2022年高中数学选择性必修第二册第四章复习提升

第第#页共15页2022年高中数学选择性必修第二册第四章复习提升易混易错练易错点1忽略数列与一般函数的区别｛ax-5,x>6,(4_^)x+4x<6数列｛an｝满足an=f(n)(n^N*),且数列｛an｝是单调递增数列,则实数a的取值范围是.易错2.(好)在数列｛an｝中,an=n2+mn^N*.若｛aj是递增数列，求九的取值范围.易错点2误用数列的有关性质3.(2019黑龙江大庆中学高二月考,餐)已知等差数列｛an｝的前n项和为S,且S3=30,S6=100,则S9的值为(易错)n369A.260B.130C.170D.210易错点3由S求a时，忽略n=l的情况nn(2020福建福州一中高三上期末,*)数列｛an｝满足a1=1,其前n项和为Sn,且Sn=2an(n$2,nWN*),则｛aj的通项公式为.易错(*)已知数列｛a｝的前n项和为S，且满足a+2SS1=0(n^2),a1=1.n丿nnnn-l1?(1)求证:｛丄｝是等差数列；⑵求数列｛an｝的通项公式.(燈)在数列｛an｝中,a^l^+Zaz+Sas+L+nan/^•an+1(n^N*)，求数列2｛an｝的通项公式.易错点4应用等比数列的求和公式时忽略q=1的情况(*)已知在等比数列｛an｝中,％=2込=6，则a3=.(*：)在等差数列｛a｝中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.2/38⑴求数列｛an｝的通项公式；⑵设数列｛an+bn｝是首项为1,公比为q的等比数列,求数列｛bn｝的前n项和S.n9.*)9.*)求和:Sn=(x+1)2+(%2+丄)2(xH0).xn7思想方法练一、函数思想在数列中的应用(*)等差数列｛an｝的前n项和为Sn,已知a]>0,S9=S]6，则当n=时,S最大.n(#：：)已知首项为3的等比数列｛a｝不是递减数列，其前n项和为2nSn(neN*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列｛an｝的通项公式；⑵设Tn=Sn-1(neN*),求数列｛TJ中最大项的值与最小项的值.sn二、方程思想在数列中的应用(*)在等差数列｛an｝中，前n项和为Sn,S10=90,a5=8,则a4=()A.16B.12C.8D.6(2020河北唐山高三上期末,*)已知｛an｝是公差不为0的等差数列,且前3项的和为9.｛bJ是等比数列，且b1=a2,b2=a5，b3=a11.⑴求数列｛an｝的通项公式；⑵求｛bn｝的前n项和Tn.三、分类讨论思想在数列中的应用5.(*)已知数列-l,4,-7,10,・・・,(-l)n•(3n-2),…，求其前n项和Sn.6.(*0已知等差数列｛an｝的首项为6,公差为d,且a],a3+2,2a4成等比数列.⑴求｛an｝的通项公式；(2)若d<0,求la」+la」+la」+・・・+laI的值.123n四、转化与化归思想在数列中的应用(2020天津耀华中学高二上期末，邮)已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足2Sn=2n+i+m(mWR).⑴求数列｛an｝的通项公式；⑵若数列叫满足bnEgr求数列｛bn｝的前n项和Tn.(2019辽宁六校协作体高二上期中*)已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足S+n=2a(n^N*).nn求数列｛an｝的通项公式；若数列｛bj满足bn=an・log2(an+1)+n(nWN*),求｛b」的前n项和时答案全解全析易混易错练1.答案伴,8)解析由题意知,!an-5,n>6,n^N*,(4—a)n+4,n<6,n^N*.・・・{an}是单调递增数列，,a>1,・••当n$6时,a>1，当n<6时,4-2>0,且a<a，即］4—->0,解得48<a<8.25627Va<a,56易错警示本题中数列｛an｝为单调递增数列需满足a5<a6,而函数f(x)递增需满足a6-5$(4-扌)x6+4•二者不同，解题时需注意.nn+12.解析由｛an｝是递增数列得叫<牛nn+1即n2+An<(n+l)2+Un+l),整理得X>-(2n+l),n^N*，解得X>-3.