组合数(教师版)

年级：高三辅导科目：数学课时数：3组合数课题教学目的1、能利用组合数公式解决计数问题；2、掌握组合数公式的特点，掌握组合数性质并能进行推理教学内容【知识梳理】1.组合的概念：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C表示.mnn!(nm)!m!.2.组合数公式C=mn3.组合数的两个性质：（1）C=Cnm；（2）Cm=Cm+C.mnm1nnn1n注：（1）1我们规定C01n2等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．3此性质作用：当mn时，计算2可变为计算，能够使运算简化．CmnCnmn4CxCyxy或xynnn（2）1公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．【典型例题分析】例1、⑴计算：C3C4C5C67789⑵求证：Cn＝Cn2CC+n1n2m+mm2m⑶解方程：Cx1C2x31313-1-⑷解方程：Cx2Cx31A310x3x2x2⑸计算：C0C1C2C3C4和C0C1C2C3C4C544444555555推广：C0C1C2Cn1Cn2nnnnnn例2、组合数性质的简单应用：证明下列等式成立：⑴CkCkCkCkCkCk1n1n2n3k1kn⑵CkCkCkCkCk1nk1kk1k2kn⑶C12C23C3nCnn(C0C1Cn)2nnnnnnn例3、某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法?解：由题意可知，只会英语的有6人，只会日语的有2人，英语和日语都会的有1人.以只会英语的人数分类，C0·C1·C1+C1·C2=20.26163例4、设集合A={1，2，3，…，10}，（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a，a，…，a，求a+a+a+…+a的值.12n123n解：（1）A的3元素子集的个数为n=C3=120.10（2）在A的3元素子集中，含数k（1≤k≤10）的集合个数有C2个，因此a+a+…+a=912nC2×（1+2+3+…+10）=1980.9评述：在求从n个数中取出m（m≤n）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.例5、从1，2，…，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？-2-解：令A={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…29}，C={3，6，9，…，30}组成三类数集，有以下四类符合题意：①A，B，C中各取一个数，有C1CC1种；②仅在A中取3个数，有C3种；③仅在B中取3个数，110101010有C3种；④仅在C中取3个数，有C3种.故由加法原理得共有C1·C1·C1+3C3=1360种.101010101010评述：按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类.例6、某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容.（1）某老队员必须上场，某2新队员不能出场；（2）有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位.解：（1）C4=126种.9（2）以2名既擅长前锋位又能打后卫位的队员是否上场，且上场后是前锋还是后卫作分类标准：①甲、乙都不上场有CC=120种；②甲、乙有一名上场，作前锋位有C1（C2C2）种，作后卫位有C1（C3C1）种，共C1（C2C2）6432642642264+C1（C3C1）=340种；③甲、乙都上场，有CC+C3C0+C1（C2C1）=176种.据分类计数原理，共有120+340+176=636126426464264种.【课堂小练】1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有A.240种D.60种B.180种C.120种解析：先从6双手套中任选一双，有C1种取法，再从其余手套中任选2只，有C2种，其中选一双同色手套的610选法为C1种.故总的选法数为C1（C2－C1）=240种.55610答案：A2.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有C.35种D.34种A.140种B.120种解析：7人中任选4人，共C4种选法，扣除只有男生的选法C4，就可得有既有男生，又有女生的选法C－C=34.474474答案：D3.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_____________种.（以数字作答）解析：从10个盒中挑3个与球标号不一致，共C3种挑法，每一种3个盒子与球标号全不一致的方法为2种，10∴共有2C3=240种.10答案：2404.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_______种.C2C2C2642解析：把6个班均匀分为3份，有种分法，再把这三份分给3位教师，所以不同的任课方法有P33-3-C2C2C2P=C2C2C2种.64264233P33答案：905.某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？解：由于每队至少抽1辆，故问题转化为从7个车队中抽3辆车，分类讨论.①3辆车都从1个队抽，有C1种；②3辆车从2个队抽，有A2种；③3辆车从3个队抽，有C3种.777综上所述，共有C1+P2+C3=84种.7776.袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，那么从这10个球中取出4个，使总分不低于5分的取法有多少种?解法一：取出4个球不低于5分只能是4红或3红1白或2红2白或1红3白.故有C+C3C1+CC+C1C3=195种.4422464646解法二：取出4个球总分低于5分只能是4个白球，故有C4－C4=195种.106【课堂小结】1.组合数公式有连乘和阶乘形式，阶乘形式一般用于证明和计算，组合数的性质常用于证明等式及合并组合数简化计算.2.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.3.解组合应用题时，应注意至少、至多、最多、恰好等词的含义.4.各种与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.【课后练习】1、100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．⑴都不是次品的取法有多少种？⑵至少有1件次品的取法有多少种？⑶不都是次品的取法有多少种？解：⑴C42555190；90⑵C4C4C1C3C2C2C3C1C41366035；1009010901090109010⑶C4C4C1C3C2C2C3C1C43921015．10010901090109010902、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有CC；3奇2偶有C3C2；5奇1偶有C51465656-4-所以一共有C1C4+C3C2+C5236．656563、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有CC；；2243②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有CC3143③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有CC．3243所以一共有C2C2+C3C1+C3C2＝42种方法．4343434、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？解法一：（排除法）C2C22C1C2C1C142645443CC解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有12；另一类为甲不值周一，但值周六，有44CC．所2243CCCC以一共有+1244＝42种方法．22435、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？C解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有2种方法；第二步将5个“不同6P5种方法．根据分步计数原理，一共有C2P5＝1800种方法．元素（书）”分给5个人有565变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？变题2：5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？．变题3：5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？．答案：1．5615625；2．P5720；3．C56666、身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？P44解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但P种方法．根据分步计数原理，一共有P4C3＝240种方法．5无需要进行排列）有3547、⑴四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？⑵四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解：⑴根据分步计数原理：一共有44256种方法．C24⑵（捆绑法）第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有种方法，第二步从A四个不同的盒取其中的三个将球放入有种方法．所以一共有C2P3＝144种方法．44348、马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同-5-时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法