第六-节-多元函数的极值及其求法

【实例】某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，假如本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出705x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出进价：1元售价：x元进价：1.2元售价：y元收益：x1元/瓶收益：y1.2元/瓶播放二、多元函数的极值和最值⑴【实例】1、【二元函数极值的定义】⑵【二元函数极值的定义】【例1】椭圆抛物面(1)(2)(3)【例2】【例3】圆锥面双曲抛物面（马鞍面）2、【多元函数取得极值的条件】【证】仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点可偏导函数极值点【问题】如何判定一个驻点是否为极值点？【留意】驻点极值点举例二元函数极值的判定定理【解】（此为隐函数的极值问题）（1）有界闭区域上的连续函数求最值的一般方法将函数在D内的全部驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、【二元函数的最值】分为(1)

有界闭区域上的连续函数求最值(2)实际问题求最值【解】如图,【解】由【例6】(夹逼准则)（2）实际问题求最值实际问题中，若据问题的性质，知道最值确定在D的内部取得，而在D内只有一个驻点，则可断定该驻点处的函数值就是实际所求的最值【例7】某厂要用铁板做成一个体积为2m3

的有盖长方体水箱。问长、宽、高各取怎样的尺寸，才能用料最省.【解】水箱用材料面积为即目标函数即在定义域内有唯一驻点例8某公司在生产中运用甲、乙两种原料，已知甲和乙两种原料分别运用x单位和y单位可生产Q单位的产品，且已知甲原料单价为20元/单位，乙原料单价为30元/单位，产品每单位售价为100元，产品固定成本为1000元，求该公司的最大利润。解：设L表示该公司的利润，则其中x>0,y>0。由方程组求得唯一驻点(5,8)。所以L(x,y)在(5,8)处取得极大值L(5,8)=16000，从而是最大值，即该公司的最大利润为16000元。无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.三、条件极值拉格朗日乘数法［实例］小王有200元钱，他决定用来购买两种急需的物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数，每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．［问题的实质］求在条件下的极值．(1)【无条件极值】对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件。1、【无条件极值与条件极值】y盒录音磁带单价：10元x张磁盘单价：8元(2)【条件极值】对自变量有附加条件的极值。［条件极值的求法］法Ⅰ:化为无条件极值如教材例5和补例5法Ⅱ:拉格朗日乘数法对三元以上的函数特殊有用2、【拉格朗日乘数法】拉格朗日乘子（乘数）【总结—拉格朗日乘数法】称为拉格朗日函数⑵乘数法的推广（条件与自变量均多于两个的状况）【解】则例10

设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为x和y（单位：千件），利润函数为已知生产这两种产品时，每千克产品均需消耗某种原料2000kg，现有该原料12000kg，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大利润为多少？解：依题设有约束条件2000(x+y)=12000,即x+y=6.所以该问题就是在x+y=6的条件下求利润函数L(x,y)的最大值，为此设拉格朗日函数为多元函数的极值拉格朗日乘数法—条件极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结［条件极值的求法］法Ⅰ:化为无条件极值法Ⅱ:拉格朗日乘数法【思索题】【思索题解答】二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值二、多元函