历年中考数学易错题汇编-圆的综合练习题解析

历年中考数学易错题汇编-圆的综合练习题含答案解析一、圆综合1．如图，知扇形的径为

，，B在弧MN上移动，联结，作ODBM，足为点，为段上点，且，结BC并长交半径OM点，设，COM的正切值为y.（）图2，ABOM，求证：AM=AC；（）关于的数关系式，并写出定义域；（）eq\o\ac(△,)为腰三角形时，求x的值【答案】证见析(2)

.(

2

);(3)

2

.【解析】分析：1）判断出ABMDOM进而判断eq\o\ac(△,)OAC，可得出结论；（）判断出BDDM进而得出

DMME，进而得出AE（2判断出BDAEOADMOEODOD

，即可得出结论；（）三种情利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：1）OD，OMODM．ABM+MDOMM，ABM=DOM．OAC=BAM，，，AC=AM．（）图2，点D作DEAB，OM于点．OBOM，，BD=DM．DEAB，

DM，=EM=2，=（AEDEAB，

OADMOEODOD

，

DMOAOE2

．（0＜x2）

（）i）当OA时．

DM

1BMOCx2

．在eq\o\ac(△,)中，OD

2

DM

2

x

2

．

DMOD

122

14

2

．解得

2，或x2

（舍）．（）AC时则=．＞COBCOB=，＞AOC，此情况不存在．（）=CA时则COACAO=α．＞M，M﹣，α90°α，α＞，BOA＞BOA此情况不存在．即：eq\o\ac(△,)为腰三角形时x的为

2

．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的数关系式是解答本题的关键．2．如图，eq\o\ac(△,)ABC中＝，AB为径，O交BC于点，CA的延长线于点．过点作，足为F．（）证：为的线；（）AB4＝，劣弧

的长．【答案】（）明见解析2

【解析】分析：1）接、，根据直径所对的圆周角为直角，可ADB=90°，后根据等腰三角形的性质求出，再根据中线的性质求出，而根据切线的判定证

oVABCoVABC明即可；（）接，据三角形的外角求BAE的数，然后根据圆周角定理求BOE的度数，根据弧长公式求解即可详解：1）接、．AB是直径，＝．AB＝，＝CD，又＝，ODeq\o\ac(△,是)的中位线，AC，AC，DF即90°．为的线；（）接．AB＝，B＝，BAE＝，BOE2∠BAE，＝，

＝

＝π点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．3．已知O的径为5，AB的度为，点是AB所优弧上的一动点．

如图①，若

，C度数为_____；

如图②，若

．①求

的正切值；②若V为腰三角形，求VABC积．【答案】

的正切值为

；②S或

.【解析】【分析】

连接，，断出VAOB是边三角形，即可得出结论；AD，用勾股定理求出BD，而求出tanADB，可得出结论；②分种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理可得出结论．【详解】

如图1，接，，OC

，QAB

，OBAB

，AOB

是等边三角形，

o，ACB

AOBo，故答案为；

如图2，接并延长交eO于，连接，Q为eO的径，AD

，90o在

V

中，

ABm

，根据勾股定理得，

，

AB3ADB4

，QC

，

的正切值为

；

②Ⅰ、ACBC时，如图3，连接CO并长交AB于，QAC

，

AO

，

为AB的垂直平分线，BE

，在

V

中，

OA

，根据勾股定理得，

，OEOC

，VABC

1AB272

；、

时，如图4，连接OA交BC于FQAC，OC，

是BC的直平分线，过点作

OGAB

于，AOG，AG

，QAOBACB

，ACF

，在

AOG中

AG3AC5

，

，在

ACF中sinACF

，AF5

，

阴影阴影

，VABC

1AFBC255

；、

时，如图5，由对称性，VABC

．【点睛】圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．4．如图，点是正方形ABCD内的一点，连接PB，．eq\o\ac(△,)PAB点顺针旋转90°eq\o\ac(△,)P'CB的位置(1)设AB的为a，的长为，eq\o\ac(△,)PAB转eq\o\ac(△,)的过程中边所过区域中阴影部分面积；(2)若，PB=4，APB=135°，PC的.【答案】S=(a2)；【解析】试题分析：1）题意，eq\o\ac(△,)′CB逆时针旋转90°可eq\o\ac(△,)PAB重合，此阴影部分面扇形BAC的积扇BPP'的积，根据旋转的性质可知两个扇形的中心角都是90°可据此求出阴影部分的面积．（）接PP'，据旋转的性质可知：BP=BP'旋转角，eq\o\ac(△,)PBP'等腰直角三角形，BPA=135°，推eq\o\ac(△,)是角三角形，进而可根据勾股定理求出的长．试题解析：1）eq\o\ac(△,)点顺针旋转90°eq\o\ac(△,)′CB的置，，

