基本不等式及其应用

高考复习基本不等式及其应用

要点梳理1.算术平均数与几何平均数对于正数a,b，我们把

称为a,b的算术平均数，

称为a,b的几何平均数.2.基本不等式：（1）基本不等式成立的条件：

.（2）等号成立的条件：当且仅当

时取等号.（3）结论：两个正数a,b的算术平均数

其几何平均数.a≥0,b≥0a=b不小于基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第1页!3.几个重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).4.利用基本不等式求最值设x,y都是正数.（1）如果积xy是定值P，那么当

时，和x+y有最小值

.（2）如果和x+y是定值S，那么当

时积xy有最大值

.即“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.2x=yx=y基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第2页!基础自测1.已知ab≠0，a,b∈R，则下列式子中总能成立的是

.

解析①中不能保证为正，③中未必为负，②显然错误.④

基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第3页!3.已知的最小值为

.

解析

即x=10，y=6时，xy有最小值60.4.设x,y为正数，则的最小值为

.

解析∵≥5+2×2=9当且仅当y=2x时取得最小值9.609基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第4页!将①②③三式相乘，得基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第5页!（2）∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第6页!（3）可利用xy与x+y的关系，转化为只含有x+y的不等式，或将x+y转化为只含一个变量的函数，再求其最值.解（1）∵x>0,y>0,基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第7页!跟踪练习2（2010·徐州模拟）解下列问题：（1）已知a>0,b>0，且4a+b=1，求ab的最大值；（2）已知x>2,求的最小值.解（1）∵a>0,b>0,4a+b=1,∴1=4a+b≥2当且仅当4a=b=即时，等号成立.基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第8页!方法二基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第9页!【例4】（14分）某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由.基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第10页!（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天（x≥25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2=(3x2-3x+300)+200×1.8×0.85=+3x+303(x≥25).［10分］∵y2′=-+3,∴当x≥25时，y2′>0，即函数y2在［25,+∞）上是增函数，∴当x=25时，y2取得最小值为390.而390<417.∴该厂可以接受此优惠条件.［14分］基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第11页!解（1）由题意知，羊皮手套的年成本为（16S+3）万元，年销售收入为（16S+3）×150%+x·50%，年利润L=（16S+3）×150%+x·50%-（16S+3）-x，即L=（16S+3-x），得

因此，当年广告费投入4万元时，此公司的年利润最大，最大利润为21.5万元.基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第12页!方法规律总结1.a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R，而成立，则要求a≥0且b≥0.使用时，要明确定理成立的前提条件.2.在运用重要不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”（即条件中要求字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为一定值）、“等”（等号取得的条件）的条件.3.注意掌握重要不等式的逆用，变化形式的特点.4.不等式知识在数列、向量、解析几何、三角函数都有所体现，主要有解（证）不等式，求最值问题.基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第13页!2.（2009·大连一模）已知0<x<1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为

.

解析∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第14页!4.（2010·南通模拟）设则函数的最小值为

.解析基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第15页!6.（2008·徐州调研）若实数a,b满足ab-4a-

b+1=0(a>1),则（a+1）(b+2)的最小值为

.

解析∵ab-4a-b+1=0,∴∵a>1,∴b>0.∵ab=4a+b-1,∴(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1=6a+·2+1当且仅当(a-1)2=1,即a=2时成立.∴最小值为27.27基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第16页!8.（2010·南京调研）已知a>0,b>0，a、b的等差中项是的最小值是

.

解析由条件a+b=1，又a+b≥

,∴ab≤(当a=b=时取等号).5基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第17页!二、解答题10.（2010·盐城模拟）函数f(x)对一切实数x,y

均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0.（1）求f(0);(2)求f(x);(3)当0<x<2时不等式f(x)>ax-5恒成立，求a的取值范围.

解（1）令x=1,y=0，得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2，∴f(0)=f(1)-2=-2.(2)令y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x2+x,∴f(x)=x2+x-2.基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第18页!11.（2010·无锡模拟）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第19页!基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第20页!2.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为

.

解析∵x+3y-2=0,∴x+3y=2.又3x+27y+1=3x+33y+1≥当且仅当3x=33y,即x=3y=1,x=1,y=时取等号.7基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第21页!【例1】（1）已知a>0,b>0,a+b=1,求证：(2)已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1,求证：

证明（1）∵a>0,b>0,a+b=1,

所以原不等式成立.（2）∵x、y、z是互不相等的正数，且x+y+z=1,基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第22页!跟踪练习1（1）已知x>0,y>0,z>0.求证：(2)求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).证明（1）∵x>0,y>0,z>0,（当且仅当x=y=z时等号成立）基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第23页!【例2】（1）已知x>0,y>0，且求x+y

的最小值；（2）已知x<,求函数的最大值；（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.

（1）注意条件中“1”的代换，也可用三角代换.（2）因为4x-5<0，所以要先“调整”符号；又(4x-2)·不是常数，所以对4x-2要添项“配凑”.分析基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第24页!即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，y取得最大值1.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第25页!【例3】（1）已知x>0,y>0,lgx+lgy=1，求的最小值.（2）设x>-1，求函数

的最值.

①由lgx+lgy=1可得xy=10为定值.②可化为的形式再用基本不等式.（1）解方法一由已知条件lgx+lgy=1,可得xy=10.则当且仅当2y=5x，即x=2,y=5时等号成立.分析基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第26页!跟踪练习3函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中

mn>0，则的最小值为

.

解析∵A（-2，-1）在直线mx+ny+1=0上，∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,mn>0,∴m>0,n>0.8基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第27页!解题示范解（1）设该厂应隔x(x∈N+)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),∴x天饲料的保管与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x2-3x(元).［2分］从而有y1=(3x2-3x+300)+200×1.8=+3x+357≥417.［4分］当且仅当=3x，即x=10时，y1有最小值.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.［6分］基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第28页!跟踪练习4西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销.在1年内，据测算年销售量S（万双）与广告费x(万元)之间的函数关系为(x>0)，已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入16万元.（年销售收入=年生产成本的150%+年广告费的50%）.（1）试将羊皮手套的利润L（万元）表示为年广告费x(万元)的函数；（2）当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销售收入-年广告费）.基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第29页!思想方法感悟提高高考动态展望从近几年的高考试题看，基本不等式的应用一直是高考命题的热点，在填空题、解答题中都有可能出现，一是运用基本不等式证明不等式；二是利用基本不等式求函数的最值（或值域）.今后高考命题仍会考查基本不等式的应用，且以考查求函数的最值为主要命题方向.基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等.基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第30页!定时检测一、填空题1.（2009·山西阳泉期末）函数y=log2x+logx(2x)（x≠1）的值域是

.

解析

y=log2x+logx(2x)=1+(log2x+logx2),如果x>1，则log2x+logx2≥2，如果0<x<1，则log2x+logx2≤-2，∴函数的值域为（-∞,-1］∪［3,+∞).（-∞,-1］∪［3,+∞)基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第31页!3.（2010·四平调研）已知x>0,y>0,x,a,b,y

成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是

.

解析

由x、a、b、y成等差数列知a+b=x+y①由x、c、d、y成等比数列知cd=xy②把①②代入得

∴的最小值为4.4基本不等式及其应用共38页，您现在浏览的是第32页!5.（2010·江苏南通一模）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车，投放市场客运.据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