测量不确定度基础知识精

关于测量不确定度基础知识精第1页，共53页，2023年，2月20日，星期五(一).测量不确定度有关概念

测量不确定度—与测量结果相关联的一个参数，用以表征合理地赋予被测量之值的分散性。通常用标准差（u）表示

不确定度评定中常用名词标准不确定度：用标准偏差表示的测量结果不确定度。不确定度的A类评定：对观测列进行统计分析以评定不确定度的方法。不确定度的B类评定：评定标准不确定度的非统计分析方法。合成标准不确定度：当结果由若干其它量得来时，按其他各量的方差和协方差算得的标准不确定度。测量结果中的不确定度，并未包括未识别的系统效应的影响。当结果由若干其它量得来时，该测量结果的标准不确定度等于这些量的方差和协方差加权的正平方根，权的大小取决于这些量的变化及测量结果影响的程度。第2页，共53页，2023年，2月20日，星期五

扩展不确定度：确定测量结果区间的量，期望测量结果以合理地赋予的较高置信水平包含在此区间内。包含因子：为获得扩展不确定度，作为合成不确定度乘数的数字因子（亦有称覆盖因子、扩展因子）包含区间：基于可获得的信息，能赋予某量的值所处的区间，该区间与一定高的概率相联系。置信水平（包含概率）：与包含区间相联系的概率。第3页，共53页，2023年，2月20日，星期五

(二).不确定度的主要来源1).被测量的定义不完善2).复现被测量的定义的方法不理想3).抽样的代表性不够4).赋予计量标准的值或标准物质的值不准5).引用的数据或其它参量不准6).测量方法和测量程序的近似性和假定性7).测量仪器的分辩力或鉴别力不够8).对模拟仪器的读数存在人为偏离9).对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善10).在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化第4页，共53页，2023年，2月20日，星期五(三).测量不确定度评定方法1).确定被测量和测量方法测量原理、环境条件、所用仪器设备、测量程序和数据处理等。2).建立数学模型所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和物理模型（测量方案），用一个函数关系将测量过程模型化，以确定被测量与有关量之间的函数关系。一个被测量可能依赖若干个有关量，为此，先要识别出所有被测的输入量，然后通过数学模型（函数关系），用所有的已知输入量计算输出量（最终的待测量）。只有评定了所有各输入量的不确定度，才能给出被测量值（输出量）的不确定度。建立物理模型和相应的数学模型，实际上就给出了被测量值的不确定度主要来源。如果对被测量不确定度有贡献的分量未包括在数学模型中，应特别加以说明，如环境因素的影响。第5页，共53页，2023年，2月20日，星期五3).求被测量的最佳估值不确定度评定时对测量结果的不确定度评定，而测量结果应理解为被测量之值的最佳估计。

4).确定各输入量的标准不确定度

包括不确定度的A类评定和B类评定。

5).确定各个输入分量标准不确定度对输出量的标准不确定度的贡献

由数学模型对各输入量求偏导数确定灵敏系数，然后由输入量的标准不确定度分量求输出量对应的标准不确定度分量。

6).求合成标准不确定度利用不确定度传播率，对输出量的标准不确定度分量进行合成。第6页，共53页，2023年，2月20日，星期五

7).求扩展不确定度根据被测量的概率分布和所需的置信水准，确定包含因子，由合成标准不确定度计算扩展不确定度。

8).报告测量结果的不确定度报告测量不确定度时，必须给出测量结果。最终不确定度的修约是直接进位，而不是舍去。如下图所示第7页，共53页，2023年，2月20日，星期五(四).测量不确度的评定流程建立数学模型求最佳值B类评定评定扩展不确定度列出各不确定度分量的表达式求出合成不确定度A类评定不确定度报告第8页，共53页，2023年，2月20日，星期五

1.数学表达式

被测量(输出量)y与各输入量的函数关系为:

2.求最佳值

(1).求各输入量的最佳值

1).等精度测量测试条件不变、精度相等的测量。

`若对某量进行一系列等精度测量的测得值有:

则其测量结果最佳值为算术平均值应予修正第9页，共53页，2023年，2月20日，星期五

2).不等精度测量

在不同的条件下或不同的测量次数下所进行的精度不等的测量。测量结果最佳值为加权算术平均值

式中:____各测量值的权,与各自方差成反比，

c为系数,一般取1第10页，共53页，2023年，2月20日，星期五(2).求被测量(输出量)y的最佳值1).函数关系只有一个输入量的直接测量，即

Y=cxx的最佳值就是y的最佳值2).

