南昌中考数学压轴题大集合

精品文档一、函数与何综合的压题1（安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都直于轴，垂足分别为、且AD与B相于E点已知：A(-2,-6),C求：E点y上；如有一抛物线过A，，C三，求此抛物线方程如位置不变，再将水平向右移动k个位，此时AD与相交于E′，如图，eq\o\ac(△,求)eq\o\ac(△,)′的积关的函解析式y

D

DO

O

′（，）1+k）（2，-6）

（2，）图②[解]

图①（1（本小题介绍二方法，供参考）方法一：过E作′⊥轴垂足∴∥∥DC∴

BODB又∵DO′+′=DB∴

EO∵AB=6DC=3，′=2又∵

DOEO2，∴DBAB∴DO，O与重，E在轴上精品文档

222梯形A精品文档222梯形A方法二：由D（，0）A（-2，-6）得DA直线程：x-2①再由B（，C（，-3）得BC直方程：=-x

②联立①②得

xy∴点坐标（0-2）即点在y轴上（2）抛物线的方程=++≠0)过（-6），（，）（0，）三，得方程组

a解得a=0,c=-2∴抛物线方程=--2（3）本小题给出三种方，供参考）由（）当水平向右平移后，与的点作⊥x轴足为F同（）可得：

E

得：EF方法一：又∵∥AB

EDF1，∴DFDB3

=-AE′ADCE

=

1DCDCDC2=

13

DCDB

S=3+k为求函数析式方法二：∵∥DC，SBCABDA∴

AEC

=S

BDE′

1122∴为所求函数解析式证法三：S

∶AEC

=DE∶′=∶∶同理：

∶DEDE′

∶2,又

∶=∶AB∶DEABE∴

221ABCDBD9∴为所求函数解析式2.（2004东茂名）已知：如图在直线坐标系中，以点M（）为圆心、直精品文档

2，精品文档2，径AC为

22

的圆与y轴于A两点（1）点A的坐标；（2）过点A的直线yx＋b与x轴交于点探：直线AB是否⊙M的线？并对你的结论加证明；（3）接BC，ABC的外接圆面积、M面为S，1

h4

，抛物线＝＋bx＋经过M两它的顶点到x轴的距离为h求这条抛物线的析式[解

（1）：由已知AM＝

2

，＝1，在Rt△中AO＝

，∴

点A的坐标为A（01）（2）：∵直线y＝x＋b过A（1）∴＋b即b＝1

∴＝令y＝则x＝1

∴（1，），AB＝

222

在△ABM中，AB＝2，AM＝2，BM＝2(2)2)2BM∴△ABM是直角三角形∠BAM＝90°

2∴

直线AB是M切线（3）法一：由⑵得∠BAC＝，AB＝AC＝2∴＝

AB

2

2

(2)

2

2)

2

∵∠＝90°

∴△ABC外接圆的直径为，BC∴)2)2222

y而

ACS)2h5即,24

B

AM·DC

x精品文档

22222cc22222cc22⌒设经过点B，0）M（，0的抛物线的解析式为：＝（1）（x－1）（≠0）＝ax－a，a±5，＝±5∴抛物线的解析为＝5x

2

－5或＝－5x

2

＋5解法二：（接上

求得∴由已知所求抛物经过点B—10）、M、），则物线的对称轴是轴由题意得抛物线的顶点坐标为（0，）∴抛物线的解析为ya（x－0±5又B（）、M（）在物线上，∴＝0，a∴抛物线的解析为＝－5或y＝－5x＋5解法三：（接上求得∴5因为抛物线的方为＝ax＋＋c（）由已知得

解得

∴抛物线的解析为＝－5或y＝－5x＋5.湖北荆门如，在直角坐标系中，以，）为圆心为径作圆，交x轴于AB两，抛物线

2bxa0)

