曲线拟合的最小二乘法

第三章曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法共13页，您现在浏览的是第1页!3.1.最小二乘法的提法需要从一组给定的数据中，寻找自变量X与变量y之间的关系例：60年代世界人口增长情况如下：年19601961196319641965196619671968人口30.6131.5132.1332.3432.8533.5634.2034.83有人根据以上数据预测2000人口会超过60亿，现在已经成为现实曲线拟合的最小二乘法共13页，您现在浏览的是第2页!给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。问题：因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：①不要求过所有的点（可以消除误差影响）；②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。设近似函数为：函数值与观测值之差称为残差可以用残差来衡量近似函数的好坏曲线拟合的最小二乘法共13页，您现在浏览的是第3页!3.2.1多项式拟合设已知点求m次多项式来拟合函数需要求出多项式的m+1个待定系数即可，且使得以下函数值达到最小F（a0，a1，…，am）==

拟合问题的几何背景是寻求一条近似通过给定离散点的曲线，故称曲线拟合问题。曲线拟合的最小二乘法共13页，您现在浏览的是第4页!例1：求数据xi

－1－0.75－0.5－0.2500.250.50.751yi

－0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.76014.2836

解得最小二乘二次拟合多项式为P2（x）=2.0034＋2.2625x＋0.0378x2的最小二乘二次拟合多项式。解：设二次拟合多项式为P2（x）=a0＋a1x＋a2x2，

将数据代入得线性方程组曲线拟合的最小二乘法共13页，您现在浏览的是第5页!3.2.2指数拟合对已知点在坐标上描点，这些点若近似一条指数曲线，来拟合由，可以先做可以先做出的一次线性拟合则考虑用指数函数例2设一发射源强度公式为观测数据如下ti0.20.30.40.50.60.70.8Ii3.162.381.751.341.000.740.56

试用最小二乘法确定I与t的关系式。曲线拟合的最小二乘法共13页，您现在浏览的是第6页!3.2.3最小二乘法一般形式j，k=0，1，2，…，m

j=0，1，2，…，m

为线性无关的基函数求驻点，令即令曲线拟合的最小二乘法共13页，您现在浏览的是第7页!解：函数空间的基，然后列出法方程例3曲线拟合的最小二乘法共13页，您现在浏览的是第8页!要是函数值达到最小，由高等数学知识有：

j=0，1，2，…，m于是得到法方程即可以证明该方程组有唯一解曲线拟合的最小二乘法共13页，您现在浏览的是第9页!法方程组的一般形式：法方程组可写成以下形式令则法方程系数矩阵为：常数项为：曲线拟合的最小二乘法共13页，您现在浏览的是第10页!解：将观测数据化为ti0.20.30.40.50.60.70.8lnIi1.15060.86710.55960.28270.0000－0.3011－0.5798求最小二乘拟合直线，代入法方程公式得：解得所以I0==5.64a=－2.89则I=5.64e－2.89t曲线拟合的最小二乘法共13页，您现在浏览的是第11页!则法方程组可写成以下形