函数关系有几个输入量的间接测量，即被测量y是通过测量各输入量而求得则可：

（1）先求出被测量y的各分量的估计值

,然后求平均值（2）或先求出各输入量

的最佳值，再求出y的最佳值

3).对于组合测量，被测量y需用最小二乘法求出最佳值。第11页，共53页，2023年，2月20日，星期五

3.不确定度A类评定用对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度

(1).求各输入量的单次测量标准差随机变量x在相同条件下进行n次独立测量，其(测量列)标准偏差采用贝塞尔公式计算。式中：——该输入量n次测量的算术平均值

——该输入量每个测量值的残差

(2).求各输入量的算术平均值的标准差值可作为实验室该测量能力的A类评定值

(测量列)的实验标准差随着测量次数的增加而趋于一个稳定的数值；平均值的标准偏差则将随着测量次数的增加而减小。第12页，共53页，2023年，2月20日，星期五例原子吸收法测量某样品的铁含量测量次数测量值(%)残差(%)测量次数测量值(%)残差(%)10.420.01690.400.00420.430.026100.430.02630.400.004110.420.01640.430.026120.410.00650.420.016130.39-0.01460.430.026140.39-0.01470.39-0.014150.400.00480.30-0.104平均值0.404

测量结果平均值为:

测量列标准差为:平均值标准差为:第13页，共53页，2023年，2月20日，星期五不确定度A类评定几点说明①如果为客户所做的某项测量不是实验室的常规测量，则不确定度的A类评定应随该项测量实时进行。但实验室常常是在类似的条件下，用相同的设备相同的方法，在常规基础上做基本类似性质的测量。在这种情况下，通常不需要每次测量都进行A类标准不确定度评定，可以直接引用预先评定的结果。对随机变量x根据n个测量结果的有限样本所估计的标准偏差sest，就是对整体样本的标准差σ（x）的估计值。如果随后的测量只作几次测量（典型情况是n′＝3），而且将n′次测量的平均值作为结果提供给客户，则应由原先的实验获得的标准差除以次数n′的平方根，以求得算术平均值的实验标准差u(x)。第14页，共53页，2023年，2月20日，星期五如果为用户测量只作m次,则该测量结果A类评定值为：如果为用户测量只作单次,则该测量结果A类评定值应是原先估计的标准差乘上修正因子,若k取1，则为：T------学生分布修正因子如果评定实验室测量能力时,n=10次,取k=1时,T=1.06;如果评定实验室测量能力时,n=5次,取k=1时,T=1.14;

实际测量结果A类评定值必须是测量列标准差除予为用户测量实际的次数m第15页，共53页，2023年，2月20日，星期五标准差对应测量次数的修正因子T

nk=1k=2k=3

nk=1k=2k=331.322.27121.051.131.2841.201.663.07131.041.121.2551.141.442.21141.041.111.2361.111.331.84151.031.101.2171.091.261.63161.031.091.2081.081.221.51171.031.091.1891.071.191.43181.031.081.17101.061.161.36191.031.081.16111.051.141.32201.031.071.15第16页，共53页，2023年，2月20日，星期五

某实验室事先对某一电流量进行n＝10次重复测量，测量值列于下表。计算得到单次测量的估计标准偏差s（x）＝0.074mA。①在同一系统中在以后做单次（n′＝1）测量，测量值x＝46.3mA，求置信概率68%时的标准不确定度u（x）。②在同一系统中在以后做3次（n′＝3）测量，mA，求置信概率68%时的标准不确定度u（x）。