过点A、B，且顶点C在P上.求上弧的长；求抛物的解析式；在抛物上是否存在一使段OC与PD互相平分？若存在点的坐标；若不存在，请说理

y[解

（1如图，连结，作PMx轴垂足为A

B在Rt△PMB中

O

·（－1）

x∴∠＝，∠APB＝精品文档

⌒2精品文档⌒2AB

的长＝

120180

43

y（2）Rt△PMB中PB=2,PM=1,则MA＝

.又，∴A（1－3），B（1＋，0）由抛物线及圆的称性得知点C在线PM上则C(1，－点A、B抛物线上，则a23)a3)(13)解之得

A

O

MB·x（－1）a抛物线解析式为

x

（3）设存在点，OC与PD互平分，则四边形为行四边形，且∥又∥y轴，∴点D在y轴，∴OD＝2，即D（0，2又点D（，－2）在抛物线

上，故存在点D（0－，使线段与相平分.4（湖襄樊）如图，在平面直角坐标系内Rt△ABC的角顶点C0，3）在轴的半轴上，A是轴是两点，且∶OB＝3∶1，以OA为径的圆分别交AC于，于F.

直线EF交OC于（1）过B、点的抛物线的解析式；（2）猜想：直线EF与圆有怎样的位置系？并证明你的猜想（3）△AOC中，设点M是边的一个动点，过M作MN交OC于

试问：在轴是否存在点P，得△PMN是个以为直角边的等腰直角三角形？若存在求出点坐标；若不存在，请说明由

[解

在Rt△ABC中⊥，

Q

∴△AOC≌△COB

O

1

OO

2

∴＝.精品文档

3精品文档3∵OA∶＝3∶1,(0,),∴(3)

2

OBOB

∴OB＝OA＝∴B(1,0).

设抛物线的解析为y,90,则0,解之，得3,cc

O

M1241

2

∴经过、三点的抛物线的解析为

3x233与⊙O、都切.1证明：连结E、OEOF.1∵∠ECF＝∠AEO＝＝,∴四边形EOFC为矩形.∴QE＝∴∠＝∠∵∠＝∠2+∠＝90°，∴与⊙O相切.1同理：理相切2作MP⊥于P，＝a,由题意可得＝＝a∵MN∥,∴△△CAO∴

MNCO∴.解之，得a

此时，四边形是方形∴

32

.∴P(

32

,0).精品文档

x223123152322精品文档x223123152322考虑到四边形此为正方形，∴点P在点仍可满足△是以MN为直角边的等腰直角三角故轴上存在点使得△PMN是个以为直角边的等直角三角形且P(

332

或

P(0,0).5.2004湖宜昌）如图，已知点A(0，C(4，3)、

，)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(在各边上)个动点D在y轴线＝ax+bx以为点．说明A、、在一条条直线上；能否断抛物线y＝

2

+1开口方向请明理由；设抛线y＝

2

+1与x轴有点F、在G的侧)，GAO与FAO的面积差为，且这条抛物线线段AE有个不同交点．这时能确定b的吗若能请求出a、的；若不能，请确定a的取值围．(本形仅供分析参考用)

Y[解

（1意A(0确定的解析为

DA

P

将点E的标，)代入中左边，8右边=×+1=，4∵左边=边，∴点在线y=+1上即点A、、

O

B

X在一条直线上.（2解法一由于动矩形ABCD内∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P顶点，∴这条抛物有最高点，抛物线的开口向下解法二∵物线y=ax的点的坐标为

2

且P在形ABCD内部，∴1＜精品文档

b＜3由—得＞∴a，∴抛物线的开口向下.44

12b22152综合得：—＜a＜—∵—6a12b22152综合得：—＜a＜—∵—6a∴＜b＜[解（3接GAS—FAO

∴

GOAOAO=32

∵，∴GO—FO=6.设（（x）则x为程ax11

+c=0的个根，且＜x，∵a0，∴·x=＜0∴＜0，121212∴，FO=—x，—（—x），211即+，∵x+x—∴=6212

YDA

P

E

B∴b=—6a,∴抛物线解析式—6ax+1,其顶点的坐为（3，—9）∵顶点P在形ABCD内部，∴1＜—9＜∴—＜a0.