・••九的取值范围是(-3,+s).3.D由题意可得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列，故2(S6-S3)=S3+(S9-S6),即2x(100-30)=30+S9-100,解得S9=210.故选D.易错警示在等差数列中,S,S2-S,S3-S2,S4-S3，…成等差数列，而不23243是S,S2,S3,S4，…成等差数列.n2n3n4n4•答案an={2n-2=>2,nEN*解析当n=2时,S2=2a2，得a2=a1=1,又当n$2时,S=2a,・S=2annn+1n+1・・・S-S=2a-2a,n+1nn+1n即a=2a(n$2),n+1n经检验a2=a1#2a1，不符合上式，・{an}从第二项起构成以a2=1为首项,q=2为公比的等比数列，・••当n$2时,an=a2•qn-2=2n-2.・={1,n=1,…an={2n-2,n>2,n^N*.易错警示已知S求a的解题过程通常分为四步:第一步，令n=1,得nna1;第二步，令n$2,得an；第三步，在第二步求得的an的表达式中取n=1,判断其值是否等于％;第四步，写出数列的通项公式.其中第三步尤为关键，解题时一定要检验n=1时是否符合n$2时求得的an的表达式,否则易导致第四步中数列的通项公式求解错误.解析⑴证明:当n$2时，由a+2SS尸0,得S-S尸-2SS卩nnn-1nn-1nn-1所以丄-丄=2,5n-1又—=1=2,所以{—}是首项为2,公差为2的等差数列.S1ai^Sn⑵由⑴可得丄=2n，所以S」.S九n2n当n$2时,a=S-S尸丄-1=-1.nnn-12n2(n-1)2n(n-1)当n=1Ht,a1=i，不符合a=-一1一.12n2n(n-1)r1，n=1,故a={2〔n(-—1—,n>2,n^N*.2n(n-1)解析由aj+2a2+3a3+・・・+na=「a〔，得当n$2123n2n+1时,ai+2ac+3aq+…+(n-1)a[=2a,两式作差得na=^^a--a,123n-12nn2n+12n即(n+1)an+1=3nan(n^2),故数列｛nan｝从第二项起构成公比为3的等比数列，且a1=1,a2=1,于是2a=2,故当n$2时,na=2•3n-2.所以a=当qHl时,S=b+b+-+bn12当qHl时,S=b+b+-+bn12n=[1+4+…+(3n-2)]+(l+q+…+qn-i)_^(1+3沧2)+1qn1q2nnn时已=1不符合上式，(1,^=1,所以an=|2•3n-2,n>2,neN*.7.答案2或8解析设等比数列｛an｝的公比为q,当q=l时,S3=3a]=6,符合题意，此时a3=a1=2.当qHl时，由s=ai(1-^3)=^L2)=6，解得q=-2,31q1q此时a3=a1•q2=8.综上可知,a3=2或a3=8.8.解析⑴设等差数列｛an｝的首项为a1,公差为d,则由题意可得(2^1+7d=23,｛2兔+9d=29,解得佑f所以an=-l+(n-l)x(-3)=-3n+2.(2)由题意得an+bn=qn-1,所以bn=3n-2+qn-1.当q=l时,bn=3n-l.n(2+3n-1)=n(3n+1)=n（3n-1）+1qn21q综上,综上,»=解析由题知xH0,①当x#±1时,S=（Xi）2+（X2—）2+…+（Xn—）2TOC\o"1-5"\h\zxx2xn=（x22丄）+（X42丄）+•・•+?X2n+2+丄,x2x4x2n=（X2+X4+・・・+X2n）+2n+（丄—…丄）x2x4x2n=x2（i-x2n）+x-2（i-x-2n）+2n1x21x-2_（%2九_1）（%2九2i）+2nX2n（X2-1）②当x_±1时,S_4n.n综上,｛4n,x=±1,（㈣-1）（㈣2—）2nfx^±1且x^0.X2n（x2-1）思想方法练1.答案12或13解析设等差数列｛an｝的公差为d,由等差数列前n项和公式，得S_9a+9^8d_9a+36d,S=16a十16^5d_16a+120d.912116121又因为S9_S16，所以9al+36d_16al+120d，即d_-L舛,91611121又a1>0，所以d<0.由此可知，数列｛an｝是单调递减数列，点(n,Sn)在开口向下的抛物线上.