[解]①对于单次测量，则标准不确定度：

测量结果为46.3mA

②

对于3次测量，则计算得到3次测量平均值的标准不确定度：

0.043mA，测量结果为45.4mA

表3.3对某一电流量进行n＝10次重复测量的测量值次数12345678910平均值测量值mA46.446.546.446.346.546.346.346.446.446.446.39第17页，共53页，2023年，2月20日，星期五

②合并样本标准差采用贝塞尔公式计算实验标准差，如果测量次数太少，其本身就有较大的不确定度。如果测量系统比较稳定，而又无法在重复条件下增加测量次数，为了获得可靠的实验标准差，在规范测量中，可以采用合并样本标准差的方法得到可靠的测量列单次测量的标准差。

例如：测量m组（或m台）相同的样本，每组进行n独立测量，其合并样本的方差等于各组样本方差的平均值。其中

或每组平均值的标准差为：第18页，共53页，2023年，2月20日，星期五

如果各组测量次数不同，则合并样本的方差，等于各组样本方差与其自由度乘积的和除于总自由度，即为：

其中—j组自由度（测量次数减1）显然，采用合并样本标准差的方法，自由度比各组测量自由度大为增加，在不增加各组测量次数情况下，可以得到更为可靠的测量列单次测量的标准差。第19页，共53页，2023年，2月20日，星期五

③

日常校准工作，不必对每个受检点都要进行多次测量、进行不确定度A类评定。可选择变动性最大或标准差对不确定度合成影响最大的受检点，例如：仪器仪表准确度以绝对误差表示的，一般可对该量程最大检定点进行多次测量，计算标准差，用以代表该量程各检定点；仪器仪表准确度以相对误差表示的，一般可对该量程最小检定点进行多次测量，计算相对标准差，用以代表该量程各检定点；④当对某些样品无法进行多次测量（如破坏性测量）时，也可以测量多个均匀样品，得到测量列，计算标准差，用以代表该测量系统的分散性。⑤如果测量无法作A类评定或评定不充分（A类评定结果很小），应评定设备分辨率的影响，二者取大者，但不得重复。⑥若技术规范规定的测量方法有重复性限r，而重复实验结果又满足它的要求，则可用r/2.83作为A类评定。第20页，共53页，2023年，2月20日，星期五⑦测量列中离群值的剔除

测量过程如果出现突发事件或人为疏忽，测量列中可能出现异常值，它的存在将歪曲测量结果，应予以剔除。判别异常值的方法很多，这里介绍两种。

1.莱因达准则——如果测量列中某最大残差，则剔除该值重新计算。

2.格拉布斯准则——如果测量列中某最大残差，则剔除该值重新计算。取值见下表，n为测量次数，α为显著性水平，σ为单次测量标准差。测量次数n

g(α,n)值α

=0.01α=0.05测量次数n

g(α,n)值

α=0.01α=0.05测量次数n

g(α,n)值

α=0.01α=0.0531.151.15122.552.29212.912.5841.491.46132.612.33222.942.6051.751.67142.662.37232.962.6261.911.82152.702.41242.992.6472.101.94162.742.44253.012.6682.222.03172.782.47303.102.7492.322.11182.822.50353.182.81102.412.18192.852.53403.242.87112.482.24202.882.56503.342.96第21页，共53页，2023年，2月20日，星期五原子吸收法测量某样品的铁含量测量次数测量值(%)残差(%)测量次数测量值(%)残差(%)10.420.01690.400.00420.430.026100.430.02630.400.004110.420.01640.430.026120.410.00650.420.016130.39-0.01460.430.026140.39-0.01470.39-0.014150.400.00480.30-0.104平均值0.404该例中，由15个测量值计算得到单次测量标准差σ为0.033%。残差最大。用莱因达准则判别：，，应将第8测量值剔除，然后对剩下的14个测量值重新计算，直至没有异常值。或用格拉布斯准则判别：取0.05显著性水平，取值为2.41，则:

显然同样要剔除第8测量值。注意:剔除异常值每次只能剔除一个；测量次数太少时不宜用莱因达准则判别。第22页，共53页，2023年，2月20日，星期五各被测量A类标准不确定度评定步骤运算说明数学公式1对所有测量结果进行修正（修正已识别的系统效应）2计算修正后的测量结果的平均值。即修正后的测量结果之和被测量次数n除（如果忽略了步骤1,则应补加修正）3对每一个测量结果求残差，即将每一个结果减去其平均值4对每一个残差求平方和，再求残差平方和除以测量次数n减1。其结果称为方差V。5取正平方根给出一组测量列的标准偏差6计算平均值的标准偏差，参加标准不确定度合成若有离异值，则事先予以剔除如果有几个输入量，也可以先计算输出量合成标准偏差，然后参加标准不确定度合成第23页，共53页，2023年，2月20日，星期五

4.不确定度的B类评定用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度可用信息以前的测量数据有关资料与仪器特性的知识和经验制造厂的技术说明书校准或其它证书与技术文件提供的数据引自手册的标准数据及其不确定度规定实验方法的技术文件所给出的重复性限或复现性限…….根据经验和有关信息或资料,先分析该B类不确定度分量的置信区间半宽a,以及包含因子k,则该分量为:B类不确定度少不了测量仪器引进的因素,可参考下表计算。第24页，共53页，2023年，2月20日，星期五B类不确定度分量信息例分量来源分布半宽a包含因子k校准证书给出设备的U、p正态

U校准证书给出设备U、k正态

Uk校准证书给出设备U、p、

t分布

U检定证书给出“等”，查检定系数表U、p

U检定证书给出“级”，则最大允许误差AA若两次检定值之差d,则稳定性d均匀d/2仪器、仪表分辨率δ

均匀

δ/2两次测量重复性限r正态r/r/2两次测量复现性限R正态

R/R/2单测检验限R

t

分布

R查单测检验温度系数不对称均匀第25页，共53页，2023年，2月20日，星期五化学领域不确定度评定应注意的主要问题1.不确定度主要来源取样存储条件仪器的影响试剂纯度假设的化学反应定量关系测量条件样品的影响计算影响空白修正随机影响(包括操作人员的影响)。

有必要考虑分析过程偏离所预期的化学反应定量关系，或反应的不完全或副反应。空白修正的不确定度。在痕量分析中尤为重要。第26页，共53页，2023年，2月20日，星期五线性：残余的线性偏差通常是在计算覆盖几个浓度的总体精密度估计值或校准有关的不确定度中充分考虑。检出限：在方法确认中，通常确定检出限只是为了建立一个方法实际操作区间的下限。检出限（无论它是如何确定的）与测量不确定度的评估没有直接关系。可以使用该实验室以前的研究（包括确认研究）数据来直接评估该实验室的不确定度。2.方法偏差经验方法用于其指定领域时，其方法偏差只和实验室的操作相关，不应额外考虑。经验方法通常作为协同研究对象，当所有已识别的不确定度来源(如取样、预处理、样品基体的变化等)已包括在确认研究中，或经证明可以忽略不计时，则复现性标准偏差SR

,可以作为合成标准不确定度使用。第27页，共53页，2023年，2月20日，星期五测量质量的不确定度源

不确定度

原因

确定方法

典型值天平校准不确定度校准的有限准确度将校准证书上不确定度转换成标准偏差四位数0.5mg字天平线性ⅰ)在校准过的砝码范围内实验ⅱ)制造商给出的技术指标约为末位有效数字的1/2分辨阈显示器或刻度分辨率由末位有效数字而定1/2末位有效数字除于√3日漂移诸多因素(包括温度等)长期核查称重的标准偏差,