X由方程组

—6ax+1

得：ax

2

—（6+

）∴=0或=

6a

a

12

=6+当=0时抛物线与线段AE交于点A这条抛物线与线段有个不同的交点，则有：＜6+

≤，解：—≤＜—a49

1112236（2004湖南长沙）已知两点，0)，，A过B且与轴分别相交于点、C，⊙A被y轴分成段两圆弧其弧长之比为3∶，直线l与A切点，抛物线的顶点在线l运动.（1）⊙A的径；（2）抛物线经过OC两，求抛物线的解析式；（3）l上一点P的线与⊙A交、E两，且＝，求E的标；（4）抛物线与轴分相交于、两点其顶点的坐为meq\o\ac(△,求)的面积关于的数解析式.由弧之比为∶可得∠BAO90º精品文档

y0

x

222222精品文档222222再由AB＝AO，且＝，得r＝2⊙A切线l原点，可设l为＝kx任取l上点，kb)，l与轴夹角为可：b＝kb或bkb，＝－1或k，∴直线l的析为y或＝x又由r＝

2

，易得C(2，0)或C(－2由此可设抛物线析式为y(x－或＝(＋再把顶点坐标代l的析式中a＝1∴抛物线为＝－2或y＝x＋2

…分当l的解析式＝－时，由P在l，可设，m)(m＞过作′⊥x轴P′，′＝，′＝－，OP2m，又由切割线定理得：＝PC·PE,且＝CE，得＝PE＝＝′7分∴C与′为同点，即⊥轴于C，∴＝－，，…8分同理，当l的析式为y＝时＝－2－，若C(2，0)，时l为y＝－，∵P与点O点不重合，∴m且，当m时FC－m)，为|y|即为－m，p∴S＝

)()2

m

2

m同理当0＜m时，S＝－＋2m；＞2时，S＝m－2m；∴S＝

(m或m2)mm

又若C(－，0)，(m0)此时l为y＝，理可得；＝(m0)A精品文档

,)21212mkm,)21212mkm3江苏连云港图线kx与函y两，且与x、轴分别交于CD点．

mx

(0)的像交于、（1）COD的面是的面的倍，求k与m之的函数关系；（21条件下是存在和m得以为直径的圆经过点P存在，求出和的；若不存在，请说明理．[解

（1）A(x1

y，(,)(其中x)，1221

由

COD

AOB

，得S

COD

2(S

AOD

)∴

OC

OD2OD

y)OCy)212

，

B又OC，∴y)，(y)y，1mm由y可x，入可yxy∴，y，212∴km，即k．m

①

P

D又方程①的判别km，∴所求的函数关式为k

m

(．

B（2）设存在k,

m，得以为直径圆经过点(2,0)．OM

P

D则APBP，过A、分作轴的垂线，垂足分别为、N．∵与BPN都APM互余，∴MAPBPN．MP∴MAP∽RtNPB，．PNNB∴

y2xx2

mm，∴(2)(，∴(2)(2)，y即my)yyy)②1212由（）知y，，入②得12∴或，k，或m3

，，∴存在k精品文档

mm，使得以AB为直的圆经过点P(2,0)，或1

．

1212精品文档12128（江苏镇江）已知抛物线

mm

与x轴交于两点A,0)

、

x(x2

，与轴交于点，AB（1）抛物线和直线BC的解析式.（2）给定的直角坐标系，画抛物线和直线（3）

P

过A、、三点，求

P

的半径.（4）物线上是否存在点M，点M作MNx轴于点N，使被直线分成面积比为理由.

1

的两部分？若存，请求出点M的标若不存在，请说明[解

（1）题意得：1

,x6.m(x)2

xx36,2

20m解得

5m.7

经检验=1，∴抛物线解析式为：

或：由

m)x5

或

O0,

1

m

抛物线的解析式

x

由

2

得

x∴（－5），（，0，C（，－）.设直线的析式为

kx则k0.k5.精品文档

精品文档∴直线的析式为图象

（3）一：在

RtDAOC

中，

OAOACBPC

.又

BC2

∴

的径

2262法二：由题意心P在AB的垂上在抛物线

x

的对称轴直线

x上，设P（－h）（h＞），连结、，

PB2(1,PC(52

，由

PB22

，即

(12)22(5)

，解得=2.P(

的半径

PB2)

.法三：延长CP交

于点FCF

为

的直径，

COB又又

ABCAFC,DACF~DOCBACAC,OCAC522,CO52

5265

13.的径为13.（4）MN交线于点E，点的坐标为(,55).

