3R4方法一：电源变换解例3.Z2Z1ZZ3Z2Z1Z3Z+-方法二：戴维南等效变换ZeqZ+-Z2Z1Z3求开路电压：求等效电阻：例4求图示电路的戴维南等效电路。j300+_+_5050j300+_+_100＋_解求短路电流：例5用叠加定理计算电流Z2Z