约为末位有效数字的1/2称重重复性诸多因素连续样品或核查称重标准差

约为末位有效数字的1/2密度效应（日常条件下）校准砝码与样品的密度不同导致空气浮力不同根据材料已知或假设的密度以及典型大气条件来计算钢、镍1×铝2×有机固体（5—10）*水6.5×碳氢化合物9×密度效应（在真空）同上计算空气浮力,并从校准砝码数值中修正浮力效应100%水+0.1%(效应)10%镍<1mg(效应)第28页，共53页，2023年，2月20日，星期五测量液体体积的不确定度源

不确定度分量

原因

确定方法

典型值例子

数值校准不确定度校准的有限准确度如制造商给出或技术标准规定该级的玻璃容器允差为±a,则a为半宽10ml(a为

0.2%)温度玻璃容器使用温度与校准温度不同导致体积的差异如校准玻璃容器的标准温度为T,实验时实验室温度为T±,为液体膨胀系数。水的为；有机液体的为。（相对于液体，玻璃膨胀效应影响可忽略）100ml的水重复性变化诸多因素影响连续核查推出体积的标准偏差(用称重的方法)24ml移重复移液管液/称重

第29页，共53页，2023年，2月20日，星期五测量标准物质浓度的不确定度源不确定度分量原因

确定方法典型值例子数值

纯度不纯则降低该标准物质的实际数量,活性不纯则干扰测量制造商在证书上给出(标准证书通常给出无法定量的限值),可按均匀分布处理。若未给出杂质的值，为建立干扰限等，可能需做检验或做另外的修正。给出标准邻0.1/√3苯二甲酸氢钾=0.06%的保证值为99.9±0.1%定值浓度证书给出标准物质浓度的不确定度制造商在证书上给出(标准证书通常给出无法定量的限值),可按均匀分布处理。给出4%醋酸溶液中醋酸镉的保证值为：相对标准(10000±2)差为mg/L

0.0012用标准物质配制的浓度标准值和中间各步骤的不确定度合成合成前面各步骤的值作为全过程的不确定度分量（用相对值RSD表示）经三次稀释醋酸镉浓度由1000mg.0.5mg.第30页，共53页，2023年，2月20日，星期五测量标准物质浓度的不确定度源不确定度分量

原因

确定方法

例子数值纯度不纯则降低该标准物质的实际数量,活性不纯则干扰测量制造商给出(标准证书通常给出限值),可按均匀分布处理。若未给出杂质的值，为建立干扰限等，可能需做检验或做另外的修正。给出标准邻0.1/√3苯二甲酸氢=0.06%钾保证值为99.9±0.1%定值浓度证书给出标准物质浓度的不确定度制造商在证书上给出(标准证书通常给出无法定量的限值),可按均匀分布处理。给出4%醋酸溶液中醋酸相对标准镉保证值为差为：(10000±2)0.0012mg.

用标准物质配制的浓度标准值和中间各步骤的不确定度合成合成前面各步骤的值作为全过程的不确定度分量（用相对值RSD表示）经三次稀释醋酸镉浓度由1000mg.=0.0030.5mg.第31页，共53页，2023年，2月20日，星期五取样的不确定度源不确定度分量原因

确定方法典型值例子数值均匀性不均匀物质的二级抽样,通常不能正确代表整批样品。注：随机抽样一般产生零偏差。有必要核查抽样是否是随机的。ⅰ）不同的二级抽样结果的标准偏差（如果是非均匀性，则比分析准确度大）ⅱ）从已知或假设的总体参数所估算的标准偏差例如从两项从72份被污非均匀性的染和360份面包中抽样未被污染的整体中抽样15份,RSD=0.58是随机抽样典型第32页，共53页，2023年，2月20日，星期五测定吸光率和萃取回收率的不确定度源测定内容不确定度分量

原因

确定方法

典型值

例子数值

吸光度仪器校准

重复性校准不确定度诸多因素将校准证书给出的限值换算成标准偏差。重复测量计算得出标准偏差或QA性能如7次重复测平均值量吸光度读标准差数，计算得u=S=1.63=0.62