(,t2

则点E的标为若

S

MEB

:

3,

则

ME3.精品文档

2精品文档2:MN

2

4tt3解得

t

（不合题意舍去，

540tM,3若

S

MEB

:

:1,

则

ME:EN3:1.EN4,t

tt5).解得

t

（不合题意舍去，

t15,M

存在点M，点M坐标为

或（15）9如图，⊙M与轴交于A、B两，其坐分别为A、(1，径CD⊥轴于N，直CE切⊙M于C，直线FG⊙于，于G，知点G的横坐为3.若物线y

x经过、B、三，求的及点D的标求线DF的析是存在过点的直线，使它（1）中抛物线的两交点的横坐标之和等于4？若存在，请求满足条件的直线的解析式；若不在，请说明理由[解

∵抛物线过A、B两，

D

y∴(

，

FM∴抛物线为

2又抛物线过点圆的对称性知点D为物线的点.

A

O

G

E

x∴点标为(由意知：AB∵⊥轴，∴NANB=2.∴ON由相交弦定理得·=·，精品文档

（第图）

则解得精品则解得∴×2.∴=1.∴坐标为(设直线DF交，结CF，∠CFP=90°.∴∠2+∠3=∠1+4=90.∵GC是线，∴GC=GF∴∠3=4.

y∴∠1=∠2.∴

D∴GC=可得CP

M

F∴P点标为(7设直线DF的析式为ykx278

A

4

O

32

G

1

P

xE27∴直线DF的析式为：y8假存在过点G的直线x，1则3k∴b1由方程组

xk2x

得x

(2)xk1由题意得，当k，，∴方程无实数根方程组无实数解∴满足条件的直不存在10（2004山）已知二次函数

12

2

bx

的图象经过点A（－3，6）并与x交于点（－10和点，点为P.（1）这个二次函数的解式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（2）D为段上一点，满足∠DPC∠BAC，点D的坐；（3）x轴是否在一点M使以M为心的圆与ACPC所的直线及轴都相切？如果在，请求出点M的标；若存在，请说明理由.精品文档

精品文档[解

（1解：∵二次函数

12

2

bx

的图象过点A（－36（－，0得1

解得3c

y13∴这个二次函数解析式为：yx22由解析式可求P（1，2，C（3，）画出二次函数的像（2）法一：易证：∠ACB＝PCD＝45°

Ox又已知：∠DPC＝∠BAC

∴△∽BAC∴

DC

易求

ACPC2,4∴

DC

445∴OD333

∴

D解法二：过A作x轴垂足为设抛物线的对称交x轴于F.亦可证△AEB∽△、∴

EBPFFD

.

易求：AE，EB＝，＝2∴

FD

25∴OD33

∴

D,0（3）在.（1°）M作⊥AC，MG⊥垂分别为H、，AC交y轴于，CP的延长线交轴T∵△SCT是腰角三角形，M是SCT的内圆圆心，∴MG＝＝OM又∵

MC

2

且OM＋＝OC∴∴

OMOMOM3,0（2°）x轴负半轴上，在一点M′精品文档

3,0∴3,0∴同理′＋＝′C，得OM

OM2OM即在x轴存满足条件的两个点.65432

M

1

M

H

-3-20-1-2

13G

T11（浙江绍兴）在平面直角标系中，A（0，B0）（1）抛物线过A，B两，且与y轴交于点（0，－3）求此抛物线的顶坐标；（2）图，小敏发现所有A，两点的抛物线如果y轴半轴交于点，M为抛物线的顶，那么△ACM与△ACB的积比不，请你求出这个比值；（3对称轴是AB的垂线l的物与x轴于点Ey轴于点，过C作∥x轴l于M为此抛线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.