eq\o\ac(△,)

，

BAC′BAC′S=S-S=（-b2）（）接PP，据旋转的性质可知eq\o\ac(△,)CP′BBP=BP，，PBP，是腰直角三角形，2=PB=32；又BP，BP′P=135°-45°=90°，eq\o\ac(△,)PP′C是角三角形．PC==6．考点：扇形面的计算；2.方形的性质；旋的性质．5．四边形的角交于点，AE，＝，AD为直径的半圆过点E，心为O．（）图，求证：四边形为形；（）图，若BC的延长线与半圆相切于点F且直径＝求弧的．【答案】（）解析；2）

π【解析】试题分析：1）判断出四边形是平行四边形，再判断出BD即可得出结论；（）判断出AD=DC且DE，ADE=CDE，而得出CDA=30°，后用弧长公式即可得出结论．试题解析：证明：（）四形ABCD的角线交于点，且AE，ED，四形是行四边形．以为直径的半圆过点，AED=90°，有ACBD四形ABCD是菱形；（）（）知，四边形是形ADC为腰角形AD=且DEAC，ADE=CDE．如图，过点C作AD，足为G，连接FO．BF切于点，AD，

，易知，四边形CGOF为形CG=3．

在eq\o\ac(△,)CDG中==6，ADC=

CG=，CDA=30°，ADE=15°CD连接OE，则ADE=30°，

AE2

．点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．6．如图，已知eq\o\ac(△,)ABC中，C=90°O在AC上以OC为半径O，AB于D点，且BC=BD（）证：为O的切线；（）BC=6，

，求O的半径；（）（）的条件下，点上为一动点，求BP的最大值与最小值【答案】（），明略；2）径为3；3）大值35+3，5【解析】分析：1）接，，eq\o\ac(△,)ODB即可.（）sinA=

且BC=6可，且cosA=，然后求出的度即可5（）三角形三边关系，可知当连接OBO于点E、，点P分别于点E、重时，BP分别取最小值和最大值详解：1）图：连接、

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中OD=OC,OB=OB,BC=BD;OCB）C=90°.AB为的线（）图：sinA=

3，AB

,BC=6，AB=10,BD=BC=6,AD=AB-BD=4,sinA=

，cosA=，5OA=5OD=3，即O的半径为：（）图：连，O为E，由三角形的三边关系可知：

当点与点重合时，取小值由（）知OD=3DB=6,OB=

3

2

5

.

.当点与F点重合时去大，35.点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知.键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解7．已知：如图，在矩形ABCD中，点在角线BD上以OD的长为半径O与，分交于点、F，且ABE=．（）断直线BE与O的位置关系，并证明你的结论；（）sinABE=，，求O的半径．【答案】（）线BEO相，证明见解析；（）O的半径为．【解析】分析：1）接OE，根据矩形的性质，可BEO，可得出线BE与O相；（）接EF先根据已知条件得出BD的，再eq\o\ac(△,在)中，利用勾股定理推知BE的长，设出O的径为r，用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的．详解：1）线BE与O相．理由如下：连接OE，矩形中ADBC，=DBC．=OE，OEDODE又ABE=，ABEOED，矩，A，ABE+AEBOEDAEB=90°，BEO，直与O相；（）接EF方法1：四形ABCD是矩形，=2，=C，ABCD=2．