萃取回收率平均回收率回收率的重复性变化萃取很少是完全的，可能加入或包含干扰物。诸多因素回收率可从相当的标准物质或代表性添加物的百分比回收率来计算。从回收率实验的平均值标准差得到不确定度。重复实验的标准偏差如面包中农药的回收率，=4.3%经42次实验，(RSD为平均值90%0.048)

，S=28%成对平行实验RSD为数据得到面包0.31中农药回收率该分量是指与标准吸光度相对应的吸光度读数，而与浓度校准的吸光度读数无关也可用以前测量所得的分配系数直接计算回收率。第33页，共53页，2023年，2月20日，星期五··例1.仪器制造厂说明书给出仪器的准确度（或误差）为1%。我们就可以假定这是对仪器最大误差限值的说明，而且所有测量值的误差值是等概率地（矩形分布）处于该限值范围[0.01，0.01]内。（因为大于1%误差限的仪器，属于不合格品，制造厂不准出厂。）矩形分布的包含因子，仪器误差的区间半宽度a＝0.01(1%)。因此，标准不确定度分量为：例2.制造商给出A级100mL单标线容量瓶的允差为0.1mL。欧洲分析化学中心(EURACHEM)认为其服从三角分布，则区间半宽为a=0.1mL，包含因子。由此引入的标准不确定度分量为：例3.如1000gF1等砝码，检定证书给出检定合格。由《JJG2053-1990质量计量器具检定系统框图》可知，1000gF1等砝码的质量总不确定度（置信概率99.73%）z＝20mg。因此，包含因子k＝3。由此引入的标准不确定度分量为：第34页，共53页，2023年，2月20日，星期五5.合成标准不确定度评定

若测量不确定度具有若干个分量时，则总不确定度应由所有各标准不确定度分量（A类评定和B类评定结果）来合成，称为合成标准不确定度。合成标准不确定度即合成标准(偏)差，由合成方差的平方根给出。根据数学模型可列出各输入量的不确定度分量表达式

(1).直接测量的评定对于的直接测量,则:如果，c为常数，则：

C称灵敏系数，说明x对y的不确定度贡献率是倍。如发现各分量中有一个分量占支配地位时（该分量大于其次那个分量三倍以上），合成不确定度就决定于该分量。

AG06第35页，共53页，2023年，2月20日，星期五例如在校验台上用标准电能表校准被校电能表的示值误差。根据测量原理，电能表示值误差的不确定度评定数学模型为式中，是被检表的相对误差，（％），是输出量；是三相电能表标准装置上测得的相对误差，（％），是输入量。输入量WO的不确定度的来源主要有如下方面：①在重复条件下测量结果不重复引起的标准不确定度分量uA；②标准电能表的误差引起的标准不确定度分量uB1；③标准电能表检定装置读数分辨力引入的标准不确定度分量uB2。

uA、uB1和uB2互不相关，采用方和根方法合成输入量WO的标准不确定度：第36页，共53页，2023年，2月20日，星期五(2).间接测量的评定

1).输入量不相关（彼此独立）的标准不确定度合成

被测量y是由测量各输入量求得，设各输入量相互独立，则：

式中为不确定度传播系数或灵敏系数,用

c表示。含义是输入量xi的单位变化引起的输出量y的变化量。不同，各输入量对输出量y的不确定度贡献也不同。先求出各个输入量的不确定度分量，然后，计算传播系数（灵敏系数），最后计算由此引起的被测输出量y的标准不确定度分量第37页，共53页，2023年，2月20日，星期五计算公式合成不确定度综合影响加减函数乘幂函数抗拉强度溶液制备色谱比较标准曲线其中：相互独立随机性质分量综合影响的标准差等于各分量标准差的‘方、和、根’。独立、线性函数关系的标准差等于各分量（含各自系数）标准差的‘方、和、根’。独立、乘除幂函数关系的相对标准差等于各分量相对标准差（含各自幂指数为系数）的‘方、和、根’

。第38页，共53页，2023年，2月20日，星期五

ⅰ)规则1:当加减函数关系，用绝对不确定度表示比较方便，有：例如:y=(p-q+r)，其中p=6.02，q=6.45，r=9.04;标准不确定度分别为:u(p)=0.13,u(q)=0.05，u(r)=0.22.