y[解

（1yx2x

，顶点坐标为（，4）.（2）题意，设y＝ax＋1）（－3），精品文档

ABxM

22222精品文档22222即y＝ax－2ax，∴

A（1，，B（3，），（，－，M（，－4a）∴

S＝ACB

12

a＝6a，而＞∴

S＝6A、ACB作⊥x轴D，又＝S＋－S＝ACOOCMDAMD

11＋（＋4a）－·2·＝，22∴

S：＝1：6.ACB（3）当抛物线开口向上，设＝a（x－）＋k，即＝－＋a，有菱形可知a∴k＝2

a，

＝

k

，k＞0，k＜，∴

yax

2

－＋

a2

，∴

.记l与x交点为，若∠PEM＝60°，则＝，MD＝＝

66

，∴

k＝－

66，，63∴

抛物线的解析式

y

.若∠PEM＝，∠＝60°，＝＝

62

，∴

k＝－

62

，6，∴

抛物线的解析式

y

2

6

.②当抛物线开口下时，同理可得y

26x，y63

.12（北京）已知：在平面直坐标系中一次函精品文档

yk

的图象与

精品文档x交于点A，抛物线

ax

2

经过O、A两点。（1）用含的代式表示b；（2）抛物线的顶点为D，D为心，DA为半径的圆被轴分为劣弧优弧两部分。若将劣弧轴翻折，翻折后劣弧落在⊙D内它所在圆恰与OD相，求⊙半的长及抛物线的解析式；（3）点B是满足（）中条件的优弧的一个动点，抛物线在x轴方的部上是否存在这样的使得

∠

43

∠OBA

？若存在，求出的标；若不存在，请说明理。[解

（）解法一：∵一次函

kxk

的图象与x轴于点A∴点A的标为（4，∵抛物线

ax

2

经过、A两c，16a0解法二：∵一次数

yk

的图象与x轴交点A∴点A的标为（4，∵抛物线

ax

2

经过、A两∴抛物线的对称为直线

x

b2a

2（由抛物线的对称性可知，＝DA∴点在⊙D上且∠DOA∠DAO又由（1）知抛物线的解析为，a）∴点D的坐标为

ax

2

ax①当，精品文档

精品文档如图，设⊙D被x轴得的劣弧为

⌒OmA

，它沿轴翻折后所得劣为

⌒OnA

，显然

⌒OnA

所在的圆与D关对称，设它的圆心为D'∴点D'与点D也关于对称∵点在⊙D'，且⊙D与⊙D'相切∴点为切∴D'O∴∠DOA＝D'OA＝∴△ADO为等腰角三角形OD2∴点D的纵坐标

a，∴抛物线的解析为

12

2

②当，同理可得：

OD212抛物线的解析式2综上⊙D半径的长为22，抛物线的解析式为12x2

y

12

x

或（抛物线在x轴上方的部分上存在使得

∠POA

43

∠设点的标为（x，y），且y＞0①当点在物线

12

2

上时（如图∵点B是D的优弧上的一点精品文档

124，631，2124，631，243，4，343，或∠O

12

∠454P∠OB3过点作x轴于E∠yxy3

OE3x由1yx2

x

解得：1

，

（舍去）2∴点的标为

②当点在物线

12

2

上时（如图同理可得，

y

x由y

x

解得：（舍去）2∴点的标为

综上，存在满足件的点P，坐标为13（2005北丰台）在直角坐系中，⊙经过坐标原点分与x轴半轴、1y轴正半轴交于点A、B。精品文档

1精品文档1（1）图，过点A作⊙

1

的切线与轴于点C点O到线AB的离为12355式；

，求直线AC的析

y（2

1

经过点

B的内切圆的直径试判断的值是否会发生变化如果不变，求出其值，如果变化，求其化的范围。

OOAx[解

（1如图，过O作

CG，则

125设

3kAOBAB，OBk

35AB2S

AOB

k

125

,OA，OB4，AB5

（3，）90是⊙的直径1切O于A，BAACBAC1在Rt中

AB,5OCBC9C(0，)4设直线AC的析式为

ykx

，则精品文档

k

39，b4

1精品文档1

直线AC的解析式为

394（结论：d的不会发生变化设

的内切圆分别切、、AB于、Q、T如图所yMTANx图2BQ，AP，OP

BQBT

d,OAdOAOB2则

在x上取一点N，，连接OM、BMAM、M(2,2),OM平分AOBOM2MO45,OBNBONMONOM,OAOAANONOM

2

2

OM2dAB的值不会发生变，其值为4。14（福厦门）已知：O是坐原点，（m，）(m0)函数y

＝

(k＞精品文档

4424422442精品文档44244224420)上的点过作线PA⊥直PAx轴正半轴于点（a，n0）(a＞).设△OPA的面积为，且＝1.4（1）n时，求A的标；（2）OP＝，求k的；n(3设n是小于的整，且≠，的最小值.2[解