1122121211221212ABEDBC，sinCBD=ABE

，

BD

DCsin

，在eq\o\ac(△,)中，=2，BC2．CBDABE，

DCAE2BC

，由勾股定理求得BE

6．在eq\o\ac(△,)BEO中，，2+EB2．设O的径为，r

2

6

3，r=

，方法2：DFO的径DEF=90°．四形ABCD是矩形，AC，．ABEDBC，sinCBD=sin设DC，BD3，BC2x．CD=2，BC．

．CBDABE，E为中点．

DCAE2BC

，DF为直径FED=90°，，

DF

，O的径为．点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．8．在平面直角坐标系xOy中点M的标为（，）点的标为x，），且x≠x，≠y，为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴轴则称该菱形为边“坐标菱形．（）知点A（，）B（023）则以AB为的坐菱的小内角为；（）点C12），点D在直线y=5上以CD为边的坐标菱”为方形，求直线CD表达式；

（）O的半径为

，点P的坐标3m．若O上在点Q，使得以QP为边的坐菱”为方形，求m的值范围．【答案】（）；2y=x+1或y=﹣；3≤m≤5或﹣5≤m≤﹣【解析】分析：1）据定义建立以AB为的坐标菱形”，勾股定理求边长=4，可得30度角，从而得最小内角为；（）确定直与线=5的夹角是45°，得D4，）（2，）易得直线的表达式为：y=x+1或y﹣+3（）两种情：①先直线=x，再作圆的两条切线且平行于直线yx，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P，PB=5，写出对应的坐标；②先直线﹣，作圆的两条切线，且平行于直y﹣，如图，同理可得结论．详解：1）点A（，）（23）OA，3．eq\o\ac(△,)中由勾股定理得：22=4ABO．四形ABCD是菱形，ABC=2ABO=60°．CDDCB=180°，以AB为的坐菱”的最小内角为60°．故答案为：；（）图2．以为的坐菱”为正方形直与线=5的角是45°．过点C作CEDE于ED（，或（2，）直的表达式为=x+1或y=﹣+3；（）两种情：①先直线=x，再作圆的两条切线且平行于直线yx，如图3．O的半径为

2，OQD是腰直角三角形，OD2OQ，PD=3﹣．是等腰直角三角形P=1，P（，），同理可得：OA，AB=3+2=5．是腰直角三角形PB=5（，），当1≤m≤5时，以QP为的坐

标菱形为方形；②先直线﹣，作圆的两条切线，且平行于直y﹣，如图．O的半径为，eq\o\ac(△,)D是等腰直角三角形OD

2OQ，BD﹣．P是等腰直角三角形PB=BD，P（，1）同理可得=2AB=3+2=5．是腰直角三角形PB=5（，），当﹣5≤m≤﹣时，以为边的坐菱为正方形；综上所述：的取值围是1≤m≤5或5≤m﹣．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，“坐标菱形的义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．9．如图所示，以eq\o\ac(△,)ABC的角边AB为直径作圆，斜边交于点DE为BC边的中点，连接．（）证：是O的切线；（）连接OE，，当为值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求CAE的．

【答案】见;

.【解析】分析：1）证DE是的线，必须证OD即EDB+ODB=90°（）证是行四边形，则AB，为AC中点，又，所eq\o\ac(△,)ABC为等腰直角三角形，所以CAB=45°，由正弦的概念求解即可．详解：1）明：连接、与、两点，BDC是eq\o\ac(△,)，E为BC中，EDB=．（分）又且EBD+DBO=90°，EDB+ODB=90°．DE是O的切线．（）：，若要四边形是行四边形，则DEAB为中，又AC，ABC为腰直角三角形．．过作EH于，设，EH=

k，k，sin

AE

．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．10．题发现．

(1)如图，eq\o\ac(△,)ABC中，C＝，＝，BC＝4，点D是边上任意一点，则的最小值为．(2)如图，形ABCD中，＝，＝，、点分别在BDBC上求CM+MN的最小值．(3)如图，形ABCD中，＝，＝，E是AB边一点，且AE＝，是BC边上的任意一点，eq\o\ac(△,)BEF沿翻，点B的应点为，接AGCG，边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时的度．若不存在，请说明理由．CD;(2)CMMN的小值为【答案】【解析】试题分析：1）据两种不同方法求面积公式求解；2）作

