（江苏专用）2023版高考数学专题复习专题5平面向量第33练平面向量综合练练习文

PAGEPAGE3〔江苏专用〕2022版高考数学专题复习专题5平面向量第33练平面向量综合练练习文训练目标(1)向量知识的综合运用；(2)向量与其他知识的结合．训练题型(1)向量与三角函数；(2)向量与解三角形；(3)向量与平面解析几何；(4)与平面向量有关的新定义问题．解题策略(1)利用向量解决三角问题，可借助三角函数的图象、三角形中边角关系；(2)解决向量与平面解析几何问题的根本方法是坐标法；(3)新定义问题应对条件转化，化为学过的知识再求解.1．(2022·常州模拟)平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，假设|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，那么eq\f(x1＋y1,x2＋y2)＝________.2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．3．(2022·南通、连云港、扬州、淮安三模)在平行四边形ABCD中，假设eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝3，那么线段AC的长为________．4．不共线向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，假设eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，那么点(x，y)的轨迹方程是____________．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为边BC的中点，点F在边CD上，假设eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，那么eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是________________．6．假设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|a＋b|≤2a·b，那么cos(α－β)的值是________．7．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝tanA，那么当A＝eq\f(π,6)时，△ABC的面积为________．8．(2022·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1,3，点B，C分别在m，n上，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，那么eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最大值是________．9．定义一种向量运算“⊗〞：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·b，当a，b不共线时，,|a－b|，当a，b共线时))(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出以下结论：①a⊗b＝b⊗a；②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)；③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；④假设e是单位向量，那么|a⊗e|≤|a|＋1.以上结论一定正确的选项是________．(填上所有正确结论的序号)10．m，x∈R，向量a＝(x，－m)，b＝((m＋1)x，x)．(1)当m＞0时，假设|a|＜|b|，求x的取值范围；(2)假设a·b＞1－m对任意实数x恒成立，求m的取值范围．答案精析1．－eq\f(2,3)2.43.eq\r(3)4.x＋y－2＝05.eq\r(2)解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,2)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1)，设eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x,2)，0≤x≤eq\r(2)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)x＝eq\r(2)，解得x＝1，所以F(1,2)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(1－eq\r(2)，2)，于是eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\r(2).6．1解析由|a＋b|≤2a·b可得a·b≥0，两边平方得2＋2a·b≤4(a·b)2，即(2a·b＋1)(a·b－1)≥0，所以a·b＝cos(α－β)≥1，又由余弦函数的值域可得cos(α－β)＝1.7.eq\f(1,6)解析A＝eq\f(π,6)，由题意得|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|coseq\f(π,6)＝taneq\f(π,6)，那么|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|·sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).8.eq\f(21,4)解析设P为BC的中点，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，从而由|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5得|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)，又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·(eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))2－eq\o(PB,\s\up6(→))2＝eq\f(25,4)－eq\o(PB,\s\up6(→))2，因为|eq\o(BC,\s\up6(→))|≥2，所以eq\o(PB,\s\up6(→))2≥1，故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))≤eq\f(25,4)－1＝eq\f(21,4)，当且仅当|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2时等号成立．9．①④解析当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②是错误的；当a＋b与c共线时，那么存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的选项是①④.10．解(1)由题意得|a|2＝x2＋m2，|b|2＝(m＋1)2x2＋x2.因为|a|＜|b|，所以|a|2＜|b|2，从而x2＋m2＜(m＋1)2x2＋x2.因为m＞0，所以(eq\f(m,m＋1))2＜x2，解得x＜－eq\f(m,m＋1)或x＞eq\f(m,m＋1).即x的取值范围是(－∞，－eq\f(m,m＋1))∪(eq\f(m,m＋1)，＋∞)．(2)a·b＝(m＋1)x2－mx.由题意，得(m＋1)x2－mx＞1－m对任意的实数x恒成立，即(m＋1)x2－mx＋m－1＞0对任意的实数x恒成立．当m＋1＝0，即m＝－1时，显然不成