则有y=6.02-6.45+9.04=7.61ⅱ)规则2:当乘幂函数关系，则可对函数取对数后求偏导，显然用相对不确定度表示十分方便，有：第39页，共53页，2023年，2月20日，星期五

例园形截面积试棒抗拉强度的计算公式为，式中F是拉力，由万能试验机读数，d是用园形截面积试棒的直径，不考虑温度效应和应变率效应，求抗拉强度测量结果的合成标准不确定度。

分析可知，输入量F

和d互不相关，相关函数r(F，d)＝0，应用规则2

，相对合成标准不确定度表示为：

例y=(op/qr)，其中o=2.46，p=4.32，q=6.38，r=2.99,标准不确定度分别为:u(o)=0.02，u(p)=0.13，u(q)=0.11，u(r)=0.07.则有:y=(2.46×4.32)/(6.38×2.99)=0.56第40页，共53页，2023年，2月20日，星期五ⅲ)规则3:在进行不确定度分量合成时，为方便起见，可将原始的数学模型分解，将其变为只包括上述原则之一所覆盖的形式。

如：表达式（x1＋x2）/(x3+x4)应分解成两个部分：（x1＋x2）和(x3+x4)。每个部分的临时不确定度用规则1计算，然后将这些临时不确定度用规则2合成为合成标准不确定度。例：被测量，且各输入量相互独立无关，若已知：x1=20，x2=80，x3=40，x4=4；u(x1)=0.02，u(x2)=0.10，u(x3)=0.04u(x4)=0.003。求合成标准不确定度uc(y)

解：先求出的标准不确定度，因输入量互不相关，采用方和根方法计算：然后再采用方和根方法求被测量的合成标准不确定度uc(y)：

第41页，共53页，2023年，2月20日，星期五

2).输入量相关（彼此不独立）的标准不确定度合成

各输入量相互不独立，则合成标准不确定度为：

令r为相关系数则：

为便于讨论，设只有两个相关输入量:

即如果两输入量

相关，在合成标准不确定度时，方差的表达式就要增加一个相关项。相关项的大小等于相关系数乘上两相关量平均值标准差积的两倍第42页，共53页，2023年，2月20日，星期五标准差为：相关系数为0相关系数为1相关系数为-1如果两输入量，分别经n次独立测量，其结果平均值的协方差:测量结果平均值的相关系数，等于平均值的协方差除于两相关量平均值标准差的积:第43页，共53页，2023年，2月20日，星期五(2).组合测量的评定

最小二乘法简介如果两个物理量X、Y存在线性关系，y=a+bx，对X、Y独立测得n对数据（n大于欲求的参数a、b的数目）。由于测量存在误差，如果将这些数据代方程，显然结果是矛盾的。为求得最佳值，根据最小二乘法原理，应是使所有测得值的误差的平方和最小的值。

y=a+bx的误差方程为：

将上列各式两边平方，然后相加，得残差的平方和：第44页，共53页，2023年，2月20日，星期五

欲使：，则需使上式对a、b求偏导全为零，即：和亦即：和即：解得：和第45页，共53页，2023年，2月20日，星期五于是:

将a、b值代入误差方程，可求得残差和残差的平方和，y的实验标准差s(y)为：

a、b标标准差s(a)、s(b)为：参数a、b是由同一组测量结果计算得到，两者存在一定的相关性。对等式（1）两边求方差得：相关系数r为：第46页，共53页，2023年，2月20日，星期五

由于y的变动性引起x的不确定度估计方法

1）由算得的标准偏差估计

对式(1)微分，并考虑a、b相关，有：

式中是a,b的协方差。

2）由校准数据估计

式中：

p为测量次数