关于BD的称点

C

，过C

作

的垂线，垂足为

，求

C

的长即可(3)连

，则四AGCD

VADC

V

，

GBABAE，点G的迹为以圆心，为径一段弧．过

的垂线，与交点

G

，垂足为

，由VAEMVACB

求得的，再由

四边AGCDVACDV

求解即可试题解析：（1）从

到离最小即为过

作AB的线，垂足为D，

VABC

，

AB5

，（2）关的称点的垂，垂足为N，与BD交M，

55则CMMN的小值为C，设CCBD交H，CHBD，

VBMCBCD

，且

，

BDC

，CC

，

CBCD

，

24CBD

，即CMMN的小值为

．（）接则

四AGCD

VADC

V

，GBABAE

，点的迹以E为圆心，为径的一段弧．过作

的垂线，与E交点

G

，垂足为M

，

VAEMVACB

，

EMAEBC

，

EM

AE2AC55

，

3GMEMEG

，四边A

VACD

VACG

，

，

．【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．11．图O的直径AB，为圆周上一点＝，过点C作O的切线l，过点作l的垂线BD，足为D，BD与O交点E．（）求AEC的数；（）证：四形OBEC是形．【答案】（）；2）详见解.【解析】【分析】（）eq\o\ac(△,)是等边三角形，＝60°，据圆周角定理得AEC＝30°；（）据切线性质得到，则有BD，再根直径所对的圆周角为直角得到AEB＝，则EAB30°可证得，得到四边形OBEC为行四边形，再由OB＝，即可判断四边形OBEC是形．【详解】（）：eq\o\ac(△,)中＝4＝4，AOC是边三角形，＝60°＝；（）明OC，．OC．＝＝．AB为O的直径，AEB＝，为角角形EAB30°．EAB＝．OB，EB四形OBEC平行四边形．又OB＝4四形OBEC是菱形

»»»»OCD【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法．12．图，四边形ABCD是O的接四边形，AC为直径，．（）断直线ED与O的位置关系，并说明理由；（）CE，，阴影部分的积．

BD

，BC垂足为【答案】（）ED与eO相.理见解析；（）

=阴影

.【解析】【分析】（）结，如图，根据圆周角定理，由

得到BAD，根据圆内接四边形的性质得DCE=BAD所ACDDCE；用内错角相等证明ODBC，而DEBC，则OD，于是根据切线的判定定理可得DE为O的线；（）OHBC于H，得四边形ODEH为矩形，所以ODEH=2，CHHECE=1，是有=30°，得COD=60°，后根据扇形面积公式、等三角形的面积公式和阴影部分的面积SOCDSOCD进计算即可．【详解】（）线与O相切．理由如下：连结OD，图，，ACD．BADACDDCEOC，ODC而OCDDCE，DCEODC，ODBC．DEBC，ODDE，DE为O的线；（）OHBC于H，四边形ODEH矩形OD=．，=4，OCOD=2，CHHE﹣﹣在eq\o\ac(△,)中OC，，OHC，HOCCOD=60°，阴部分的面积S6032•2π．

﹣

OCD

¼»»¼»»»»【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．13．图，ABeO的直径，切e于D，BFDF于F，点A作交的长线于点C.

AC/（）证：

ABC

；（）

的延长线交

eO

于

，BF

交

eO

于

G

，若

DG

的度数等于

，试简要说明点和关直AB对的理由【答案】（）解析；2）解.【解析】【分析】（）辅助线连接，为O的线，可得OD，又DFBF，所以OD，C，得ABD=从而可ABC=C（）接OG，，，由BF，

GD

=60°，求证=AD

，由平行线的性质及三角形的内角和定理可求OHD=90°，垂径定理便可得出结论．【详解】（）接，DFO的线，OD．BF，BF，ODBF．

GD»GD»GDBG，ABD=ODBABC=．（）接OG，，，，交AB于H，BFOD，OBG=，DOG，»»

=

BG

．»

=60°，»=

=60°，ABC=C=E=30°OD//CEE=30°．eq\o\ac(△,在)ODH中ODE=30°，AOD=60°，OHD=90°，AB．点D和点关于直线对．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及垂径定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．14．图1，O的径AB，是BC上一动点（与点B，不重合），=30°，过点P作PD交O于．

（）图2，时求的；（）图3，弧DC=弧AC时延长至E，使