又S9_S16，所以点(9,S9)与点(16,S]6)关于直线x_^对称,所以当n_12或2n_13时,S最大.n2•解析⑴设等比数列｛an｝的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2/5=i.53a34又｛a｝不是递减数列，且a1=3>0,n12所以q=-丄，2故等比数列｛an｝的通项公式为a=3x(-1)n"1=(-1)n-i■旦.TOC\o"1-5"\h\zn2\2丿2n⑵由⑴得,s^H-1)"2(1+丄,n为奇数，=｛2n]1一丄,n为偶数.V2n设f(x)=(1)%(xWR),由指数函数的性质可知,f(x)=(2『为单调递减函数.所以当n为奇数时,Sn随n的增大而减小，所以1<S^S1=3,n12故0<s-丄WS厂丄=3-2=5.nsn1S1236当n为偶数时,Sn随n的增大而增大，所以3=S2WS<1,42n故0>S-丄丄=3-4=-Z.nsn2S24312综上,-ZWS-丄w5,且S-丄工0(n^N*),12ns池6nsn所以数列｛T｝中最大项的值为5,最小项的值为丄.n6123.D设等差数列｛an｝的首项为a1,公差为d,

解得10a+10x9d=90,解得12a+4d=8,1{a】=0,{d=2,・・・a4=ai+3d{a】=0,{d=2,4.解析(1)设等差数列｛an｝的首项为a「公差为d(dHO),则a1+a2+a3=3a1+3d=9,则a1+d=3.①因为{bj是等比数列，且b1=a2,b2=a5，b3=a11,所以(a1+d)(a1+10d)=(a1+4d)2,化简得a1d=2d2,因为d#0,所以a1=2d.②由①②解得,a]=2,d=1,故an=a1+(n-1)d=n+1,neN*.(2)由(1)得b1=a2=3,b2=a5=6,设等比数列{bn}的公比为q,则q上=2,故bn=3x2n-1,bi则t=bi(1-^n)=33x2n=3x2n-3.n1q125.解析当n为偶数时，令n=2k(k^N*),S=S^=-1+4-7+10-・・・+(-1)n•(3n-2)=(-1+4)+(-7+10)+・・・+[(-6k+5)+(6k-n2k2)]=3k=^;2则Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)=-3n+1.2当则Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)=-3n+1.2「3n+1,nwN*,n为奇数,n｛竺小三“*,^为偶数.2

解析(1)・・・气=6,公差为d,・•・a3=6+2d,a4=6+3d.又・a1,a3+2,2a4成等比数列,・•・a1•2a4=(a3+2)2,即6x2x(6+3d)=(6+2d+2)2,解得d=-1或d=2.当d=-1时,an=a]+(n-l)d=7-n;当d=2时,an=a1+(n-1)d=2n+4.・{a}的通项公式为a=7-n或a=2n+4.TOC\o"1-5"\h\znnnn2.13n+22疋-旦+4222⑵由d<0n2.13n+22疋-旦+4222当nW7时,a上0,则la」+la」+…+lal=a+a+^+a=n(aian)=n12n12n?当n>7时,an<0,则la」+la」+…+lal=a+a+^+0,-(0,+^++a)=21-(n-7)(-17-n)=12n127、89n2・•la」+la」+•…+lal12n(-ni13n,n<7,nEN*,={22[兰-13n42,n>7,n^N*.122解析(1)由2Sn=2n+i+m(mWR)得，当n$2时,2S=2n+m(mWR),n-1两式相减得,2S-2S=2a=2n,nn-1n即an=2n-i(n$2),a2=2.又ai=Sl=2+号,a2=2ai,所以2=2x(2巴)懈得m=-2,2

所以a1=1,符合an=2n-i,所以等比数列｛an｝的通项公式为an=2n-i.⑵由(1)可知,log2(anan+])=log2(2n-i2n)=2n-1,b=1=i(―^-―-—).n(2n1)(2n-1)22n-12n1_1(1__1(1_11.1233512n-1亠2n1=1(1—丄)=」22n12n18•解析⑴由Sn+n=2an(nEN*)得,当n$2时,S+(n-1)=2a1?n-in-i两式相减得,a+1=2a-2a,即a=2a+1,nnn-1