过点作PQ⊥轴，＝nOQ＝m当n＝1时＝

5425∴a＝＝n2解1：∵＝APPA⊥∴△是腰直角三角形∴m＝n

a2n1∴1＋＝·42即n－＋∴k－4＋4＝0∴k＝2解2：∵＝AP⊥OP∴△OPA是等腰直角三角∴m＝n设△的积为

1则：＝1

211n∴·mn＝＋224即：－n＋4＝0∴k－4＋4＝0∴k＝2解1：∵精品文档

⊥OP，PQ⊥OA

2122224442444222222222222222222222222222精品文档2122224442444222222222222222222222222222∴∽△OAP设：△的面为s，1PO＝AO1n＋2即：＝nn1＋(1)4

2n

2化简得：2＋－kn－＝0（－）（2－）＝n∴＝或＝(舍去2∴当n是小于的数时，k＝2.∵＝＋＝n＋

n又m＝2，∴n是大于0小于的数当n＝时OP＝当n＝时OP＝当n＝时OP

2

＝3

2

44＋＝9＋＝399当n是于且小于的整时，即当n＝4、6、、时

2

得值分别是：4

2

4＋、＋、＋、…、＋419

2∵19＋

44＞18＋＞…＞＋＞193∴的小值是5.解2：∵OP＝＋＝＋

n＝n＋

2n

222＝(－n

2

＋4精品文档

22424442124244442444精品文档22424442124244442444当n＝

2n

时，即当时，OP最小；又∵是数，而当n＝，OP

2

＝；＝2时

2

＝5∴的小值是5.解3：∵

⊥OP，⊥OA∴∽△PAQOQ＝QAPQnm＝a－化简得：2＋－kn－＝0（－）（2－）＝n∴＝或＝(舍去2解4：

⊥OP，PQ∴∽△PAQOQ＝－sPQ1化简得：2＋－kn－＝0（－）（2－）＝n∴＝或＝(舍去2解5：∵

⊥OP，⊥OA∴∽△OAP∴＝OAOP∴

2

＝OQ·OA化简得：2＋－kn－＝0（－）（2－）＝n∴＝或＝(舍去215（湖黄冈课改）如图，在直坐标系中，是原点ABC点的坐标分别为A（），（，C8，6）四边形OABC是形，点P、Q同时从原点出发分别坐匀速运动，其中点沿OA向点A运，速度为每秒1精品文档

0,0，22精品文档0,0，22个单位，点沿终点B运，这点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（1）出直线的析式及经过O、A、三的抛物线的解析式。（2）在⑴中的抛物线上一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形△AOC全等直写出点D的标。（3）从出发起，运动了t秒。如果

y点的度为每秒个位写出点Q的坐标并写出此时t的值围。

（，6

B（，6（4）从出发起，运动了t秒。当P、Q两运动的路程和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这，直线

QOPA18，0）

x能否把梯形的面也分成相等的两部分，如有可，请求出t的；如不可能，请说明理由。解]

（1∵、C两点的坐标分别为

设OC的析式为

kx

，将两点坐标代得：3k，b∴4∵A，是轴上两点，故可设抛线的解析式为

ya再将C

代入得：

a

3403x2x∴4020（2）（3）Q在OC上动时，可设Q意：

m

2

m2t∴

8t∴tt55

当在CB上，点走过的路程为t，OC＝10∴2∴Q点横坐标2t，∴Q（4）梯形的长为，当点OC上，P运动的路程的路程为精品文档

t

，则运动

22精品文档22△中，边的高为：

3322t2255梯形OABC的积

131884，依意有：t25整理得：

t

t1400

∵△＝

22

140

，∴这样的不在